塘厦中学2015届复习课件：数列求和
合集下载
数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
《数列求和》课件
《数列求和》PPT课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和各种方法总结归纳课件PPT
[冲关锦囊]
用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“
错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[精析考题] [例3] (2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋ 3a2＝1，a32＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b1n}的前n项和．
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
所以，当n＞1时，①－②得 用错位相减法求和时，应注意
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
数列求和各种方法总结归纳
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．
∴((11b))要a1n＝善＝0于k，n识b＋1别b＋，题1利＝目用1类≠等0型.差n1，数－特列别n前是＋n1等项比1和数公列＝式公直－比接为求n负解2＋数n；1.
所以数列{b1n}的前n项和为－n2＋n1.
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
数列求和方法总结PPT课件
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
-
6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
-
7
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
-
1
本节概要 数列求和的常用方法
-
2
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
-
17
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
-
18
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
数列求和的常用方法完整版课件
解 设等比数列{an}的公比为q(q>1)，
则由 a2＋a4＝90，a3＝27，得aa11qq＋ 2＝a21q7，3＝90，
解得aq1＝＝33，
a1＝243， 或q＝13
(舍去)，
故an＝3×3n－1＝3n. 因为 bn＋1＝bnb＋n 1(n∈N*)， 所以bn1＋1＝b1n＋1，
又 b1＝1，所以b1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列. 于是，b1n＝1＋(n－1)×1＝n，故 bn＝1n.
√A.1 011
B.1 008
C.1 009
D.1 010
解析 由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1， 两式相减得an＋1－an＋2an＝1⇒an＋1＋an＝1⇒S2 021＝a1＋(a2＋a3)＋… ＋(a2 018＋a2 019)＋(a2 020＋a2 021)＝1 010×1＋1＝1 011.
②
②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，
所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，
化简得2an＋1＝an＋2＋an，
所以{an}是等差数列.
由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，
所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，
故an＝2＋2(n－1)＝2n.
由 b1＝a1，nbn＋1＝anbn 以及 an＝2n 可知，b1＝2，bbn＋n 1＝2，所以数列{bn} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 故bn＝2×2n－1＝2n.
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
＝2n＋1－2＋n－2 1－n
＝2n＋1－n2－52. ∴Tn＝22nn＋＋11－＋2n2n－－252，，nn为为奇偶数数，.
高中数学《数列求和》课件
练习4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－ 2)，…，求其前n项和Sn. 解 n为偶数时，令n＝2k (k∈N*)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)] ＝3k＝2(3)n；
当n为奇数时，令n＝2k＋1 (k∈N*)． Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝2(－3n＋1). ∴Sn＝(n为偶数).(3n)
∴Sn＝2n＋1(1)＝n＋1(2n).
要点四 奇偶并项求和 例4 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－ 1)． 解 n为奇数时， Sn＝(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) ＝2·2(n－1)＋(－2n＋1)＝－n. n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n－1)]＝2·2(n)＝n. ∴Sn＝(－1)nn (n∈N*)．
练习1. 求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2 ＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)． 解 当a＝1时，则an＝n， 于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝2(n(n＋1)). 当a≠1时，an＝1－a(1－an)＝1－a(1)(1－an)． ∴Sn＝1－a(1)[n－(a＋a2＋…＋an)] ＝1－a(1)1－a(a(1－an))
要点三 裂项相消求和 例3 求和：22－1(1)＋32－1(1)＋42－1(1)＋… ＋n2－1(1)，n≥2. 解 ∵n2－1(1)＝(n－1)(n＋1)(1) ＝2(1)n＋1(1)，
∴原式＝2(1)5(1) n＋1(1)
＝2(1)n＋1(1)
数列求和的常用方法总结归纳PPT
等比数列）的数列，可采用错位相减的方法进行求和.
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
第四节数列求和课件
－
（n＋1 1）2－（n＋1 2）2]<116×1＋212＝654. 故对于任意的n∈N*，都有Tn<654.
1.如果数列anbann＋k满足an＋k－an＝pbn（p为非零常 数，n，k∈N*），那么anbann＋k＝1p·ana＋nak－n＋ak n＝1pa1n－an1＋k.
2.与前面几种裂项类似，要注意裂项时各项不要漏 乘1p，同时要注意相消时保留了哪些项.
