【新版数学】3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式2 公开课一等奖课件
二倍角的正弦,余弦,正切公式(课件)
3．1．3 二倍角的正弦,余弦,正切公式三维目标:1. 通过让学生探索发现并推导二倍角公式,了解它们之间,以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对而倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2. 通过二倍角的正弦,余弦,正切公式的应用,会进行简单的求值,化简,恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值,化简,恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题,解决问题的能力. 重点难点:教学重点: 二倍角公式推导及应用.教学难点: 如何灵活应用和,差,倍角公式进行三角式化简,求值,证明恒等式. 课时安排:1课时 教学过程: 一 复习引入1.和角,差角的三角函数公式c o s ()c o s c o s s i n s i n c o s ()c o s c o s s i n s i n s i n ()s i n c o s c o s s i n s i n ()s i n c o s c o s s i nt a n t a n t a n ()1t a n t a n t a n t a n t a n ()1t a nt a nαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=--=++=+-=-++=---=+2.你能用多少种不同方法求cos15的值? 方法一: cos15cos(4530)=-方法二: cos15cos(6045)=-上述两种方法都是用特殊角来表达非特殊角,我们也注意到302151515=⨯=+,也就是意味着15角的三角函数与它的二倍角30的三角函数之间存在联系,这就是我们这节课的主要内容:二倍角的正弦,余弦和正切公式. 二 探究新知在和角的正弦,余弦,正切公式中取αβ=,得cos 2cos()ααα=+22cos cos sin sin cos sin αααααα=-=- sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=2tan tan 2tan tan 2tan()1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--引例:求cos15 的值方法三: 22cos 30cos(215)cos 15sin 15=⨯=- 而22cos 15sin 151+=22c o s 151c o s 30∴-=解得62cos154+=由上述cos15 求法,你能得到什么结论?22cos 22cos 1cos 212sin αααα=-=-例1. 已知5sin 2,1342ππαα=<<,求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值分析:已知条件给出了2α的正弦值,由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.解: 42ππα<< 22παπ∴<<又5sin 213α=22512cos 21sin 21()1313αα∴=--=--=-512120s i n 42s i n 2c o s 22()1313169ααα∴==⨯⨯-=-225119cos 412sin 212()13169αα=-=-⨯=s i n 4120169120t a n 4()c o s 4169119119ααα==-⨯=-评析:二倍角的”二倍”是描述两个数量之间关系的, 2α是α的二倍, 4α是2α的二倍,2α是4α的二倍.这里蕴含着换元思想.练习:求下列各式的值(1)sin 15cos1522(2)cossin88ππ-2tan 22.5(3)1tan 22.5-2(4)2c o s 22.51-例2 已知3(,),sin(),4245x x πππ∈-=-求cos 2x 的值解法一: 3sin()45x π-=-32cos sin 5x x ∴-=-将上式平方得 72sin cos 25x x =232(cos sin )12sin cos 25x x x x ∴+=+=又(,),42x ππ∈所以42cos sin 5x x +=423224c o s 2(c o s s i n)(c o s s i n)()5525x x x x x ∴=+-=⨯-=- 评析:由解法一可得下列变形公式:2c o s 2(c o s s i n)(c o s s i n )(c o s s i n )1s i n 2αααααααα=+-±=±解法二: (,)42x ππ∈ (,0)44x ππ∴-∈-3s i n ()45x π-=- 4c o s ()45x π∴-=c o s 2s i n (2)s i n [2()]24xx x ππ∴=-=- 2s i n ()c o s ()44xx ππ=--34242()5525=⨯-⨯=- 评析: 解法二运用诱导公式找到已知角4x π-和未知角2x 之间的联系.练习:已知5sin cos(450540),225ααα-=-<<求(1)sin α (2)t a n 2α三 课堂小结1. 熟记二倍角的正弦,余弦和正切公式以及它们的变形形式.2. 灵活运用公式解题要注意分析三角函数名称,角的关系.一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,强化数学思想方法之目的. 四 作业习题3.1A 组第11,15,17,18题。
数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-3二倍角的正弦-余弦-正切公式课件(29张)
∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4
＝2×－45×35＝－2245，
sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4 ＝1－2×352＝27
2 2 sin
2α
＝
22×－2245－275＝－3150
2 .
