2018届人教A版 解析几何 (6) 单元测试
2018届人教A版(理) 解析几何2-6-2 检测卷
名校模拟1．(2016·河北衡水中学调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案：C 解析：由已知e ＝c a ＝52，则b 2＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝14a 2，b a ＝12，所以渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.2．(2016·湖北优质高中联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n ＝1的离心率是( )A.32 B. 5 C.32或52D.32或 5答案：D 解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4.当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5.故选D.3．(2016·湖南长沙雅礼中学模拟)F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为________．答案：13 解析：由|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，令|AB |＝3t ，|BF 2|＝4t ，|AF 2|＝5t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，得|AF 1|＝3t ，t ＝a . 由|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5知，△ABF 2为直角三角形，即∠ABF 2＝90°，则|F 1B |2＋|F 2B |2＝|F 1F 2|2，所以(6a )2＋(4a )2＝(2c )2，解得c ＝13a ，故e ＝ca ＝13.4．(2016·辽宁抚顺一中模拟)已知点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切，求椭圆的离心率；(2)若圆M 与y 轴相交于A ，B 两点，且△ABM 是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．解：(1)设M (x 0，y 0)，圆M 的半径为r ， 依题意，得x 0＝c ＝r ＝|y 0|.将x 0＝c 代入椭圆方程，得|y 0|＝b 2a ，所以b 2a ＝c . 又b 2＝a 2－c 2，从而得c 2＋ac －a 2＝0，两边除以a 2，得e 2＋e －1＝0， 解得e ＝－1±52，因为e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. (2)因为△ABM 是边长为2的正三角形， 所以圆M 的半径r ＝2，M 到y 轴的距离d ＝ 3.又由(1)知，r ＝b 2a ，d ＝c ， 所以c ＝3，b 2a ＝2.又因为a 2－b 2＝c 2，解得a ＝3， b 2＝2a ＝6，所求椭圆方程是x 29＋y 26＝1.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章 解析几何9-6含答案
真题演练集训1．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（－1，3) B．(－1，错误!）C．(0，3) D．（0，错误!）答案：A解析:由题意，得（m2＋n)（3m2－n）>0，解得－m2〈n〈3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1〈n〈3。
2．已知双曲线x24－错误!＝1（b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1答案:D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,圆的方程为x2＋y2＝4,不妨设交点A 在第一象限，由y＝错误!x，x2＋y2＝4得x A＝错误!，y A＝错误!，故四边形ABCD的面积为4x A y A＝错误!＝2b，解得b2＝12,故所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1，故选D。
3．已知F1,F2是双曲线E：错误!－错误!＝1的左，右焦点,点M在E 上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝错误!，则E的离心率为( ）A。
2 B.错误!C。
错误!D．2答案：A解析:设F1(－c,0）,将x＝－c代入双曲线方程，得错误!－错误!＝1，所以错误!＝错误!－1＝错误!，所以y＝±错误!.因为sin ∠MF2F1＝错误!，所以tan∠MF2F1＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!,所以e2－错误!e－1＝0，所以e＝错误!。
故选A.4．已知椭圆C1：错误!＋y2＝1（m>1）与双曲线C2：错误!－y2＝1（n>0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A．m>n且e1e2〉1 B．m〉n且e1e2<1C．m〈n且e1e2>1 D．m〈n且e1e2<1答案：A解析:由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2,则m2－n2＝2,故m〉n，又(e1e2)2＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝1＋错误!>1，所以e1e2〉1。
第八章 平面解析几何(单元总结与测试)
第八章 平面解析几何（单元总结与测试）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,2π) (B)(0,π)(C)［4π-,4π］ (D)［0,4π］∪［34π,π)2.已知b>0，直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线x-b 2y-1=0互相垂直，则ab 的最小值等于( ) （A ）1 （B ）2 （C）（D）3.已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且与直线l 2：3x+4y-6=0平行，则直线l 1的方程是( ) (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04．(2013·厦门模拟)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直.l 与C 交于A,B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)485．(2013·福州模拟)若双曲线2222x y a b -=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )(A)986.已知双曲线216y -m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若PQ 是圆x 2+y 2=16的弦，PQ 的中点是M （1，3），则直线PQ 的方程是( ) （A ）x+3y-4=0 （B ）x+3y-10=0 （C ）3x-y+4=0 （D ）3x-y=08.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) （A ）(x+1)2+(y-1)2=2 （B ）(x-1)2+(y+1)2=2（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=29.已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线22xa-22yb =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )（A（B1+（C）2 （D）2+10.（易错题）设F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x=2ac上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )（A）］（B）,1) （C）,1) （D）］二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.14．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.15.(2012·南平模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17．（13分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.18．(13分)(探究题)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π,原点到该（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．(13分)(2012·三明模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1),点B 在直线y=-3上，M 点满足MB OA ∥,MB BA MA AB = ,M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)若P 为C 上的动点，l 为C 在P 处的切线，求O 到l 距离的最小值.20.（14分）（预测题）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2=-y 的焦点是它的一个焦点，又点）在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程. 21.（14分）（2012·南平模拟）已知直线l 1:y=2x+m(m<0)与抛物线C 1:y=ax 2(a>0)和圆C 2:x 2+(y+1)2=5都相切，F 是C 1的焦点. （1）求m 与a 的值；（2）设A 是C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以FA 、FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在定直线为l 2，直线l 2与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线C 1于P 、Q 两点，求△NPQ 的面积S 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α. 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1.∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是［0，4π］; 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［34π,π).2.【解析】选B.由题意知2b 1a +-·21b =-1,解得a=22b 1b +.所以ab=22b 1b +·b=2b 1b + =1b b +;又因为b>0,故1bb+≥2,当且仅当b=1b,即b=1时取等号.3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,=1,解得c=9或c=-1，因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.4．【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6. 点P到直线l的距离d=p,∴S△ABP=12•2p•p=p2=36.5．【解析】选C.