且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，则{an}的通项公式
为 ；设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前n项和为
.
解析：设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的
等比数列，由b2＝3，b3＝9，可得q＝
b3 b2
＝3，bn＝b2qn－2＝
3·3n－2＝3n－1，即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，则d＝
当b1＝3时上式也成立， 所以bn＝n（n＋2），
即b1n＝n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2，
所以Tn＝
1 2
×[
1－13
＋
12－14
＋
13－15
＋…＋
n1－n＋1 2]＝12（32－n＋1 1－n＋1 2）.
1.若数列{an}的公差为d，则形如bn＝an·a1n＋1型的数 列，可转化为bn＝1da1n－an1＋1，适合裂项相消法求和.
（3）一些常见的数列的前n项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝n（n2＋1）； ②2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1）； ③1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2. 2.几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由 若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可 用分组求和法，分别求和后相加减.
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
数列求和常用方法ppt课件
1求数列a思路点拨利用a成等比数列可求公差d从而得出a成等比数列得12d18d12d由等比数列前n项和公式分组法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即例例22思路点拨数列a可看作是由等差数列n与等比数列对应项求和得到的因此可拆分成两个数列
ppt课件
错位相减法 对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中 {an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位 相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常 数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错 位相减，使其转化为等比数列问题来解．
ppt课件
例5 (2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列{an}满足a1＝2，a4＝128. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用公式求得an，再利用错位相 减法求Sn.
2
当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)= n ( n 1 ) .
2
故Sn=(-1)n-1n ( n 1 ) (n∈N*).
2
ppt课件
方法感悟 1．注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用． (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解 为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的 是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消 时要注意规律性． (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用 公式法求和．
ppt课件
6.并项法
ppt课件
错位相减法 对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中 {an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位 相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常 数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错 位相减，使其转化为等比数列问题来解．
ppt课件
例5 (2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列{an}满足a1＝2，a4＝128. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用公式求得an，再利用错位相 减法求Sn.
2
当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)= n ( n 1 ) .
2
故Sn=(-1)n-1n ( n 1 ) (n∈N*).
2
ppt课件
方法感悟 1．注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用． (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解 为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的 是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消 时要注意规律性． (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用 公式法求和．
ppt课件
6.并项法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第14页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
1 n－1 2n－2 * 故 cn＝b2n＝ 2n－1 ＝(n－1)(4) ，n∈N ， 2 10 11 12 13 1 n－1 所以Rn＝0×( ) ＋1×( ) ＋2×( ) ＋3×( ) ＋„＋(n－1)×( ) ， 4 4 4 4 4 1 11 12 13 1 n－1 则 Rn＝ 0×( ) ＋1×( ) ＋2×( ) ＋„＋(n－2)×( ) 4 4 4 4 4 1n ＋(n－1)×( ) ， 4 3 1 1 1 1 1 两式相减得 Rn＝[( )1＋( )2＋( )3＋„＋( )n－1]－(n－1)×( )n 4 4 4 4 4 4 1 1n － 4 4 1 n 1 1＋3n 1 n ＝ －(n－1)×( ) ＝ － ▪( ) ， 1 4 3 3 4 1－ 4 3n＋1 1 整理得 Rn＝ (4－ n－1 )． 9 4 3n＋1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn＝ (4－ n－1 )． 9 4
1 1 1 ∴Tn＝ ＋ ＋„＋ b1b2 b2b3 bnbn＋1
1 1 1 1 1 1 1 n 1 － ＝ － ＋ － ＋„＋ ＝2－n＋2＝2n＋2.. n ＋ 1 n ＋ 2 2 3 3 4
第13页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
(2)记 cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
解(2) 由题意，得 cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋„＋cn － ＝(－3＋5)＋(－ 7＋9)＋…＋[(－1)n 1(2n －1)＋(－1)n(2n ＋1)]
3n＋1 3 3n＋1 3 当 n 为偶数时，Sn＝n＋ － ＝ ＋n－ ； 2 2 2 2 n 3 3 当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝[(n－1)＋ － ]－(2n＋1)＋3n 2 2 n＋1 3 7 n＋1 ＝ － n － . 3 3 2 2 ＋n－ ，n为偶数， 2 2 所以 Sn＝ n＋1 7 3 －n－ ，n为奇数. 2 2
第 5页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
数列求和的常用方法
1 1 1 (1)当 n ≥2 时， 2 ＝ － .( ) n －1 n －1 n ＋1 (2)求 S n ＝a ＋2a2＋ 3a3＋…＋ na n 时只要把上式等号两边同时乘 以 a 即可根据错位相减法求得． ( ) (3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可 求得 sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89° ＝44.5.( ) (4)(2013·南京调研改编 )若 S n ＝ 1－ 2＋ 3－4 ＋…＋(－ 1)n － 1·n ， 则 S 50＝－ 25.( )
1 1 1 1 1 5 1 ＝ 1＋22－n＋12－n＋22 ＜ 1＋ 2＝64. 16 2 16
第11页
…
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
考点二
裂项相消法求和
考 点
(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的， 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
第 3页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
(4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
(5)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项 求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如， Sn ＝ 1002 － 992 ＋ 982 － 972 ＋„＋ 22 － 12 ＝ (1002 － 992) ＋(982－972)＋„＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋„＋(2＋1) ＝5 050.
