安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含解析
安徽省池州市2024届高三上学期期末数学试题含答案
高三数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出、确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{3,2,0,1,2,M N x y =--==，则M N ⋂=（）A.{3,2,0,1}-- B.{0,1,2}C.{3,2}-- D.{2}【答案】C 【解析】【分析】依题求得y =N ,再利用交集定义即得.【详解】因{{}260(,2][3,)N xy x x x ∞∞===--≥=--⋃+∣∣，而{3,2,0,1,2}M =--，{3,2}M N ∴=-- ．故选：C.2.已知(1i)1i z ⋅+=-，则z z -=（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得i z =-，得到2i z z -=，即可求解.【详解】由复数(1i)1i z ⋅+=-，可得1i (1i)(1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ----====-++-，所以i z =，则2i z z -=．故选：B.3.已知向量(1,1),(1,1)a b ==-，若()()a b a b λμ++∥，则下列关系一定成立的是（）A.1λμ=-B.2λμ-= C.0λμ+= D.1λμ=【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案.【详解】(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)a b a b a b λλλμμμ==-∴+=+-+=+-，由()()a b a b λμ++∥可得，(1)(1)(1)(1)λμλμ+⋅-=-⋅+，整理得1λμ=．故选：D .4.已知函数()2()ln f x x ax =-在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞B.(,2]-∞ C.(0,2]D.[2,)+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.【详解】由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增，因为函数()2()ln f x x ax =-在区间(1,)+∞上单调递增，则有函数22()24a a y x x a x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭在区间(1,)+∞上恒正且单调递增，则满足12a≤且10a -≥，解得1a ≤，所以实数a 的取值范围是(,1]-∞．故选：A.5.某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过n 周后，该化学物质的存量低于该化学物质的15，则n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.301≈）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】设该化学物质最初的质量为a ，经过n 周后，该化学物质的存量为45na ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，根据题意可得出4155n⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性、换底公式可求得n 的最小值.【详解】设该化学物质最初的质量为a ，经过n 周后，该化学物质的存量为45na ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意可得4155na a ⎛⎫⋅<⋅ ⎪⎝⎭，即4155n⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得41lg lg 55n <，所以，3110lglglg 51lg 210.301527.21451013lg 2130.301lg lg lg 542n -->===≈≈--⨯，故正整数n 的最小值为8.故选：C.6.56()()x y x y +-的展开式中47x y 的系数为（）A.10 B.10- C.20D.20-【答案】A 【解析】【分析】将原式化为()522()x y x y --的形式，再利用二项展开式的通项公式求解可得答案.【详解】()55622()()()x y x y x y x y +-=--，()522x y -展开式的通项公式为102215(1)C (05,)r r r r r T x y r r -+=-≤≤∈N ，3r =时，46410T x y =-，所以47x y 的系数为1(10)10-⨯-=．故选：A .7.已知过点(2,0)A 与圆：22410x y y +--=相切的两条直线分别是12,l l ，若12,l l 的夹角为α，则tan α=（）A.4-B.4C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得该圆圆心(0,2)C，半径r =，借助切线定义可得【详解】22410x y y +--= ，即22(2)5x y +-=，可得圆心(0,2)C，半径r =，过点(2,0)A 作圆C 的切线，切点为M ，N，||AC ==||MA ==则15tan 3MAC =∠=，故223tan tan 21MAN MAC ⨯∠=∠==-⎝⎭，故MAN ∠为钝角，则()tan tan πtan MAN MAN α=-∠=-∠=.故选：D.8.下列不等关系中错误的是（）A.ln 2ln 323< B.e e (1)a b b a a b >>> C.131cos432< D.77sinπ22+>【答案】C 【解析】【分析】对于A 项，利用等价转化即得；对于B ,C,D 项都要结合式子特征，通过观察、拼凑构造函数，利用函数的单调性进行判断.【详解】对于A 项，因ln 2ln 33ln 22ln 3ln 8ln 923<⇔<⇔<，故A 项正确；对于B 项，设e (),1x k x x x =>，则2e (1)()0x x k x x-'=>在(1,)+∞上恒成立，故函数()k x 在(1,)+∞上单调递增，因1a b >>，故()()k a k b >，即e e a ba b>，故e e a b b a >，故B 项正确；对于C 项，因21311111cos cos 1143243224⎛⎫<⇔<-=- ⎪⎝⎭，故构造21()cos 1,(0)2f x x x x =-+>，则()sin 0,f x x x '=->则()f x 在(0,+)∞上单调递增，1131cos 04432f ⎛⎫=->⎪⎝⎭，故C 项错误；对于D 项，777777sinπsin πsin ππ222222⎛⎫+>⇔>-⇔->- ⎪⎝⎭，77sin ππ22⎛⎫⇔-<- ⎪⎝⎭，构造函数()sin ,(0,1),f x x x x =-∈则()1cos 0,f x x '=->()f x 单调递增，777π(0)0,πsin π222f f ⎛⎫⎛⎫∴->=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 项正确．故选：C.【点睛】关键点法点睛：本题主要考查构造函数比较大小问题,属于难题.解决比较大小问题的关键在于将不等式进行等价转化，通过观察特点，拼凑，使其具有相同的结构，构造函数，通过求导得到函数的单调性，利用单调性比较式的大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列判断中正确的是（）A.一组从小到大排列的数据1-，1，3，5，6，7，9，x ，10，10，去掉x 与不去掉x ，它们的80%分位数都不变，则10x =B.两组数据123,,,, m x x x x 与123,,,, n y y y y ，设它们的平均值分别为x E 与y E ，将它们合并在一起，则总体的平均值为x ym nE E m n m n+++C.已知离散型随机变量1~8,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(23)3D X +=D.线性回归模型中，相关系数r 的值越大，则这两个变量线性相关性越强【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数，期望与方程的计算与性质，以及相关系数r 的意义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，数据1-，1，3，5，6，7，9，x ，10，10的80%分位数为102x +，数据1-，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位数为10，所以10x =，选项A 正确；对于B 中，由平均数的公式，可得121()x m x E x x m ++=+ ，121()y n y E y y n=+++ ，则将它们合并在一起，可得()12121,()m n E X Y x x y m n x y y +++++=+++ x y m nE E m n m n=+++，所以B 正确；对于C 中，离散型随机变量1~8,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()2(1138144D X =⨯⨯-=，根据方差的性质，可得2(23)2()6D X D X +=⨯=，所以C 错误；对于D 中，相关系数r 越大，两个变量线性相关性越强，所以D 错误．