设双曲线焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx的焦点F(b2,0),则222bc72b5c2c a b⎧+⎪=⎪⎨-⎪⎪=+⎩,解得c3ba=⎧⎪⎨=⎪⎩,∴e=ca==6．【解析】选C.双曲线的方程可化为2y116-22x1m=1，所以a=14,b=1m,取顶点（0，14），一条渐近线为mx-4y=0.∵15,即m2+16=25,∴m=3.7．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k=3010--=3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以k PQ=13-,其方程为y-3=13-(x-1),整理，得x+3y-10=0.8．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以设圆心坐标为P(a,-a),则点P 到两条切线的距离都等于半径,,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.9．【解析】选B.由题意知，p2=c,即p=2c由22222y 2px x y 1a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得b 2x 2-4ca 2x-a 2b 2=0 *由题意知x=c 是方程*的一个根，则有 b 2c 2-4a 2c 2-a 2b 2=0 即c 4-6a 2c 2+a 4=0 ∴e 4-6e 2+1=0 又e>1∴e 2=3++1. 10.【解题指南】根据|F 1F 2|=|PF 2|转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|来寻找a,b,c 之间的关系,从而求解.【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=2a c 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则|F 1F 2|=|PF 2|,可转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即2a c -c ≤2c ，解得22c a ≥13，所以e，1）.11．【解析】设2a 、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以b,所以离心率为e=ca =.12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a ·0+a 2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a ≤3. 答案：-1≤a ≤313．【解析】因为l 1：(a-2)x+3y+a=0与l 2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3. 答案：2或-314．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x 2)，根据点到直线的距离公式，得224)33-+,所以当x=23时，d 取得最小值43. 答案：4315.【解析】设曲线C 表示的圆心为C(5，0),由题意可知△PMC 是直角三角形，|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时，|PM|最小.当CP ⊥l1时,|CP|min,此时|PM|最小且|PM|=4.答案：416．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l 的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠-2且a ≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2aa 1++=2+a ，解得a=0，此时直线l 的方程为x+y-2=0. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.（2）由直线方程可得M(2aa 1++,0),N(0,2+a),又因为a>-1.故S △OMN =()12a2a 2a 1+⨯⨯++=21a 112a 1++⨯+［()］=()11a 122a 1⨯++++［］≥122⨯［］=2,当且仅当a+1=1a1+,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C（x,y），则.两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.整理，得（x-3）2+y2=8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切，得,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18．【解析】（1）由ba,12a·b=12,得,b=1,所以椭圆方程是2x3+y2=1. （2）将y=kx+2代入2x3+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①又x1x2=293k1+,x1+x2=212k3k1-+,代入①解得k=76-，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=76-,满足题设条件. 19．【解析】(1)设M(x,y),B(x,-3),MB=(0,-3-y),BA =(-x,2),MA=(-x,-1-y),AB=(x,-2),∵MB BA MA AB =,∴x 2-4y-8=0,∴曲线C 的方程为：y=14x 2-2. (2)设P(x 0,y 0),∵y ′=12x,∴k=12x 0. 又∵P(x 0,y 0)在曲线C 上，∴y 0=14x 02-2, ∴l 切：y-y 0=12x 0(x-x 0),即:x 0x-2y+2y 0-x 02=0,∴212=+≥12×2=2,当且仅当：=,即x 0=0时等号成立，此时O 到l 距离的最小值为2.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为22y a +22x a 2- =1（a>2）.将点)代入方程得22a +21a 2-=1，整理得a 4-5a 2+4=0，得a 2=4或a 2=1（舍）,故所求椭圆方程为2y 4+2x 2=1.（2）设直线BC 的方程为x+m ， 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得0≤m2<8. (*)由x1+x2=,x1x2=2m44-,故|x1-x2.又点A到BC的距离为d=m 3,故S△ABC=12|BC|··22 2m(162m)2+-当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为2±.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O到直线l，求△AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意caa⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得.由a 2=b 2+c 2,得b=1.∴所求椭圆方程为2x 3+y 2=1.(2)可得m 2=34(k 2+1).将y=kx+m 代入椭圆方程， 整理得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3)>0 (*)∴x 1+x 2=26km13k -+,x 1·x 2=223m 313k -+.∴|AB|2=（1+k 2）(x 2-x 1)2=(1+k 2)22222236k m 12(m 1)(3k 1)3k 1--++［］ =2222212(k 1)(3k 1m )(3k 1)++-+=22223(k 1)(9k 1)(3k 1)+++ =3+24212k 9k 6k 1++=2212123312369k 6k +≤+⨯+++=4(k ≠0)当且仅当9k 2=21k ,即k=.经检验，k=*）式.当k=0时，. 综上可知|AB|max =2.∴当|AB|最大时，△AOB 的面积取最大值S max=122⨯21.【解析】（1）由已知，圆C 2:x 2+(y+1)2=5的圆心为C 2(0,-1)，半径.由题设圆心到直线l 1:y=2x+m的距离,解得m=-6(m=4舍去).设l 1与抛物线的切点为A 0(x 0,y 0),又y ′=2ax,得2ax 0=2⇒x 0=1a ,y 0=1a .代入直线方程得：1a=2a-6,∴a=16，所以m=-6,a=1 6.（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2,焦点F（0，32）.设A（x1,211x6）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=()211111x x x x36-+.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，211x 6）所以FA=（x1,211x6-32）,FB=(0,211x6-32-),∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴FM=FA+FB =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=32-上.（3）设直线MF：y=kx+32,代入y=21x6得21x6-kx-32=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，S△NPQ=12|NF||x′1-x′2|=12×3=,∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.。
【精编】2018届高三数学(文)教师用书：第八章-解析几何(含答案)
第八章⎪⎪⎪解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k(x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般Ax ＋By ＋C ＝0，平面内所有直线都适用式 A 2＋B 2≠0[小题体验]1．(教材习题改编)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m ＝________． 答案：－22．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案：x ＋13y ＋5＝03．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________．解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a ．依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．经过点A(2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________．解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2．答案：x ＝22．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0． ②若直线不过原点．设x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a ． 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016·绥化一模)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：选B 因为直线xsin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1．