2 1 故数列{an}是以 为首项， 为公比的等比数列． 3 3
1 2 1n－1 n * 故 an＝ · ＝ 2· ( n ∈ N )． Βιβλιοθήκη 3 3 3 第12页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
1．公式法
na1＋an nn－1 (1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝ ＝______________. na1＋ d 2 2 na1，q＝1， a1 (1 q n ) (2)等比数列的前 n 项和公式：Sn＝a1－anq 1 q ，q≠1. 1－q ＝________
解(1) 设等差数列{bn}的公差为 d，
∵a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
3q＝3＋3d， ∴ 2 3q ＝3＋12d
q = 3 解之得 d = 2
∴an＝3n，bn＝2n＋1.
第 8页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
第 9页
＋3＋32＋„＋3n.
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
考点二
裂项相消法求和
考 点
【例 2】(2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2 n－ (n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)见下一页
(2)证明 ∵an＝2n，
n＋ 1 1 n＋ 1 1 1 － 2 ＝ ∴bn＝ ＝ . 2 2 2 2 2 n n ＋ 2 16 n＋2 an 4n n＋2
∴Tn＝
1 1 1 1 1 1 [(1 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + 16 3 2 4 3 5 1 1 1 1 +( )+( 2 )] 2 2 2 (n - 1) (n + 1) n (n + 2)
n n 3 ＋ 2ln 3－1，n为偶数， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1，n为奇数. 2
第 7页
2
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
分组转化法求和
考 点
【训练 1】(2014· 湖州质检)在等比数列{an}中，已知 a1＝3，公比 q≠1，等差数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)见下一页
∴数列{an}的通项 an＝2n.
第10页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
n＋ 1 (2)令 bn＝ 数列{bn}的前 n 项和为 Tn， 证明： 对于任意的 n∈N*， 2 2， n＋2 an 5 都有 Tn＜ . 64
第 4页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
3．常见的拆项公式
1 1 1 (1) ＝ － ； n nn＋1 n＋1 1 1 1 1 － (2) ＝ ； 2 n － 1 2 n ＋ 1 2 2n－12n＋1 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1
【训练 2】 (2013· 滨州一模)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn， 1 且 Sn＋ an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)见下一页 2
1 2 解（1） 当 n＝1 时， a1＝S1，由 S1＋ a1＝1， 得 a1＝ . 2 3 1 1 1 S ＝ 1 － a ， S ＝ 1 － a ， 当 n≥2 时， n n－1 2 n 2 n－1 则 Sn－Sn－1＝2(an－1－an)， 1 1 即 an＝ (an－1－an)， 所以 an＝ an－1(n≥2)． 2 3
2 2 (1)解 由 S2 － ( n ＋ n － 1) S － ( n ＋n)＝0， n n 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列， 所以 Sn＞0，Sn＝n2＋n.
∴a1＝S1＝2＝2×1
2 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝n ＋n－(n－1) －(n－1)＝2n.
(2)设 bn 求 Tn.
