单纯形表法
§1[1].6__单纯形表
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max z 3 x1 5 x2
s .t .
3 x1 2 x 2 18 4 x1 2 x 2 12 x 0, x2 0 1
取松弛变量 x3 , x4 , x5作为初始可行基，得单纯形表如下
3
XB
5
0
0
0
b x1
x2
2 0 2
x3
1 0 0
x4
将式(2.4)与(2.5)组成一个m+1个方程、n+1个变量的方程组为
1( m 1 ) x m 1 1 n x n 1 x1 x2 2( m 1) x m 1 2 n x n 2 x m m ( m 1) x m 1 mn x n m z m 1 xm 1 n xn z0
表2-1单纯形表 c1 XB b x1
1 0
c2
cm x2 xm
0 0
cm+1 xm+1
1 m 1 2 m 1
cn xn
1n 2n
c1
c2
x1
x2
α1
α2
0 1
cm
xm
αm
z0
0 0 1
m m 1
§1.6 单纯形表
单纯形表(simple tableau)是为单纯形算
法而设计的一种计算表，其功能类似于方 程组的增广矩阵，易于进行基变换运算。
设可行基 x1 , x2 ,, xm 的典式为：
max z z0 m 1 x m 1 n x n
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
单纯形表的简单方法。
单纯形表的简单⽅法。
线性规划常⽤的⽅法是单纯形表法，下⾯⽤⼀个简单的例⼦告诉⼤家如何⽤最简单的⽅法求取⽬标函数Z值。
⽤单纯形⽅法求解线性规划问题：
⾸先引⼊松弛变量，把原问题化为标准形式：
具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表
第2步：
判别检验所有的检验系数（1）如果所有的检验系数
, 则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可⾏解就是最优解。
（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某⼀正的检验系数所对应的列向量的各分量均⾮正，则线性规划问题⽆解。
（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分量，则需要换基、进⾏迭代运算。
⽽在此可以看出b01=2, b02=3，所以b1不是最优基，进⾏换基迭代。
第3步，选主元。
根据选主元法则，⾸先选择检验系数最⼤的是X2列，其次⽤0列即系数列⽐上X2列，数值⼩的即为主元，在这⾥很明显可以知道主元是。
第4步，进⾏初等变换，让主元b12值变为1，主元所在列的其他数值为0。
得到
此时发现b01=1>0,重复上⾯步骤，(此时主元是b21=5/3) :
这时检验系数为负数，
检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3, X3=0, X4=0:⽬标函数最⼤值为 Z=15。
单纯形表法详细讲解
单纯形表法详细讲解
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
以下是其详细步骤：
1. 确定初始基可行解：一般采用取松弛变量的方法来获得初始基可行解，从而得到对应的单位矩阵作为基。
2. 判断是否满足最优解条件：单纯形法从可行域中的一个点开始，判断该顶点是否为最优解。
如果不是，就寻找另一个目标函数值更优的顶点。
3. 迭代优化：通过单纯形表判断出顶点是否为最优解，如果线性规划问题没有最优解，则继续迭代优化，直到找到最优解或确定问题无解。
4. 确定最优解：在单纯形表中，理解其系数矩阵、基、基向量、非基向量和基变量等基本概念，从而确定最优解。
5. 确定换入变量和换出变量：在单纯形表中，如果发现非基变量的系数大于零，则可以通过增加这些变量的值来使目标函数增加。
由于每个变量都大于零，对于某个变量增加是有所限制的，如果该变量过大，由于其他限制条件，会导致其他变量小于零。
因此，应该让该变量一直增大，直到有一个其他变量刚好等于0为止，那么这个变量就被换出基。
6. 进行高斯行变换：使用第4行对各行进行高斯行变换，使得二列第四行中的每个x都变成零，也包括c2。
如需更多关于单纯形法的信息，可以咨询数学专家或查阅相关文献资料。
最优化方法单纯形表
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
-3
-2
-1
2
0
将最后一行中的-3和-1用初等行变换化为0
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
0
-7
0
16
17
③检查非基变量的检验数σj ,若所有的σj ≤ 0，则 当前的基可行解就是最优解，计算停止；
④若存在某个σk >0，且所对应的列向量P’k没 有正分量，则表明原问题不存在最优解，计 算停止；
利用单纯形表求解线性规划的步骤
例1 求解线性规划问题
max Z = -3x1 - 2x2–x3 + 2x4
s.t. x1 - 2x2
+ 4x4 = 4
x2 + x3 + 2x4 = 5