设直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π． 2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3．由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4．答案：43．若直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ．令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12．故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞． 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[谨记通法]1．倾斜角与α斜率k 的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43．又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0．(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0．故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0． [由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ． ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0．②若a≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7．∴直线的方程为x ＋y －7＝0．综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0． (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x－3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0．考点三 直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题． 常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题． [题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P(4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P(4,1)，所以4a ＋1b ＝1．(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时， △AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0．(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B ．[]－1，0C ．[0,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y′＝2x ＋2，设P(x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12．角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A(1,1)， ∴H(1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1， 代入半圆方程得B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0． 答案：3x ＋y －3－1＝0 [通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5．答案：52．(2017·衡阳一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB(不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13．所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33B ． 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33．2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0． 3．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k<－2．故选A ．4．(2017·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB ．∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0．∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·秦皇岛模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0．2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．3．(2015·福建高考)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a>0，b>0，故a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C ．4．(2017·菏泽模拟)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b|＝14b 2，且b≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．已知点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：选A ∵点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x)2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8．6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0．答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝07．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]8．(2016·沈阳一模)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1．于是a ＋b＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22当且仅当b a ＝2ab时取等号，所以a ＋b≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋22．答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A(－3,4)； (2)斜率为16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，即x＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0．该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12．答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0．故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k ×(1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2． (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2． 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a>0，∴a ＝2－1．2．已知直线l 1：ax ＋(3－a)y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得aa －3＝－2，解得a ＝2．答案：21．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a ＝－1．所以P 是Q 的充要条件．2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2． 答案：2考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0．2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2，∴4－mm ＋2＝－2(m≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)，∵l 2⊥l 3，∴2×1＋1×n＝0，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7． 即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P(m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n≠2.即m ＝4，n≠－2或m ＝－4，n≠2时，l 1∥l 2． (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2． 又－n8＝－1，∴n ＝8．即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1． [谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法l 1与l 2平行 的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交 的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合 的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA|＝|PB|，且点P 到直线l 的距离为2．解：设点P 的坐标为(a ，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0．∵点P(a ，b)在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0．①又点P(a ，b)到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87．[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO|＝|PA|，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P(a ，b)，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12，解得a ＝3，b ＝4．∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b≠－1)． 又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝03．已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5．