＝ log 1 (1－S
3
1 1 1 ＋ ＋„＋ ， n＋1)(n∈N*)，令 Tn＝ b1b2 b2b3 bnbn＋1
1 1 1 解（２） ∵1－Sn＝ an＝ n. 接上 Sn＋2an＝1 2 3 log 1 (1 sn1 ) log 1 1n＋1 1 n * ∴bn＝ ＝ ＝ n ＋ 1 ， a ＝ 2· ( n ∈ N )． 3 n 3 3 3 1 1 1 1 ∵ ＝ ＝ － ， bnbn＋1 n＋1n＋2 n＋1 n＋2
第 2页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可 求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加 减．
(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和.
解析： Sn＝2(1＋3＋„＋3n－1)＋[－1＋1－1＋„＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋ [－1＋2－3＋„＋(－1)nn]ln 3， 1－3n n n n 所以当 n 为偶数时， Sn＝2× 1－3 ＋ 2ln 3＝3 ＋2ln 3－1； n－ 1 n－1 n－1 S ＝ S ＋ a ＝ (3 ＋ ln 3 － 1) ＋ [2· 3 － 当 n 为奇数时， n n－1 n 2 n－ 1 (ln 2－ln 3)－nln 3]＝3n－ ln 3－ln 2－1.
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
1 n－1 2n－2 * 故 cn＝b2n＝ 2n－1 ＝(n－1)(4) ，n∈N ， 2 10 11 12 13 1 n－1 所以Rn＝0×( ) ＋1×( ) ＋2×( ) ＋3×( ) ＋„＋(n－1)×( ) ， 4 4 4 4 4 1 11 12 13 1 n－1 则 Rn＝ 0×( ) ＋1×( ) ＋2×( ) ＋„＋(n－2)×( ) 4 4 4 4 4 1n ＋(n－1)×( ) ， 4 3 1 1 1 1 1 两式相减得 Rn＝[( )1＋( )2＋( )3＋„＋( )n－1]－(n－1)×( )n 4 4 4 4 4 4 1 1n － 4 4 1 n 1 1＋3n 1 n ＝ －(n－1)×( ) ＝ － ▪( ) ， 1 4 3 3 4 1－ 4 3n＋1 1 整理得 Rn＝ (4－ n－1 )． 9 4 3n＋1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn＝ (4－ n－1 )． 9 4
1 1 1 ∴Tn＝ ＋ ＋„＋ b1b2 b2b3 bnbn＋1
1 1 1 1 1 1 1 n 1 － ＝ － ＋ － ＋„＋ ＝2－n＋2＝2n＋2.. n ＋ 1 n ＋ 2 2 3 3 4
第13页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
(2)记 cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
解(2) 由题意，得 cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋„＋cn － ＝(－3＋5)＋(－ 7＋9)＋…＋[(－1)n 1(2n －1)＋(－1)n(2n ＋1)]
3n＋1 3 3n＋1 3 当 n 为偶数时，Sn＝n＋ － ＝ ＋n－ ； 2 2 2 2 n 3 3 当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝[(n－1)＋ － ]－(2n＋1)＋3n 2 2 n＋1 3 7 n＋1 ＝ － n － . 3 3 2 2 ＋n－ ，n为偶数， 2 2 所以 Sn＝ n＋1 7 3 －n－ ，n为奇数. 2 2
第 5页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
数列求和的常用方法
1 1 1 (1)当 n ≥2 时， 2 ＝ － .( ) n －1 n －1 n ＋1 (2)求 S n ＝a ＋2a2＋ 3a3＋…＋ na n 时只要把上式等号两边同时乘 以 a 即可根据错位相减法求得． ( ) (3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可 求得 sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89° ＝44.5.( ) (4)(2013·南京调研改编 )若 S n ＝ 1－ 2＋ 3－4 ＋…＋(－ 1)n － 1·n ， 则 S 50＝－ 25.( )
1 1 1 1 1 5 1 ＝ 1＋22－n＋12－n＋22 ＜ 1＋ 2＝64. 16 2 16
第11页
…
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
考点二
裂项相消法求和
考 点
(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的， 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
第 3页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
(4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
(5)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项 求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如， Sn ＝ 1002 － 992 ＋ 982 － 972 ＋„＋ 22 － 12 ＝ (1002 － 992) ＋(982－972)＋„＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋„＋(2＋1) ＝5 050.