故选：AB.10.下列函数中均满足下面三个条件的是（）①()f x 为偶函数；②()1f x <；③()f x 有最大值A.()cos f x x= B.1()sin 2f x x =C.||11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭D.||()12x f x =-【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()1f x <；③()f x 有最大值，对于A 中，函数()cos f x x =，由余弦函数的性质，可得()cos 1f x x =≤，不满足②，所以A 不符合题意；对于B 中，函数1()sin 2f x x =，由11()sin()sin ()22f x x x f x -=-==，满足①；又由11sin 22x ≤，满足②；由函数max 1()2f x =，满足③，所以B 符合题意；对于C 中，函数||11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，由||1||111()()22x x f x f x -++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足①；又由11x +≥，可得||112102x +⎛⎫< ⎪≤⎝⎭，满足②；当0x =时，可得max 1()2f x =，满足③，所以C 符合题意；对于D 中，函数||()12x f x =-，由20x >，可得||()112x f x =-<，无最大值，不满足③，所以D 不符合题意.故选：BC.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，点F 在该正方体的侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．下列说法正确的是（）A.点F 轨迹是长度为2的线段B.三棱锥1F A BE -的体积为定值12C.存在一点F ，使得11B F CD ⊥ D.直线BC 与直线1B F 所成角的正弦值的取值范围为15,35⎡⎢⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】设G 为CD 中点，证得11B F //平面1A BE ，12//F F 平面1A BE ，得到平面112//B F F 平面1A BE ，得出点F 的轨迹为线段12F F ，可判定A 正确；由11111F A BE B A BE E A BB V V V ---==，可判定B 错误；当点F 为12F F 中点时，证得11B F CD ⊥，可判定C 正确；当点F 为12F F 中点和点F 与1F 或2F 重合时，分别求得直线1B F 与直线BC 所成角的正弦值可判定D 正确.【详解】设G 为CD 中点，则截面图形是1A BGE 为等腰梯形，12,F F 分别为111,C D C C 的中点，可得11//B F BG 且12//F F EG ，因为11B F ⊄平面1A BE ，12F F ⊄平面1A BE ，且BG ⊂平面1A BE ，EG ⊂平面1A BE ，所以11B F //平面1A BE ，12//F F 平面1A BE ，又因为11121B F F F F = ，且1112,B F F F ⊂平面112B F F ，所以平面112//B F F 平面1A BE ，因为1//B F 平面1A BE ，且点F 在该正方体的侧面11CDD C 上运动，所以点F 的轨迹为线段12F F，且122F F =，所以A 正确；由11111111111326F A BE B A BE E A BB V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，所以B 错误；当点F 为12F F 中点时，因为1112B F B F =，可得112B F F F ⊥，因为121//F CD F ，所以11B F CD ⊥，所以C 正确；当点F 为12F F 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -，可得11//BC B C ，则直线1B F 与直线BC 所成的角，即为直线1B F 与直线11B C 所成的角，设11C B F θ∠=，在等腰12BF F △中，111212,22B F B F F F ===，可得1B F =，在11B C F △中，可得22211111119112288cos 32321B F B C C F B F B F θ+-+-===⋅，所以1sin 3θ==；当点F 与1F 或2F 重合时，此时直线1B F 与直线BC所成角的正弦值为1111sin 5C F B F θ==，所以直线BC 与直线1B F所成角的正弦值的取值范围为1,35⎡⎢⎣⎦，所以D 正确.故选：ACD.12.已知数列{}n a满足111,n a a +==）A.20242023a a > B.21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列C.211414n n n a a a ++-= D.220241013a <【答案】ACD 【解析】【分析】利用作差法由数列单调性可求得数列{}n a 为递增数列，可得A 正确；再根据10n a ≥>以及复合函数单调性可判断B ，化简整理可判断C 正确，由关系式可得22112n n a a +-<，再利用累加法可判断D 正确.【详解】因为10n n n aa a +-==，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，可得20242023a a >，选项A 正确；因为数列{}n a 为递增数列且10n a ≥>，则21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，选项B 错误；因为1n a+=12n n a a +-=两边平方整理得211414n n n a a a ++-=，选项C 正确．因为211414n n n a a a ++-=，整理得1114n n n a a a ++=-，两边平方得22211211111622n n n n a a a a +++=+->-，即22112n na a +-<，可得222222202420232023202221111,,,222a a a a a a -<-<-< ，累加可得22202411(20241)1011.52a a -<⨯-=，即2202411011.5a -<，所以220241012.51013a <<，故D 正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：再判断D 选项时，关键要对表达式整理变形后进行合理放缩可得22211211111622n n n n a a a a +++=+->-，即22112n na a +-<，再利用累加法即可作出判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有不同的排法有___________种．【答案】78【解析】【分析】利用分类加法计数原理结合排列知识可直接求得答案.【详解】上午2节不连堂，下午一节，共有3333A 54⨯=种；上午1节，下午2节不连堂，共有334A 24=，故不同的排课方案共有542478+=种．故答案为：78.14.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________．【解析】【分析】由图象可得A ，及函数周期，后由图可得06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得ϕ，即可得答案.【详解】由图象可得max ()2A f x ==，函数()y f x =的最小正周期为ππ2π36T ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，2π2π2πT ω∴===，则()2sin(2)f x x ϕ=+，πππ2sin 22sin 0663f ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，π2π(),3k k ϕ∴-=∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z ，由于ππ||,0,23k ϕϕ<∴==，π()2sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，故π2π2sin 63f ⎛⎫== ⎪⎝⎭15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，点B 在y 轴上，1222,2F B F B F A F B ⊥=-，则双曲线C 的离心率为___________．