又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15， 解得0≤a≤10，所以a 的取值范围是[0,10]． 答案：[0,10]．考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称． [题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0． 答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．答案：A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P(x ，y)，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0． [通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M(x 1，y 1)及N(x ，y)关于P(a ，b)对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A(x ，y)为所求直线上的任意一点， 则A′(x，－y)在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0． 答案：3x ＋4y ＋5＝02．已知点A(1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B(－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2在直线y ＝kx ＋b 上，故⎩⎪⎨⎪⎧23·k＝－1，－12k ＋b ＝2，解得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54．令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝56，故直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为56．答案：563已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2．所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．故选C ．3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)， 所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．4．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0． 答案：12x ＋8y －15＝05．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a·(－9)－2， 所以a ＝23．答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵AB ∥PQ ，∴k AB ＝k PQ ，即0－3－4－2＝m ＋1－1－m －－3，解得m ＝1，故选C ．2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ．423B ．4 2C ．823D ．2 2解析：选C ∵l 1∥l 2， ∴1a －2＝a 3≠62a， 解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823．3．(2016·浙江温州第二次适应性)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得m(m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．4．若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79． 答案：－13或－797．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34．则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故S ＝|AB|·|AD|＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25．答案：258．l 1，l 2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝09．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0． (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1．综上可知，a ＝－1．法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a a －1－1×2＝0，aa 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1．(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23．法二：∵l 1⊥l 2， ∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23．10．已知△ABC 的顶点A(5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A(5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C(4,3)．设B(x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B(－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知P(x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C)＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P(x 0，y 0)是直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k≠0．若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C)＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0．因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ．2．已知直线l ：(2a ＋b)x ＋(a ＋b)y ＋a －b ＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为 a(2x ＋y ＋1)＋b(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A(－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5．故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0．第三节圆的方程1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0) 圆心：(a ，b)，半径：r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系： (1)若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＞r 2． (2)若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2． (3)若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＜r 2．[小题体验]1．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43． 2．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b)，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C(0,3)．半径r ＝12|AB|＝12[1－－1]2＋4－22＝2．∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2． 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4． 即a 2＜1，故－1＜a ＜1． 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏](2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1．当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．答案：(－2，－4) 5考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2017·石家庄质检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1．2．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b)，半径为r ，则r ＝|b|，所以圆的方程为x 2＋(y －b)2＝b 2． 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b 2，解得b ＝5．所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0．3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0． 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)， ∴|MN|＝46，故选C ．4．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C(a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM|＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9． 答案：(x －2)2＋y 2＝9[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．。
2018届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题六 解析几何6.1 Word版含解析