2 1 故数列{an}是以 为首项， 为公比的等比数列． 3 3
1 2 1n－1 n * 故 an＝ · ＝ 2· ( n ∈ N )． Βιβλιοθήκη 3 3 3 第12页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
1．公式法
na1＋an nn－1 (1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝ ＝______________. na1＋ d 2 2 na1，q＝1， a1 (1 q n ) (2)等比数列的前 n 项和公式：Sn＝a1－anq 1 q ，q≠1. 1－q ＝________
解(1) 设等差数列{bn}的公差为 d，
∵a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
3q＝3＋3d， ∴ 2 3q ＝3＋12d
q = 3 解之得 d = 2
∴an＝3n，bn＝2n＋1.
第 8页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
第 9页
＋3＋32＋„＋3n.
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
考点二
裂项相消法求和
考 点
【例 2】(2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2 n－ (n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)见下一页
(2)证明 ∵an＝2n，
n＋ 1 1 n＋ 1 1 1 － 2 ＝ ∴bn＝ ＝ . 2 2 2 2 2 n n ＋ 2 16 n＋2 an 4n n＋2
∴Tn＝
1 1 1 1 1 1 [(1 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + 16 3 2 4 3 5 1 1 1 1 +( )+( 2 )] 2 2 2 (n - 1) (n + 1) n (n + 2)
n n 3 ＋ 2ln 3－1，n为偶数， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1，n为奇数. 2
第 7页
2
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
分组转化法求和
考 点
【训练 1】(2014· 湖州质检)在等比数列{an}中，已知 a1＝3，公比 q≠1，等差数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)见下一页
∴数列{an}的通项 an＝2n.
第10页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
n＋ 1 (2)令 bn＝ 数列{bn}的前 n 项和为 Tn， 证明： 对于任意的 n∈N*， 2 2， n＋2 an 5 都有 Tn＜ . 64
第 4页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
3．常见的拆项公式
1 1 1 (1) ＝ － ； n nn＋1 n＋1 1 1 1 1 － (2) ＝ ； 2 n － 1 2 n ＋ 1 2 2n－12n＋1 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1
【训练 2】 (2013· 滨州一模)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn， 1 且 Sn＋ an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)见下一页 2
1 2 解（1） 当 n＝1 时， a1＝S1，由 S1＋ a1＝1， 得 a1＝ . 2 3 1 1 1 S ＝ 1 － a ， S ＝ 1 － a ， 当 n≥2 时， n n－1 2 n 2 n－1 则 Sn－Sn－1＝2(an－1－an)， 1 1 即 an＝ (an－1－an)， 所以 an＝ an－1(n≥2)． 2 3
2 2 (1)解 由 S2 － ( n ＋ n － 1) S － ( n ＋n)＝0， n n 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列， 所以 Sn＞0，Sn＝n2＋n.
∴a1＝S1＝2＝2×1
2 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝n ＋n－(n－1) －(n－1)＝2n.
(2)设 bn 求 Tn.
＝ log 1 (1－S
3
1 1 1 ＋ ＋„＋ ， n＋1)(n∈N*)，令 Tn＝ b1b2 b2b3 bnbn＋1
1 1 1 解（２） ∵1－Sn＝ an＝ n. 接上 Sn＋2an＝1 2 3 log 1 (1 sn1 ) log 1 1n＋1 1 n * ∴bn＝ ＝ ＝ n ＋ 1 ， a ＝ 2· ( n ∈ N )． 3 n 3 3 3 1 1 1 1 ∵ ＝ ＝ － ， bnbn＋1 n＋1n＋2 n＋1 n＋2
第 2页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：/chuangxin/cx_index.html
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可 求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加 减．
(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和.
解析： Sn＝2(1＋3＋„＋3n－1)＋[－1＋1－1＋„＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋ [－1＋2－3＋„＋(－1)nn]ln 3， 1－3n n n n 所以当 n 为偶数时， Sn＝2× 1－3 ＋ 2ln 3＝3 ＋2ln 3－1； n－ 1 n－1 n－1 S ＝ S ＋ a ＝ (3 ＋ ln 3 － 1) ＋ [2· 3 － 当 n 为奇数时， n n－1 n 2 n－ 1 (ln 2－ln 3)－nln 3]＝3n－ ln 3－ln 2－1.