【答案】3【解析】【分析】由题，结合图形可得12F B F B == ，又由222F A F B =-，结合双曲线定义及勾股定理可得答案.【详解】因12F B F B ⊥，122F F c =，点B 在y 轴上，则12F B F B == .又222F A F B =-，则2F A = ，AB =，由勾股定理，1AF == ，由双曲线定义，122AF AF a -==-则523c a ==．故答案为：3.16.现有一个底面边长为，高为4的正三棱柱形密闭容器，在容器中有一个半径为1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意运动，则小球未能达到的空间体积为___________．【答案】10π3-【解析】【分析】计算边长为移动中所形成的空间几何体的体积，再用正三棱柱体积减去总体积即可得小球未能达到的空间体积.【详解】边长为(221r ==，故该小球恰好与该正三棱柱从侧面相切，球在上下移动中所形成的空间几何体为两个半球+圆柱，其体积为：()2314102π1422π1π233V V +=⨯⨯-+⨯⨯⨯=柱半球，所以剩下体积：(2310104ππ433V =⨯-=．故答案为：10π3-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin()A B C B -=-．（1）求角C 的大小；（2）若ABC 的面积236S c =，求c b 的值．【答案】（1）π3（22【解析】【分析】（1）由sin sin sin()A B C B -=-，化简得到2cos sin sin 0C B B -=，求得1cos 2C =，即可求解；（2）由ABC 的面积26S c =，求得232c ab =，再由余弦定理列出方程，求得2a b =或2a b =，进而求得cb的值.【小问1详解】解：由题意知sin sin sin()A B C B -=-因为πA B C ++=，可得sin sin()A B C =+，所以sin()sin()sin C B C B B +--=，即sin cos cos sin sin cos cos sin sin C B C B C B C B B +-+=，可得2cos sin sin 0C B B -=，又因为(0,π)B ∈，可得sin 0B >，所以1cos 2C =，因为(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】解：因为ABC的面积26S c =，可得2133sin 246S ab C ab c ===，解得232c ab =，由余弦定理得22232c a b ab ab =+-=，即222520a ab b -+=，解得2a b =或2a b =，当2a b =时，可得2322c b b =⨯⋅，所以cb =；当2a b =时，可得23122c b b =⨯⋅，所以2c b =．18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为()2,241N n n n n S a a S n *+=-∈．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ;（2）令()()1148112n n n n n b a a +++=++，求n b 的前9项之和．【答案】（1）2n S n =（2）511910240【解析】【分析】（1）由2241n n n a a S +=-，得到2111241n n n a a S ---+=-，两式相减，整理得到12n n a a --=，得到数列{}n a 是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到1112(1)2n n n b n n +=-⋅+⋅，结合裂项法去和，即可求解.【小问1详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2241n n n a a S +=-，可得2111241,(2)n n n a a S n ---+=-≥，两式相减可得()221124,(2)n n n n n a a a a a n ---+-=≥，所以()()1120,(2)n n n n a a a a n --+--=≥，因为0n a >，所以12,(2)n n a a n --=≥，又因为2111241a a a +=-，解得11a =，所以数列{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，可得2(121)2n b n S n +-==.【小问2详解】解：由（1）知21n a n =-，可得()()11111484(2)2(1)1111222(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n b a a n n n n n n ++++++++-====-++⋅+⋅+⋅⋅+⋅，所以12912231111111))122222322(1)2(((n n b b b n n ++++--++=+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 10115119210210240=-=⨯．19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面,224,ABCD AB AD EF AE DE =====．（1）求该五面体的体积；（2）请判断在棱BF 上是否存在一点G ，使得AG 与平面BCF所成角的正弦值为15若存在，求BG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）103（2）存在，BG =【解析】【分析】（1）易证//AB EF ，分别取AB 与CD 的中点M ，N ，连接,,MN MF NF ，则五面体面积分割成棱柱ADE MNF -和棱锥F MBCN -，结合柱体体积公式进而得解；（2）取AD 中点为O ，BC 中点Q ，连接OQ ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OQ 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF 的法向量，设BG BF λ= ，求出点G ，得到AG，结合向量夹角公式求出λ，进而求出BG 的长.【小问1详解】因为底面ABCD 是矩形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ，又因过AB 的平面ABEF平面CDEF EF =，所以//AB EF ，分别取AB 与CD 的中点M ，N ，连接,,MN MF NF ，则平面FMN 将五面体分割成两部分，几何体ADE MNF -和棱锥F MBCN -，故ADE MNF F MBCN V V V --=+五面体，取AD 中点为O ，2AE ED AD === ，90AED ∴∠=︒，O 为AD 中点，EO AD ∴⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，EO ⊂平面ADE ，EO ∴⊥平面ABCD ，又因为4AB CD ==，所以2AM DN EF ===，则几何体ADE MNF -为棱柱，取MN 的中点H ，连接OH ，可得//,OH EF OH EF =，则四边形OEFH 为平行四边形，则//EO FH ，由EO ⊥平面ABCD ，可得FH ⊥平面ABCD ，则FH 为棱锥F MBCN -的高，由1122AE ED AD EO ⋅=⋅可得1AE ED FH EO AD⋅===，则11441333F MBCN MBCN V S FH -=⋅=⨯⨯=，又AM AD ⊥，AM ⊂平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，平面ADE ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ADE ，所以AM 为棱柱ADE MNF -的高，122ADE MNF ADE V S AM -=⋅=⨯=△，103F MBCN ADE MNF V V V --=+=五面体；【小问2详解】取BC 中点Q ，连接OQ ，易得//OQ AB ，,OQ AD ⊥结合（1）可知OA OE OQ 、、两两垂直，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OQ 为y 轴，OE 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系；则(1,4,0),(1,4,0),(1,0,0),(0,0,1),(2,0,0)B C A E BC -=-，2EF = ，(0,2,1),(1,2,1)F BF ∴=--，设平面BCF 的法向量(,,)m x y z =，可得0,0,BC m BF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则20,20x x y z -=⎧⎨--+=⎩，得0x =，令1y =得2z =，解得平面BCF 的一个法向量(0,1,2)m =，G 在BF 上，设(1,2,1)(,2,)BG BF λλλλλ==--=--，[]0,1λ∈，(1,42,)G λλλ∴--，则(,42,)AG λλλ=--，设直线AG 与平面BCF 所成角为θ，sin cos ,m AGAG m m AG θ⋅===15==，23850,1λλλ∴-+=∴=或53λ=（舍去），||||BG BF ∴==故存在G点，当BG =G 与F 重合时，AG 与平面BCF所成角的正弦值为15．