(2)∵sin 2α＝－cos2α＋π2 ＝－2cos2α＋π4－1， sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α ＝－cosπ4＋α， ∴原方程可化为 1－2cos2α＋π4＝－cosα＋π4， 解得 cosα＋π4＝1 或 cosα＋π4＝－12. ∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，34π， 故 α＋π4＝0 或 α＋π4＝23π，即 α＝－π4或 α＝51π2.
[导入新知] 二倍角公式
[化解疑难] 细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等 于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这 里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述 两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
(2)由(1)知 cos A＝12，
所以 f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝
－2sin
x－122＋32.
因为 x∈R，所以 sin x∈[－1,1]，
因此，当 sin x＝12时，f(x)有最大值32.
当 sin x＝－1 时，f(x)有最小值－3.
所以所求函数 f(x)的值域是－3，32.
2．已知 sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角 α. 答案：π6
二倍角的正弦余弦公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
2
tan tan
22.5 2 22.5
1 tan 45 2
1 2
例题讲解
例1. 已知sin 2 3 ,且 ,求sin 4, cos 4, tan 4的值
54
2
解：由 ,得 2 ,
4
22
cos 2 1 sin2 4
5
sin 4 sin(2 2 ) 2sin 2 cos 2 2 3 ( 4) 24
3.1.３二倍角旳正弦、余 弦、正切公式
复习回忆
正弦、余弦、正切旳和角公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
思索探索
你能否利用三角函数旳和角公式推导出 下列公式？
5 5 25
cos 4 cos2 2 sin2 2 16 9 7
tan 4sin 424 2525 24
25
25
cos 4 7
7
25
24
(1)已知是第三象限角，sin 3 ,则sin 2 __2_5__
(2)已知cos 2
1 ，则 cos 4 3
5 sin 4
1 ___3__
4
sin 2
sin( ) sin cos cos sin 2sin cos
cos 2
cos( ) cos cos sin sin cos2 sin2
tan 2
tan( ) tan tan 1 tan tan
1
2
tan tan2
思索探究
仔细观察余弦旳二倍角公式，结合我们前面所学 旳知识，你还能得出哪些不同旳体现式？
《二倍角正弦、余弦、正切公式》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R
倍 角
cos 2 cos2 sin2
R
公 式：
tan 2
1
2
tan tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于C2 能否有其他表达形式？
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
公式中旳角是否为任意角？ 3
注意：
①二倍角公式旳作用在于用单角旳三角函数来体现二倍角 旳三角函数，它合用于二倍角与单角旳三角函数之间旳互 化问题。
2 tan150 (3) 1 tan2 150 ;
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
6
练习 同类题 (1) sin cos 44
(2) sin4 cos4
2
2
1 tan2 3
(3)
2
tan 3
2
(4) sin( ) cos( )
13
4
例1
已知cos
12 ,
(
, )，求sin，
2 13 2 2
cos ，tan 的值。
已知sin 2 5 , ( , )，求sin 4，
13
42
cos 4，tan 4的值。
5
例2 求下列各式旳值：
(1) sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
4
4
(5)、cos cos 5
12 12
(6)、cos 36 cos 72
7
引申：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件
sin
θ θ 2 － cos 2 2
θ θ θ θ －sin －cos . ＋ cos 2 2 2 2
∵θ∈(0，π)， θ π ∴2∈0，2. θ π θ θ (1)当2∈ 0，4 时，cos 2≥sin 2， θ θ θ θ θ 此时原式＝sin 2＋cos 2－cos 2＋sin 2＝2sin 2. θ π π θ θ (2)当2∈ 4，2 时，cos 2<sin 2， θ θ θ θ θ 此时原式＝sin 2＋cos 2－sin 2＋cos 2＝2cos 2.
例2 化 简
(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20
cos 20 sin 20
cos 20 sin 20
2 cos10
2 sin10
2
变式：如何化简 2 sin 2 cos4呢？
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦和正切公式
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复习回顾：
• 完成下列和角公式
sin( ) sin cos sin cos
思考：
cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan
例3.求 sin(－340°)cos400°＋ sin830°cos50°的值. 3
2
例4.tan70 cos10 ( 3 tan20 1)
1
跟踪训练3：
cos 10 (1) 3sin10 tan 70 2 cos 40 tan 20
二倍角的三角函数ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施
二倍角公式的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
sin 2x cos 2x 1
2 sin(2x ) 1
4
所以函数 f (x)旳最小正周期 T 2 .