A 级1．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析： 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.答案： C2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B ．213C.253D ．43解析： 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案： B3．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条解析： 由题意可知直线l 方程为x a ＋yb ＝1(a <0，b >0)，于是⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12(－a )·b ＝8，解得－a＝b ＝4，故满足条件的直线l 一共有1条，故选C.答案： C4．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B ．10C ．5D ．10解析： 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.答案： D5．已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B ，交C 1的准线于C ，D ，若四边形ABCD 为矩形，则圆C 2的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝16解析： 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，12， 而|F A |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ， 于是A ⎝⎛⎭⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝⎛⎭⎫32r 2＝2⎝⎛⎭⎫12＋12r ， ∴r ＝2，故选B. 答案： B6．已知点A (－1,0)，过点A 可作圆x 2＋y 2－mx ＋1＝0的两条切线，则m 的取值范围是________．解析： 由题意得点A (－1,0)在圆外，所以1＋m ＋1>0，所以m >－2，又⎝⎛⎭⎫x －m22＋y 2＝m 24－1表示圆，所以m 24－1>0⇒m >2或m <－2，所以m >2. 答案： (2，＋∞)7．(2017·惠州市第三次调研考试)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．解析： x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0⇒(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C 到直线y ＝ax的距离为32a 2－1＝|a 2－1|a 2＋1，所以a 2＝7，圆C 的面积为π(a 2－1)2＝6π.答案： 6π8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析： 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |min ＝|OP |2－|OA |2＝2. 答案： 29．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.(2)由题意知当a ＝0或b ＝0时不成立． ∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析： (1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2， 将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2. 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.B 级1．(2017·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，且f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，则当y ≥1时，yx ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤14，34 B ．⎣⎡⎦⎤14，1 C ．[1,32－3]D ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 解析： 函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )为奇函数，又f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在实数范围内单调递增，则f (x 2－4x ＋1)≤f (－y 2＋2y －3)，即(x －2)2＋(y －1)2≤1，当y ≥1时表示的区域为半圆及其内部，令k ＝y x ＋1＝yx －(－1)，其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时k min ＝13－(－1)＝14，斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d ＝|2k －1＋k |k 2＋1＝1(k >0)，解得k max ＝34，故选A. 答案： A2．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析： 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1,2)，半径r ＝2，若等边△P AB的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠P AC，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案： 2 23．已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解析： (1)(坐标法)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)(参数法)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)． 设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，设线段CD 的中点为P ， 连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2. 设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎫t ＋22，t －22. 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解析： (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， 所以2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.。
高三数学单元测试卷推荐
随着高考的临近，高三学生面临着巨大的学习压力。
数学作为高考的重要科目之一，其成绩的高低直接影响到学生的整体表现。
为了帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，以下推荐几套适合高三学生的数学单元测试卷：一、人教版《数学》1. 测试卷名称：《人教版高三数学单元测试卷（一）》适用范围：人教版高三数学第一册测试内容：集合、函数、指数与对数、三角函数等基础知识特点：题目难度适中，注重基础知识的巩固和能力的提升。
2. 测试卷名称：《人教版高三数学单元测试卷（二）》适用范围：人教版高三数学第二册测试内容：平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识特点：题目难度逐渐提高，注重综合能力的培养。
二、苏教版《数学》1. 测试卷名称：《苏教版高三数学单元测试卷（一）》适用范围：苏教版高三数学第一册测试内容：集合、函数、指数与对数、三角函数等基础知识特点：题目形式多样，注重学生的创新思维和解题技巧。
2. 测试卷名称：《苏教版高三数学单元测试卷（二）》适用范围：苏教版高三数学第二册测试内容：平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识特点：题目难度适中，注重基础知识的巩固和能力的提升。
三、北师大版《数学》1. 测试卷名称：《北师大版高三数学单元测试卷（一）》适用范围：北师大版高三数学第一册测试内容：集合、函数、指数与对数、三角函数等基础知识特点：题目难度适中，注重基础知识的巩固和能力的提升。
2. 测试卷名称：《北师大版高三数学单元测试卷（二）》适用范围：北师大版高三数学第二册测试内容：平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识特点：题目难度逐渐提高，注重综合能力的培养。
四、各版本综合性测试卷1. 测试卷名称：《高三数学综合性单元测试卷》适用范围：适用于所有版本的高三数学测试内容：涵盖集合、函数、指数与对数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识特点：题目难度较高，注重综合能力的培养，适合学生进行考前模拟。
精选最新版2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题完整题库(含标准答案)
2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲4．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.6．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．7．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）三、解答题8．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． (Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．9．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12=③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.10．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)11．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．12．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积13．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
解析几何单元测试题及答案
解析几何单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的标准方程是哪一个？A. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1\)B. \((x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1\)C. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 0\)D. \((x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1\)2. 点P(-1, 3)到直线3x - 4y + 5 = 0的距离是？A. 2B. 3C. 4D. 53. 抛物线 \(y^2 = 4x\) 的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 2)C. (1, 2)D. (2, 0)4. 直线 \(ax + by + c = 0\) 与 \(dx + ey + f = 0\) 平行的条件是？A. \(a/d = b/e\)B. \(a/d = b/e ≠ c/f\)C. \(a/d ≠ b/e\)D. \(a/d = b/e = c/f\)5. 圆心在原点，半径为5的圆的标准方程是？A. \(x^2 + y^2 = 25\)B. \((x-5)^2 + y^2 = 25\)C. \(x^2 + y^2 = 5\)D. \((x-5)^2 + y^2 = 5\)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，其长轴的长度为________。
7. 点A(2, -1)关于直线 \(x-y-1=0\) 对称的点的坐标是________。