20.编号为1，2，3，4的四名同学一周内课外阅读的时间（单位：h ）用()(1,2,3,4)i t i =表示，(1)(2)(3)(4)5,6,7,8t t t t ====，将四名同学的课外阅读时间看成总体，则总体的均值为6.5h ．先后随机抽取两个()i t 值，用这两个值的均值来估计总体均值．（1）若采用有放回的方式抽样（两个()i t 值可以相同），则样本均值的可能取值有多少个？写出样本均值的分布列并求其数学期望；（2）若采用无放回的方式抽样，则样本均值超过总体均值的概率会不会大于0.5？（3）若考虑样本均值与总体均值的差的绝对值不超过0.5的概率，那么采用哪种抽样方法概率更大？【答案】（1）16个，分布列见解析，（2）不会（3）采用无放回的抽样方法概率更大【解析】【分析】（1）根据题意，列出基本事件空间，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望；（2）根据题意，列出基本事件空间，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望；（3）分别求得有放回的抽样时，5(67)8P t ≤≤=，无放回的抽样时，2(67)3P t ≤≤=，结合5283<，即可求解．【小问1详解】解：有放回抽样会有16个等可能的样本t(1)5t =(2)6t =(3)7t =(4)8t =(1)5t =55.56 6.5(2)6t = 5.56 6.57(3)7t =6 6.577.5(4)8t = 6.577.58可得11313(5),( 5.5),(6),( 6.5),(7)16816416P t P t P t P t P t ==========，11(7.5),(8)816P t P t ====，所以样本均值的分布列为：t5 5.56 6.577.58P116183161431618116则均值1131311()5 5.56 6.577.58 6.516816416816E t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】解：无放回抽样会有12个等可能的样本，t(1)5t =(2)6t =(3)7t =(4)8t =(1)5t = 5.56 6.5(2)6t = 5.5 6.57(3)7t =6 6.57.5(4)8t =6.577.5可得11111( 5.5),(6),( 6.5),(7),(7.5)66366P t P t P t P t P t ==========所以样本均值的分布列为：t5.566.577.5P1616131616所以样本均值超过总体均值的概率为1110.5663+=<，所以样本均值超过总体均值的概率不会大于0.5．【小问3详解】解：样本均值与总体均值的误差不超过0.5的概率(67)P t ≤≤，有放回的抽样，5(67)8P t ≤≤=；无放回的抽样，2(67)3P t ≤≤=，因为5283<，故采用无放回的抽样方法概率更大．21.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆C 的右顶点为A ，上顶点为B ，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，且始终满足OP OQ ⊥，作OM PQ ⊥交PQ 于点M ，求MA MB ⋅的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）12237+【解析】【分析】（1）根据题意，得到48a =，再由离心率为12，求得1c =，进而求得椭圆的标准方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为x my t =+，联立方程组得到1212,y y y y +，结合OP OQ ⋅= ，求得点M 的轨迹方程为22127x y +=，法1、设(,)M m n ，得到2237(1)24MA MB m n ⎛⎫⋅=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，结合圆的性质，即可求解；法2、设()00cos ,sin ,[0,2π)M r r θθθ∈，得到1237)77MA MB θϕ⋅=-+ ，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的性质可知，左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，可得光线经过的路程为48a =，解得2a =，又由椭圆的离心率为12，可得12c e a ==，所以1c =，故222413b a c =-=-=，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．【小问2详解】解：椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，则(2,0)A，B ，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为x my t =+，联立方程组22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223463120m y mty t +++-=，则()()()222264343120y mt m t +-+->且21212226312,3434mt t y y y y m m --+==++，因为OP OQ ⊥，可得0OP OQ ⋅=，所以()()()()221212121212121x x y y my t my t y y my ymt y y t +=+++=++++()222223126103434t mt m mt t m m --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，化简为()227121t m =+，而O 到直线PQ的距离为||7OM ==，即有M 的轨迹方程为22127x y +=；法1、设(,)M m n，则22(2,)()2MA MB m n m n m m n ⋅=--⋅--=-+227(1)24m n ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，表示点(,)m n与点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离的平方，减去74的差；由点(0,0)与⎛⎝⎭的即离为72，可得M与点⎛ ⎝⎭的距离的最大值为722127+，则MA MB ⋅的最大值为27122747⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.法2、令0r =，设()00cos ,sin ,[0,2π)M r r θθθ∈，所以()()000000122cos ,sin cos sin 2cos sin 7MA MB r r r r r θθθθθθ⋅=--⋅--=-1212)77θϕ=-+≤+tan 3ϕ=），当且仅当ππ1,tan tan 22tan 2θϕθϕϕ⎛⎫+=-=--== ⎪⎝⎭时，取“等号”．【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，若()=e x f x ，构造函数()()()p x xf x ag x =+．（1）当1a =时，求函数()p x 在点(1,(1))p 处的切线与坐标轴围成三角形的面积；（2）若()(1)()()r x x f x g x '=+-（其中()g x '为()g x 的导函数），当1a =-时，(1)()()t r t p t +=，证明：5593et <<．（参考数据：ln 3 1.099,ln 5 1.609≈≈）【答案】（1）2(e 1)4e 2++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得()p x 表达式，后由导数知识可得函数()p x 在点(1,(1))p 处的切线方程，即可得相关三角形面积；（2）由（1），当1a =-，(1)()()t r t p t +=()()2ln 1e1(ln )0t t t t t t t +⇔++-++=，由e 1x x ≥+结合分析可得ln 0t t +=，后由零点存在性定理可证明结论.【小问1详解】由题，()ln g x x =，则()()()e ln x p x xf x ag x x a x =+=+，当1a =时，()e ln ,(1)e x p x x x p =+=，则1()e e (1)2e 1x x p x x p x''=++=+，()1e p =.