(II)由(I)知,当 x k
2x 2k
4
2
2
,即
(k Z )时，f (x)取最大值
.
8
2 1.
应用公式处理问题时应注意旳几种问题：
1. 转化思想是实施三角变换旳主导思想,变换包 括:函数各称变换、角旳变换、常数旳变换、 和积变换、幂旳升降变换等等.
2
即 (cos sin )(cos sin ) 2 ,
2 (sin cos )
2
2 cos
sin
1
.
2
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
．
(I)求函数 f (x) 旳最小正周期;
(II)求函数 f (x)旳最大值及 f (x)
取最大值时x旳集合.
解析(：I)因为 f (x) sin 2x (1 cos 2x)
正切：tan 2 2 tan 1 tan2
二倍角公式旳变形
降幂公式：sin2 1 cos2 , cos2 1 cos2 ,
2
2
tan2 1 cos2 .
1 cos2
升幂公式：1 cos2 2sin2 ,
1 cos2 2cos2.
(1 2sin cos ) (sin cos )2
1.已知 sin( x)sin( x) 1 , x ( , ), 求sin 4x.
4
4
62
2.已知
cos
sin(
2
)
2 ,求cos sin 旳值.
2
4
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
3二倍角的正弦、余弦、正切公式 公开课一等奖课件
练习：
讲授新课
思考：
讲授新课
思考：
由此我们能否得到sin2，cos2， tan2的公式呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
课堂小结
本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦和正切公式，我们要熟记公式， 在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.132到P.134; 2. 《习案》作业三十二.
撸撹撺挞撼撽挝擀擃 掳擅擆擈擉擌擎擏擐 擑擓携擖擗擘擙擛擜 擝擞擟抬擢擤擥举擨
湖南省长沙市一中卫星远程学校
3.1.3 两倍角的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
练习：
1.在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
注意：
讲解范例： 例1.
讲解范例： 例2. 在△ABC中,
讲解范例： 例3.
讲解范例： 例4.
讲解范例： 例4.
练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.
二倍角的正弦、余弦、正切公式 省一等奖课件
思考：
cos 2 cos sin
2 2
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
cos 2 1 2 sin
2
cos 2 2 cos 1
2
公式推导：
tan 2 tan( )
公式推导：
tan 2 tan( )
公式推导：
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos cos 2 cos( ) cos cos sin sin
公式推导：
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos cos 2 cos( ) cos cos sin sin 2 2 cos sin
sin 2 sin( ) sin cos cos sin
公式推导：
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos
公式推导：
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos cos 2 cos( )
复习引入 基本公式：
tan tan tan( ) 1 tan tan
复习引入 基本公式：
tan tan tan( ) 1 tan tan
tan tan tan( ) 1 tan tan
练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.
课堂小结
本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦和正切公式，我们要熟记公式， 在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
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的两倍,
4α
是2α
的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记 忆，需要时可直接推导.
sin2α ＝2sinα cosα ；
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
tan 2 2 tan 1 tan 2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？
cos2α ＝2cos2α －1＝1－2sin2α
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分别是什么？
2用.上述4 是公特式殊可角以，求4 与 的8 三是角倍函半数关值系.，如利果 能推导一组反映倍半8 关系的三角函数公 式，将是很有实际意义的.
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β ＝α 时，这 三个公式分别变为什么？
思考4：sin2α ，cos2α 能否分别用 tanα 表示？
cos 2a
=
11+
tan2 a tan2 a
sin 2a
=
2tan a 1 + tan2 a
理论迁移
例1
已知
sin 2
5 13
， 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4 的值.
例2 在△ABC中,cos A = 4 , t an B = 2,
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α 的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α ，cos3α 与α 的 三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α 可化为什么？
1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα ， cosα 与cos a n 2C 的值.
- 44 117
例3 化简 (sin 2x + cos 2x - 1)(sin 2x - cos 2x + 1)
sin 4x
tanx
例4 已知 sin a + cos a = 1，且α ∈(0， π )，求cos2α 的值. 3
- 17 9
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α 是α
sin2 a = 1 - cos 2a 2
cos2 a = 1 + cos 2a 2
思考3：tanα 与sin2α ，cos2α 之间是 否存在某种关系？
t an2 a = 1 - cos 2a 1 + cos 2a
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2