8. 直线 \(2x - 3y + 1 = 0\) 与 \(x + y - 2 = 0\) 的交点坐标是________。
9. 抛物线 \(x^2 = 6y\) 的准线方程是________。
10. 圆 \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0\) 的圆心坐标是________。
2018届人教A版真题模拟演练之解析几何圆锥曲线的综合应用(二)
圆锥曲线的综合应用(二)1.(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值.2.(2016·山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.考点 圆锥曲线中的探索问题1.(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.2.(2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.3.(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论.4.(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.1. (2015·山东烟台一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1，0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T (t ，0)，使得OP →·TP →＝PQ →·TQ →？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.2.(2015·湖北七市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2016·安徽合肥一模)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P . (1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由.4.(2015·山东青岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l . 求四边形F 1MNF 2的面积；(3)过椭圆C 内一点T (t ，0)作两条直线分别交椭圆C 于点A ，C 和B ，D ，设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1、k 2，若|AT |·|TC |＝|BT |·|TD |，试问k 1＋k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.圆锥曲线的综合应用(二)【三年高考真题演练】 [2016年高考真题]1.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.2.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m ). 即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0). 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m .所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 22，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12， 即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.[两年经典高考真题]1.解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ). 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点p (0，－a )符合题意.2.解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB→＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.3.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 4.解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设D (t ，0)(t ＞0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1，0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D ＞0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1. 由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0). 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1，0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0).所以直线AE 过定点F (1，0). ②由①知直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.【两年模拟试题精练】1.解 (1)由题意知c ＝1，又b c＝tan 60°＝3，所以b 2＝3， a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆的方程为：x 24＋y 23＝1. (2)设直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 23＝1，得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为R (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－3k 3＋4k 2， 由QP→·TP →＝PQ →·TP →得：PQ →·(TQ →＋TP →)＝PQ →·(2TR →)＝0， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k 23＋4k 2)， 令y ＝0得：T 点的横坐标t ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4， 因为k 2∈(0，＋∞)，所以3k 2＋4∈(4，＋∞)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以线段OF 上存在点T (t ，0)，使得QP →·TP →＝PQ →·TQ →，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2.解 (1)A (－a ，0)，B (a ，0)，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 204＝1，依题意y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝－12，得a 2＝8， ∴椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－8＝0因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋ 2k 2)(2p 2－8)＝8(4＋8k 2－p 2)＝0，即4＋8k 2＝p 2.设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4， 则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝4. 即 (st ＋ 4)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋ 12)k 2＋(s ＋t )kp ＋8＝0 (**)由(*)恒成立，得⎩⎨⎧st ＋4＝0s ＋t ＝0，解得⎩⎨⎧s ＝2t ＝－2或⎩⎨⎧s ＝－2t ＝2(**)不恒成立. ②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝±22时，定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积(22－2)(22＋2)＝4.综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4.3.解 (1)知A (1，1)，B (4，－2)，设点P 坐标为(x P ，y P )切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y －1＝k （x －1），y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1，联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝－2，y P＝－12， 即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1，由PM →＝λP A →＋μPB→得， ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32. 即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32（λ－μ）解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝（y 0＋2）29，μ＝（y 0－1）29. 则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.4.解 (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).离心率e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2，点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)将直线的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0， 化简得：m 2＝7.设d 1＝|F 1M |＝|－1＋m |2，d 2＝|F 2N |＝|1＋m |2， 又因为|d 1－d 2|＝|MN |，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪d 21－d 222＝|m |＝7， (3)由T (t ，0)，则直线AC 的方程y ＝k 1(x －t )，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程得(3＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 21t 3＋4k 21，x 1·x 2＝4k 21t 2－123＋4k 21， 则|AT |＝（x 1－t ）2＋y 21＝1＋k 21|x 1－t |所以|AT |·|TC |＝(1＋k 21)|(x 1－t )(x 2－t )|＝(1＋k 21)|x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2|＝(1＋k 21)⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 21t 2－123＋4k 21－8k 21t 23＋4k 21＋t 2 ＝(1＋k 21)·|3t 2－12|3＋4k 21，又T (t ，0)为椭圆C 内一点， 所以t 24＜1即t 2＜4，所以3t 2－12＜0，所以|AT |·|TC |＝（1＋k 21）·（12－3t 2）3＋4k 21； 同理|BT |·|TD |＝（1＋k 22）·（12－3t 2）3＋4k 22所以1＋k 213＋4k 21＝1＋k 223＋4k 22，解得k 21＝k 22， 又直线AC 与BD 不重合，所以k 1＋k 2＝0为定值.。