则切线方程为e (2e 1)(1)y x -=+-，又切线与坐标轴的交点为e 1,0,(0,e 1)2e 1A B +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，则21e 1(e 1)e 122e 14e 2AOB S ++=⋅--=++ ；【小问2详解】当1a =-时，()e ln x p x x x =-，由题意(1)()()t r t p t +=，即1(1)(1)e e ln t tt t t t t ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦21(1)e e ln t t t t t t t+⇔+-=-22(1)e (1)e ln t t t t t t t t⇔+-+=-2ln ln (1)e e (1)ln t t t t t t t t t++⇔+-=+-()ln 222e 11ln t t t t t t t t t+⇔++=++--()()()2ln 1e 1(ln )0t t t t t t t +⇔++-++=*构造函数()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，()()0000h x x h x x ''>⇒><⇒<，，得()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即()()min 00R e 1xh x h x x ==⇒∀∈≥+，，当且仅当0x =时取等号.则()*式()201(ln 11)(ln )t t t t t t t =≥++++-++()2(ln )1t t t t t =++++2(ln )(1)t t t =++因2(01)t +≥，则ln 0t t +≤，①因0t >，则()ln 0t t t +≤，又结合（*）式，可得()()2ln 01e 1t t t t +≤++-，因22131024t t t ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭则ln e 10ln 0t t t t +-≥⇒+≥，②由①②知ln 0t t +=，构造函数1()ln (0)()10t t t t t t ϕϕ'=+>=+>，，，则()t ϕ在(0,)+∞单调递增，注意到5555ln 52ln 30ln 5ln 310993e 3eϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由零点存在性定理可知：5593e t <<．【点睛】关键点睛：对于e x 与ln x 同时出现的问题，我们常用指对互化的方法使相关式子产生相同结构，从而简化问题.。
20-20学年安徽省池州市(鼎尖教育)高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年安徽省池州市（鼎尖教育）高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|−2≤x ≤2}，那么A ∩B =( )A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，2，3}D. {x|−2≤x ≤2}2. 已知复数z =5i−1+2i (i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数f(x)=ln 11−x 的定义域是( )A. (0,1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)4. 已知离心率为53的双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，若点P 是抛物线y 2=12x 的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足PF 1⊥PF 2，则双曲线的方程是( )A. x 216−y29=1 B. x 23−y 24=1 C. x 29−y 216=1 D. x 24−y 23=1 5. 由y =2sin(4x −14π)的图象向左平移π2个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为( )A. y =2sin(2x −14π) B. y =2sin(2x +14π) C. y =2sin(2x −18π)D. y =2sin(8x −14π)6. 如图，E ，F ，G ，H 是平面四边形ABCD 各边中点，若在平面四边形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( )A. 14B. 12C. 34D. 587. 若实数x,y 满足{y ⩽2|x|−y +1⩽0，则z =x+y x−2的最小值为( )A. −2B. −3C. −4D. −58. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 49. 已知sin(π6−α)=√63，则cos(2α+2π3)=( )A. −23B. −13C. 23D. 1310. 已知圆x 2+y 2=4，过点P(0,√3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( )A. √3B. 2C. 2√3D. 411. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点A 、B ，|AF|=3|BF|，则|AB|=( )A. pB. 43pC. 2pD. 83p12. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠ACB =90°，AA 1=AC =CB ，则直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值是( )A. 12B. √22 C. √32 D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. sin600°+tan240°的值等于______ ．15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1−a n =n(n ∈N ∗)，则a 100的值为______ ．16. 已知四面体P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC =2√2，PB =AB =2，则球O 的表面积为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知正项等比数列{a n }满足a 3=8，S 3=14．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n +log 2a n }的前n 项和S n ．18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点．(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD//平面B1PQ；(2)若二面角B1−PQ−C1的平面角的余弦值为√1313，求点P到平面BQB1的距离．21.已知函数f(x)=x4+54x−lnx−32．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．22.已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x−1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：B．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数的除法运算化简为a+bi(a,b∈R)的形式，则答案可求．解析：解：z=5i−1+2i =5i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=10−5i5=2−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限，故选D．3.答案：B解析：解：f(x)=ln11−x，要使f(x)有意义，则需满足11−x>0，即1−x>0，x<1，∴f(x)的定义域为(−∞,1)．故选：B．本题考查了函数的定义域，属于基础题．要使函数f(x)有意义，则需满足11−x>0，求解即可．4.答案：C解析：解：离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)可得c a =53，则b a =43， 双曲线的一条渐近线方程为：4x −3y =0，抛物线y 2=12x 的准线：x =−3，可得P(−3,−4)， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1(−c,0)，F 2(c,0)，满足PF 1⊥PF 2，(3−c,4)⋅(3+c,4)=0，解得c =5，则a =3；b =4； 舍去的双曲线方程为：x 29−y 216=1．故选：C ．求出抛物线的直准线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出a ，b 即可得到双曲线方程．本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：A解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．