第16章 差分方程模型——【数学建模讲义 精】
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
数学建模之差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程模型
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。 (2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f ( xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。 (3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
lim x x0，所以 P 若P 0 是稳定点，则应有 k k 0 点稳定的条件是
1
同理 P 0 点不稳定的条件是
1
4、模型修正
在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决 定商品的生产数量 xk 1时，不仅考虑前一时期的价格 yk ，而 y k y k 1 x g ( ) ，在 P 且考虑了价格 yk 1 ，取 k 1 0 附近取线性近 2 似，则有
若特征方程有k重复根 i ，则方程(2)的通解为
(c1 ck t k 1 ) t cost (c1 ck t k 1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解yt ，若 yt 为齐次方程的通 解，则非齐次方程的通解为 yt yt 。 对特殊形式的特解 b(t )可以使用待定系数法求非齐次方 qk ( t ) 程的特解。例如 b(t ) bt pk (t )， pk (t ) 为t的k次多项式时可以证 t b 明：若b不是特征根，则方程(1)有形如 qk (t ) 的特解， 也是t的k次多项式；若b是r重特征根，则方程(1)有形如 bt t r 1qk (t ) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t ) ，从 而得到方程(1)的一个特解。
图1和图2中的折线 P1 P2 , P2 P3 ,形如蛛网，故把这种 模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f 取 决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平， g 取决于生产者的生产、管理等能力。 当已知需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳定性。当 | x1 x0 | P0 的稳定性取决于 f 和 g 在点 P0 的斜率， 较小时， 即当
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
差分方程——数学建模
۩
性质4(除法运算)：( f (i) ) g(i)f (i) f (i)g(i)
g (i)
g(i)g(i 1)
注：注意它与微分性质的比较
第一讲 差分方程基础知识
差分的性质与运算：
(1) f ( x) u( x) v( x)
k fi kui ki
(2) f ( x) f ( x h) f ( x) hf ( x) 1 h2 f ( x) 1 hn f (n)( x)
x
2
2u y 2
f (x, y)
(x, y) G
u (x, y) (x, y)
用两族平行坐标轴的直线
x xi x0 ih
i 0, 1, 2,
正方形网格把区域G剖分
y yi y0 j j 0, 1, 2,
节 点(i , j )( xi , y j ) , 记uij u( xi , y j )
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型及其分类
模型 数学模型的分类：
具体模型
直观模型 物理模型
思维模型
抽象模型
符号模型 数学模型
数式模型 图形模型
◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方
2、什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解。
观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
数学建模中的差分方程算法
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
数学建模中的差分方程与微分方程
数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。
在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。
差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。
在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。
差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。
例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。
通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。
微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。
微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。
一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。
通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。
在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。
这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。
例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。
又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。
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第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。
下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t 只取非负整数。
记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y −=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++12122)(为t y 的二阶差分。
类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。
由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。
其对应的齐次方程为
0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）
容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t t
t y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。
若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则
)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
（I ）先求解对应的特征方程
00110=+++−a a a n n L λλ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为
t n n t c c λλ++L 11 （n c c ,,1L 为任意常数）
（ii ）若λ是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
（iii ）若特征方程（3）有单重复根
i βαλ±=，通解中对应它们的项为
t c t c t t ϕρϕρsin cos 21+，其中22βαρ+=为λ的模，α
βϕarctg =为λ的幅角。
（iv ）若i βαλ±=是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为
t t c c t t c c t k k k t k k ϕρϕρsin )(cos )(12111−+−+++++L L
-193- )2,,1(k i c i L =为任意常数。
（III ）求非齐次方程（1）的一个特解t y 。
若t y 为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为t t y y +。
求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。
对特殊形式的)(t b 也可使用待定系数法。
例如，当)()(t p b t b k t
=，)(t p k 为t 的k 次多项式时可以证明：若b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如)(t q b k t 的特解，)(t q k 也是t 的k 次多项式；若b 是r 重特征根，则方程（1）有形如)(t q t b k r t 的特解。
进而可利用待定系数法求出)(t q k ，从而得到方程（1）的一个特解t y 。
例1 求解两阶差分方程t y y t t =++2。
解 对应齐次方程的特征方程为012=+λ，其特征根为i ±=2,1λ，对应齐次方程的通解为 t c t c y t 2sin 2cos 21π
π
+=
原方程有形如b at +的特解。
代入原方程求得21=
a ，21−=
b ，故原方程的通解为
2
1212sin 2cos 21−++t t c t c ππ 例2 在信道上传输仅用三个字母c b a ,,且长度为n 的词，规定有两个a 连续出现的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。
解 令)(n h 表示容许传输且长度为n 的词的个数，L ,2,1=n ，通过简单计算可求得：3)1(=h ，8)2(=h 。
当3≥n 时，若词的第一个字母是b 或,c 则词可按)1(−n h 种方式完成；若词的第一个字母是a ，则第二个字母是b 或c ，该词剩下的部分可按)2(−n h 种方式完成。
于是，得差分方程
)2(2)1(2)(−+−=n h n h n h ，),4,3(L =n
其特征方程为
0222=−−λλ
特征根
311+=λ，312−=λ
则通解为 n n c c n h )31()31()(21−++=，),4,3(L =n
利用条件3)1(=h ，8)2(=h ，求得
n n n h )31(3232)31(3
232)(−+−+++=，),2,1(L =n 在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。
对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数n c c ,,1L 如何取值，在+∞→t 时总有0→t y ，则称方程（1）的解是稳定的。
根据通解的结构不难看出，非齐次方。