2018高考数学文理一轮复习检测 第八章 解析几何 第6讲 含答案 精品
第八章 第六讲A 组基础巩固一、选择题1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 30072525( B )A ．11B ．9C ．5D ．3解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B ．解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B ．2．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)双曲线x 2－y 23＝1的两条渐近线夹角是导学号 30072526( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．130°根据题意可知，双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，其倾斜角为π3，故两渐近线的夹角是π3，故选B ． 3．(2015·安徽) 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是导学号 30072527( A )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 22－y 2＝1对于A ，令x 2－y 24＝0，得y ＝±2x ；对于B ，令x 24－y 2＝0，得y ＝±12x ；对于C ，令x2－y 22＝0，得y ＝±2x ；对于D ，令x 22－y 2＝0，得y ＝±22x .故选A ． 求双曲线x 2a －y 2b ＝1或y 2a －x 2b ＝1的渐近线方程时，可令x 2a －y 2b ＝0或y 2a －x 2b＝0.4．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为导学号 30072528( A )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1 由题意得，c ＝r ＝4，∴a 2＋b 2＝16，而双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，故不防A (a ，b )，∴(a －4)2＋b 2＝16，联立方程组，从而可知a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程是x 24－y 212＝1，故选A ．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：1.掌握方程；2.掌握其倾斜角、斜率的求法；3.会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．5．(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)设F 1，F 2分别为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝90°，若椭圆的离心率e ＝34，则双曲线C 2的离心率e 1为导学号 30072529( B )A ．92B ．322C ．32D ．54利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可． 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|MF 1|－|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝a ＋a 1，|MF 2|＝a －a 1. 因为∠F 1MF 2＝90°，所以|MF 1|2＋|MF 2|2＝4c 2，即a 2＋a 21＝2c 2，即(1e )2＋(1e 1)2＝2，因为e ＝34，所以e 1＝322.故选B ．6．(2015·重庆高考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 30072530( C )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2题意，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B (c ，b 2a )，C (c ，－b 2a )，∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，∴a ＝b ，∴双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C ．7．(2016·衡水模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝导学号 30072531( B )A ．14 B ．34 C ．35D ．45设|PF 1|＝2|PF 2|＝2m ，则根据双曲线的定义，可得m ＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵双曲线C ：x 2－y 2＝1，∴|F 1F 2|＝22a ， ∴cos ∠F 1PF 2＝16a 2＋4a 2－8a 22·4a ·2a ＝34，故选B ．8．(2016·广西柳州一模)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是导学号 30072532( B )A ．(1，＋∞)B ．(2＋1，＋∞)C ．(12，＋1)D ．(1，3)由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2a>2c ，即2ac <c2－a 2，解出e ∈(1＋2，＋∞)，故选B ．二、填空题9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝_1__；b ＝_2__.导学号 30072533由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.10．(2015·新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为 x 24－y 2＝1 .导学号 30072534方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－32b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ＞0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.11．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝_2__.导学号 30072535双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得b a＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.三、解答题12．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一支P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程.导学号 30072536设双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cosπ3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，∴4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴4c 2＝4a 2＋8，∴c 2＝a 2＋2，∴b 2＝c 2－a 2＝2，又e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，∴4a 2＝a 2＋2，∴a 2＝23，∴双曲线的标准方程为3x 22－y 22＝1.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).导学号 30072537 (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． (1)x 2－y 2＝6 (2)略 (3)6(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝ 6. ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的边F 1F 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.B 组能力提升1．(2017·重庆市西北狼教育联盟高三上学期12月月考数学试题)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为23c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e 为导学号 30072538( C )A ．73B ．372C ．377D ．37根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点坐标为(±c,0)．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b ，c 关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．解：双曲线双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点坐标为(±c,0)，其中c ＝a 2＋b 2∴一个焦点到一条渐近线的距离为d ＝|±bc |a 2＋b2＝23，即7b 2＝2a 2， 由此可得双曲线的离心率为e ＝c a ＝377.故选C ．2．(2016·开封模拟)从双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的关系为导学号 30072539( C )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |<b －aC ．|MO |－|MT |＝b －aD ．|MO |－|MT |≥b －a设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1， 由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线， ∴|PF 1|＝2|OM |.②又∵M 是FP 的中点，∴|PF |＝2|MF |，③②③代入①得2|MF |－2|OM |＝2a ， |MF |－|OM |＝a .④ ∵|MF |＝|MT |＋|TF |， |FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2， ∴|FT |＝b . ∴|MF |＝|MT |＋b .⑤把⑤代入④得|MT |＋b －|OM |＝a ， ∴|OM |－|MT |＝b －a ，故选C ．3．(2016·潍坊模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为导学号 30072540( D )A ．2＋12 B ．2＋1C ．3＋12D ．3＋1∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0， ∴(OP →＋OF 2→)·(OP →－OF 2→)＝0， ∴OP →2－OF 2→2＝0，OP ＝OF 2＝c ＝OF 1， ∴PF 1⊥PF 2，Rt △PF 1F 2中，∵|PF 1|＝3|PF 2|， ∴∠PF 1F 2＝30°.