解：由y =2sin(4x −14π)的图象向左平移π2个单位，可得y =2sin(4x +2π−π4)=2sin(4x −π4)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y =2sin(2x −π4)的图象， 故选A ．6.答案：B解析：连接AC 、BD ，由相似三角形面积比可得，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分面积与四边形面积的关系，是中档题． 解：如图，连接AC，BD，∵E，F，G，H是平面四边形ABCD各边中点，∴S△AEH=14S△ABD，S△BEF=14S△ABC，S△CFG=14S BCD，S△DGH=14S ACD，∴S△AEH+S△BEF+S CFG+S△DGH=12S四边形ABCD．，即在平面四边形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是12．故选：B．7.答案：B解析：本题主要考查利用线性规划求函数的最值，属中档题．先画出不等式组对应的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解：作出不等式组对应的平面区域，如图：z=x+yx−2=x−2+y+2x−2=1+y+2x−2，设k=y+2x−2，则k的几何意义为区域内的点到定点(2,−2)的斜率，由图像知，AD的斜率最小，由{y =2x −y +1=0得{x =1y =2， 即A(1,2)，此时AD 的斜率k =2+21−2=−4， 则z =1+k =−3， 则z =x+yx−2的最小值为−3． 故选B ．8.答案：A解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题． 利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 解：∵a >0，b >0，a +b =2，∴y =1a +4b =12(1a +4b)(a +b) =12(1+4+ba+4a b)⩾12(5+2√b a⋅4a b)=92，当且仅当b =2a ，即a =23，b =43时等号成立， 故选A ．9.答案：D解析：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos(2α+2π3)的值．解：∵sin(π6−α)=√63，则cos(2α+2π3)=−cos[π−(2α+2π3)]=−cos(π3−2α)=−1+2sin 2(π6−α)=13， 故选D ．10.答案：B解析：解：当直线l不存在斜率时，S△OAB=0，当直线存在斜率时，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx+√3，即kx−y+√3=0，∴圆心到直线的距离d=√3√k2+1．|AB|=2√r2−d2=2√4−d2．∵S△OAB=12|AB|⋅d=√4−d2⋅d=√(4−d2)d2≤4−d2+d22=2，当且仅当d2=4−d2等号成立，即d=√2，k=√22．∴△OAB面积的最大值是2．故选B．讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，利用基本不等式求出S△OAB=12|AB|⋅d=√4−d2⋅d≤4−d2+d22=2，即可得出结论．本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．11.答案：D解析：解：设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l′：x=−p2．如图所示，①当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．∵|AF|=3|BF|=34|AB|，∴|AM|−|BN|=|AC|=|AF|−|BF|=12|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=12|AB|，可得∠BAC=60°．∵AM//x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．∴k AB=tan60°=√3，直线方程为y=√3(x−p2)，代入抛物线方程，可得3x2−5px+34p2=0，∴|AB|=√1+3⋅√(5p3)2−p2=83p，②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得k AB=−√3.|AB|=83p综上可知：|AB|=83p，故选：D．设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l′：x=−p2.如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N.过点B作BC⊥AM交于点C.则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|.由于|AF|=3|BF|=34|AB|，可得|AM|−|BN|=|AC|=|AF|−|BF|=12|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=12|AB|，可得∠BAC=60°.由于AM//x轴，可得∠BAC=∠AFx=60°.即可得到k AB=tan60°=√3，当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．本题考查了抛物线的定义及其性质、含60°角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．12.答案：A解析：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．取A1B1的中点O，连结OC1、OB，则C1C⊥平面A1B1C1，C1O⊥A1B1，由AA1//CC1，得C1O⊥AA1，从而∠OBC1是直线BC1与平面ABB1A1所成角，由此能求出直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．解：取A1B1的中点O，连结OC1、OB，∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥平面A1B1C1，C1O⊥A1B1，∵AA1//CC1，C1O⊂平面A1B1C1∴C1O⊥AA1，又AA1∩A1B1=A1∴C1O⊥平面ABB1A1∴∠OBC1是直线BC1与平面ABB1A1所成角，设AA 1=AC =CB =1，则A 1B 1=AB =√2， ∴BC 1=√12+12=√2，C 1O =√22， ∴直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值sin∠OBC 1=C 1O BC 1=√22√2=12． 故选A ．13.答案：18解析：解：在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2cos∠CAB =AC AB =12若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32×16−52×4×2×12+4=18 故答案为：18．在直角三角形ABC 中，求得cos∠CAB =ACAB =12，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．14.答案：√32解析：解：sin600°+tan240°=sin240°+tan60°=−sin60°+√3=−√32+√3=√32，故答案为：√32．由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．15.答案：4951解析：解：由a n+1−a n=n(n∈N∗)，得：a n=(a n−a n−1)+(a n−1+a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1(n≥2)，则a n=(n−1)+(n−2)+⋯+1+a1=n(n−1)+a1．2∵a1=1，∴a n=n(n−1)+1．2+1=4951．则a100=100×992故答案为：4951．由数列递推式结合已知求出数列的通项，则a100的值可求．本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．16.答案：16π解析：本题考查空间几何体的外接球问题，属于中档题．由题意将四面体P−ABC放在对应的长方体中，根据长方体与外接球的直径之间关系，可求出球的半径，代入球的表面积公式求出答案．解：由题意知，PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=2√2，PB=AB=2，如图所示构造长方体：则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，即长方体的体对角线等于球的直径2R，所以2R=√(2√2)2+22+22=4，则R=2，则球O的表面积S=4πR2=4π×4=16π，故答案为16π．17.答案：解：(1)设等比数列的首项为a 1，公比为q ，依题得{a 1q 2=8a 1(1−q 3)1−q=14，解得{a 1=2q =2(其它值不符合条件，舍去)， ∴a n =2n ．(2)设b n =a n +log 2a n ，则b n =n +2n ．∴S n =(1+2)+(2+22)+(3+23)+⋯+(n +2n ) =(1+2+3+⋯+n)+(2+22+23+⋯+2n )=n (1+n )2+2(1−2n )1−2=2n+1+n 2+n 2−2．解析：本题主要考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式以及等差数列的求和公式． (1)设等比数列的首项为a 1，公比为q ，根据已知条件，利用等比数列的通项公式和求和公式列出方程组，求得a 1和q 即可得到数列{a n }的通项公式．(2)设b n =a n +log 2a n ，则b n =n +2n .得出S n 是由等差数列的前n 项和以及等比数列的前n 项和之和，分别利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可．18.答案：解：(1)∵cosB cosC =b2a−c ，∴由正弦定理可得：cosB cosC =b 2a−c =sinB2sinA−sinC ，即：2sinAcosB −cosBsinC =sinBcosC ， 可得：2sinAcosB =sinBcosC +cosBsinC =sin(B +C)=sinA ， 又A ∈(0,π)，sinA >0， ∴cosB =12，又∵B ∈(0,π)，∴B =π3; (2)由余弦定理，可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−2ac−b 22ac=12−2ac 2ac=12， 解得：ac =4， 又因为B =π3， 所以sinB =√32，所以S △ABC =12acsinB =12×4×√32=√3．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosB =sinA ，结合A ∈(0,π)，sinA >0，可求cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3;(2)由余弦定理可解得：ac =4，结合B =π3，可求sin B 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．19.答案：解：(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，得：10(2a +0.02+0.03+0.04)=1， 解得a =0.005．(2)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分)， ∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005+0.04)×10=0.45， 这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10=0.3， ∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×0.5−0.450.3≈71.7(分)．解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数的求法，是基础题． (1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a =0.005；(2)利用频率分布直方图的性质能求出这100名学生语文成绩的平均分和中位数．20.答案：证明：(1)如图，取BB 1中点E ，连接AE ，EH ，∵H 为BQ 中点，∴EH//B 1Q ，在平行四边形AA 1B 1B 中，P ，E 分别为AA 1，BB 1的中点， ∴AE//PB 1，又EH ∩AE =E ，PB 1∩B 1Q =B 1， ∴平面EHA//平面B 1QP ，∵AD ⊂平面EHA ，∴AD//平面B 1PQ ． 解：(2)连接PC 1，AC 1，∵四边形A 1C 1CA 为菱形，∴AA 1=AC =A 1C 1=4 又∠C 1A 1A =600，∴△AC 1A 1为正三角形 ∵P 为AA 1的中点，∴PC 1⊥AA 1∵平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1， 平面ACC 1A 1∩平面ABB 1A 1=AA 1， PC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴PC 1⊥平面ABB 1A 1，在平面ABB 1A 1内过点P 作PR ⊥AA 1交BB 1于点R 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，P(0,0,0),A 1(0,2,0),A(0,−2,0),C 1(0,0,2√3),C(0,−4,2√3)， 设AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,−2,2√3),λ∈[0,1]， ∴Q(0,−2(λ+1),2√3λ)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2(λ+1),2√3λ)∵A 1B 1=AB =2，∠B 1A 1A =600，∴B 1(√3,1,0)，∴PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0) 设平面PQB 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−2(λ+1)y +2√3λz =0√3x +y =0，令x =1，则y =−√3,z =−λ+1λ， ∴平面PQB 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,−λ+1λ)，设平面AA 1C 1C 的法向量为n ⃗ =(1,0,0)，二面角B 1−PQ −C 1的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+3+(−λ)2=√1313， ∴λ=12或λ=−14(舍)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴Q(0,−3,√3)． 又B(√3,−3,0)，∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3)， ∴|QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3=√6， 连接BP ，设点P 到平面BQB 1的距离为h ，则13×12×4×√3×√3=13×12×4×√6×ℎ ∴ℎ=√62，即点P 到平面BQB 1的距离为√62．解析：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)取BB 1中点E ，连接AE ，EH ，推导出EH//B 1Q ，AE//PB 1，从而平面EHA//平面B 1QP ，由此能证明AD//平面B 1PQ ．(2)连接PC 1，AC 1，推导出AA 1=AC =A 1C 1=4，△AC 1A 1为正三角形，推导出PC 1⊥AA 1，从而PC 1⊥平面ABB 1A 1，建立空间直角坐标系Pxyz ，利用向量法能求出点P 到平面BQB 1的距离．21.答案：解：(1)由f(x)=x4+54x−ln x−32得f′(x)=14−54x2−1x，∴f′(1)=−2，又f(1)=0，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即2x+y−2=0．(2)函数f(x)=x4+54x−lnx−32的定义域为，由f′(x)=14−54x2−1x=x2−4x−54x2=(x−5)(x+1)4x2,当x∈(0,5)时，f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数；由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=−ln5．解析：本题考查了导数的几何意义以及根据导数求函数的极值，属于中档题．(1)根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，根据点斜式求出直线方程；(2)先利用导数判断函数的单调性，然后通过判断单调性求出函数的极值．22.答案：解：圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x−1)2+y2=9，设动圆P半径为R．∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R<3动圆P与圆M外切，则PM=1+R，动圆P与圆N内切，则PN=3−R，∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．∴P是以M、N为焦点的椭圆．∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，∴b2=a2−c2=4−1=3，∴C的方程为x24+y23=1(x≠−2)．解析：由给出的圆的方程判断两圆的位置关系，从而得到动圆P与圆M外切，与圆N内切，然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得椭圆方程本题考查了轨迹方程，考查了椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