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3－1， sin30°＝12＝PF 2F 1F 2＝2a3－12c ＝ac 3－，∴2a ＝c (3－1)， ∴ca＝3＋1，故选D ．4．(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是_2__.导学号 30072541如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.5．(2016·江西横峰中学第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x2＋y 2＝3相切，过C 的左焦点且斜率为3的直线也与圆O 相切.导学号 30072542(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两点，△AOB 的面积为32，求直线l 的方程．(1)x 23－y 2＝1 (2)y ＝－x ＋ 6(1)∵双曲线C 与圆O 相切，∴a ＝3，由过C 的左焦点且斜率为3的直线也与圆O 相切，得c ＝2，进而b ＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0，m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 圆心O 到直线l 的距离d ＝m k 2＋1，由d ＝3，得m 2＝3k 2＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(3k 2－1)x 2＋6kmx ＋3m 2＋3＝0，(*)则x 1＋x 2＝－6km 3k 2－1，x 1x 2＝3m 2＋33k 2－1.|AB |＝k 2＋1·|x 2－x 1|＝k 2＋1·x 2＋x 12－4x 1x 2＝k 2＋1·23m 2－9k 2＋3|3k 2－1|＝43k 2＋1|3k 2－1|. 又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|AB |＝32|AB |＝32，∴|AB|＝2 6.由43k2＋1|3k2－1|＝26，得k＝－1，m＝6，此时(*)式Δ＞0，x1＋x2＞0，x1·x2＞0，∴直线l的方程为y＝－x＋ 6.。
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[A 级 基础演练]1．(2017·广东惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22解析：选B.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，解得ba ＝2，∴其渐近线的斜率为±2，故选B.2．(2017·开封模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线y ＝12x ＋1平行，则它的离心率为( )A. 5 B ． 6 C.62D ．52解析：选D.设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，渐近线方程为y ＝±b a x ，由于双曲线的一条渐近线与直线y ＝12x ＋1平行，则12＝ba .令a ＝2t ，b ＝t (t >0)，则c ＝a 2＋b 2＝5t ，则离心率e ＝c a ＝52.故选D.3．(2017·青岛一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1D ．3x 2100－3y 225＝1解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，－c ＝－5，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝25，b ＝5，∴双曲线方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：选A.由于右焦点(5，0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5，0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.5．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1：e 21＝sin2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．6．已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝ ．解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b ＞0，所以b ＝ 3.答案： 37．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为 ．解析：设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)． 若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ， c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1； 若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ， c 2＝a 2＋b 2＝－13λ. 由2c ＝213，∴λ＝－1， 故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1. 答案：x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝18．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 ． 解析：双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 答案：2559．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积． 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2³0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2.b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[B 级 能力突破]1．(2016·高考全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝112x 2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．22x ±y ＝0B ．x ±22y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B.由抛物线方程x 2＝12y 知其焦点为(0，3)，∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，∴双曲线的焦点在y 轴上，∴n <0，m <0，∴渐近线方程为y ＝±n m x ，又e ＝3，∴1＋－m －n＝9，∴n m ＝18，∴渐近线方程为y ＝±x22，故选B.3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→²PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116 C ．1D ．0解析：选A.由已知可得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设点P 的坐标为(x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1，即y 2＝3(x 2－1)，所以P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，故当x ＝1时，P A 1→·PF 2→有最小值－2.4．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为 ．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，①又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为c ＞a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac . 所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2得， e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 答案： 35．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．解：法一：设F 2(c ，0)(c >0)，P (c ，y 0)， 代入方程得y 0＝±b 2a . ∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|， ∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2， ∴2a 2＝b 2，∵a >0，b >0，∴ba ＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x6．如图，在直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，B ，C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.若一双曲线E 以B ，C 为焦点，且经过A ，D 两点．(1)求双曲线E 的方程；(2)若过一点P (m ，0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M ，N ，且MP→＝λPN →，问在x 轴上是否存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN→)？若存在，求出所有定点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则B (－c ，0)，D (a ，0)，C (c ，0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，即c ＝2a .∴⎩⎨⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a .解得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3.∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t ，0)，使BC→⊥(GM →－λGN →)．设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0，即λ＝－y 1y2.①∵BC →＝(4，0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0.③ 把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0.其中3k 2－1≠0且Δ＞0，即k 2≠13且3k 2＋m 2＞1. y 1＋y 2＝－6km 3k 2－1，y 1y 2＝3（m 2－1）3k 2－1.代入③，得6k （m 2－1）3k 2－1－6km （m －t ）3k 2－1＝0，化简得kmt ＝k .当t ＝1m 时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC→⊥(GM →－λGN →)．。