安徽省池州市高三上学期期末统考数学(理)试题
安徽省池州市 高三上学期期末统考数学 (理) 试题（时间：120分钟 分值：1150分）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核准条形码上的考场座位号、姓名及科目。
2．选择题部分必须使用2B 铅笔真涂，非选择题必须使用0 .5毫米黑色签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡在清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．I 是虚数单位，复数iiz +=1对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知P 、Q 是两个集合，且满足Q P Q P = ，则P 与Q 的关系为 （ ）A ．B ．C ．P=QD ．不确定3．已知21,θθ是两个单位向量，1θ与2θ的夹角为60o ，212θθ+=，则α等于 （ ）A ．7B ．7C ．3D ．34．已知P 是圆122=+y x 上的动点，则P 点到直线022:=-+y x l 的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．225．曲线nx x y 12+=在点（1，1）处的切线方程为（ ）A ．3x －y －2=0B ．x －3y+2=0C ．3x+y －4=0D ．x+3y －4=0 6．已知{a n }为等差数列，a 4+a 7+a 10=30，则a 3－2a 5的值为 （ ） A ．10 B ．-10 C ．15 D ．-157．已知θ是三角形中的最小角，则)3sin(πθ+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛1,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,218．一个几何体的三视图均为直角三角形，尺寸如图所示，则这个几何体的体积是 （ ） A ．20cm 3B ．40 cm 3C ．60 cm 3D ．80 cm 39．已知,0.,10613sin )(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=x gx x xx x f 若函数k x f x g --)()(有三个不同的 零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1->kB ．211<<-kC ．211-≤<-k 或10<<k D ．211-<<-k 或10<<k10．2012年10月18日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。
安徽省池州市殷汇中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析
安徽省池州市殷汇中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：D略2. 定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围A． B．C． D．参考答案：D3. 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.参考答案：C4. 下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=ln C．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．【解答】解：A．f（x）=sinx在[﹣1，1]上单调递增；B．f（x）=，解得该函数的定义域为[﹣2，2]；又f′（x）=；∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数；又f（﹣x）==﹣f（x）；∴f（x）是奇函数；∴该选项正确；C．f（x）=﹣|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=﹣1；∴该函数不是奇函数；D.，f（﹣1）=；∴该函数在[﹣1，1]上不是减函数．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f （x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义．5. 已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i参考答案：A【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵ =1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．6. 若，则是复数是纯虚数的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C略7. 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1参考答案：C【考点】四种命题．【专题】阅读型．【分析】本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．我们易得答案．【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故选C 【点评】此题是基础题．若原命题为：若p，则q．逆命题为：若q，则p．否命题为：若┐p，则┐q．逆否命题为：若┐q，则┐p．8. 已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 若（其中），则函数的图象 ( ）A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称参考答案：B10. 已知全集且则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：C解析:全集且∴=，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________。
安徽省池州市青阳第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析
安徽省池州市青阳第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知非零向量满足（）·=0 且·=.则△ABC为（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形参考答案：D2. 设函数f(x)在处可导，则等于（）A． B． C．- D．-参考答案：C3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A参考答案：B考点：余弦定理．专题：计算题；转化思想；分析法；解三角形．分析：利用余弦定理，正弦定理化简已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根据三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，从而可得B=2A．解答：解：∵cosB====∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA =sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA移项，整理，得sin（B﹣A）=sinA即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A所以B=2A 或 B=180（舍）．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题4. 已知抛物线则过其焦点且斜率为的直线被抛物线截得的线段长为A．B．C．D．参考答案：C5. 若把函数的图象向右平移（＞0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C．D．参考答案：D6. 把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是A．BC．D参考答案：A略7. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A． B． C．1 D．参考答案：A略8. ．已知数列的值为A．11 B．12 C．13 D．14 参考答案：C略9. 若，则的单调递增区间为（）A． B． C． D．参考答案：C略10. 若,则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的 ( ) .充分非必要条件. .必要非充分条件..充要条件. .既非充分又非必要条件.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_____。