xj ≥ 0,j = 1,2,3,4
①将线性规划标准化，并使之含有标准基（ 即一个与约束方程的个数同阶的单位矩阵）
Z
XB
XN
b
0
E
B-1N
B-1b
-1
0
CN-CBB-1N -CBB-1N
分别令 N’ = B-1N C’N = CN-CBB-1N（即C’N是非基变
量XN所对应的检验数向量） b’ = B-1b
η’ = -CBB-1N
转换后的单纯形表如下：
Z
XB
XN
b
0
E
N’
b’
-1
0
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
单纯形表例题详解易懂
单纯形法（Simplex Method）是线性规划问题的一种求解方法。
下面我将以一个简单的线性规划问题为例，详细解释如何使用单纯形法求解。
例题：假设我们有一个简单的线性规划问题，目标是最小化目标函数 z = 3x + 2y，约束条件是 x + y <= 10, x >= 0, y >= 0。
首先，我们需要构建问题的数学模型。
数学模型可以表示为以下形式：z = 3x + 2yx + y <= 10x >= 0y >= 0然后，我们可以将这个线性规划问题表示为一个单纯形表。
单纯形表的形式如下：| c | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x | y | z | u | v | w | x1 | x2 | x3 | ... | xn | s.x | s.y | s.z | c.val | b.x | b.y | b.z | dual.val | dual.x1 | dual.x2 | ... | dual.xn ||在这个表中，c 是目标函数的系数，b 是约束条件的系数，s 是松弛变量的系数，dual 是对偶问题的系数，c.val 是当前解的目标函数值，b.x, b.y, b.z 是约束条件的边界值，s.x, s.y, s.z 是松弛变量的值。
现在，我们可以将例题中的数据填入单纯形表：c = [3, 2, 1]b = [1, 0, -10]s = [1, 1, 0]dual = []然后，我们可以开始迭代求解。
在每一次迭代中，我们首先找到进入变量和离开变量，然后更新单纯形表中的数据。
运筹学单纯形表法详细步骤
运筹学单纯形表法详细步骤概述运筹学是一门研究最优决策问题的学科，它通过数学建模和优化方法，寻找最佳解决方案。
运筹学的单纯形表法是一种常用的线性规划求解方法，通过构造单纯形表，逐步迭代求解最优解。
本文将详细介绍运筹学单纯形表法的步骤和算法原理。
单纯形表法步骤单纯形表法的基本思想是通过构造单纯形表，逐步迭代优化目标函数的值，直到找到最优解。
第一步：标准化线性规划问题将线性规划问题转化为标准型，使得约束条件为等式形式，目标函数为最小化形式。
标准型的形式如下：Minimize C1x1+C2x2+⋯+C n x nSubject to A11x1+A12x2+⋯+A1n x n=b1A21x1+A22x2+⋯+A2n x n=b2…A m1x1+A m2x2+⋯+A mn x n=b mx1,x2,…,x n≥0第二步：构造初始单纯形表根据线性规划问题的标准型，构造初始单纯形表。
初始单纯形表由约束系数矩阵、目标系数向量、约束条件向量和松弛变量构成。
约束系数矩阵的形式为：A=[A11A12...A1n100 0A21A22...A2n010 0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮A m1A m2...A mn000 (1)]目标系数向量的形式为：C=[C1C2…C n000…0]约束条件向量的形式为：B=[b1b2…b m]第三步：确定初始解和基变量根据初始单纯形表，确定初始解和基变量。
基变量是与单位矩阵的列向量对应的变量，它们的取值为约束条件向量的值。
第四步：计算单纯形表中的各项值根据初始解和基变量，计算单纯形表中的各项值。
包括各变量的价值系数、约束条件的值，以及各松弛变量的值。
第五步：检查最优解检查单纯形表中目标系数行是否存在负数。
如果存在负数，则继续迭代；如果都为非负数，则找到最优解。
第六步：确定入基变量在目标系数行中选择最小的负数，确定进入基变量。
第七步：计算离基变量根据进入基变量，计算离开基变量。
离开基变量是通过计算变量的约束条件值除以进入基变量的列中对应的非零元素，找到最小的非负数所在行，确定离开基变量。
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单纯形表法
单纯形表法是一种线性规划求解方法，通过转化为标准型后，利用单纯形法迭代寻找最优解。
单纯形表法的核心思想是不断的调整基变量，使目标函数值不断优化，直至找到最优解。
单纯形表法求解线性规划的过程中，需要建立一个单纯形表。
这个表由两部分组成，一部分是系数矩阵，另一部分是常数向量以及目标函数系数。
每一次迭代都会根据当前的基变量计算出对应的基变量的解，然后根据这些解更新单纯形表。
具体来说，就是将单纯形表中的非基变量全部设置为0，然后计算出每个基变量的值，以此更新单纯形表中的每一行，使其符合约束条件和目标函数的要求。
单纯形表法的优点在于可以求解大规模的线性规划问题，并且算法的时间复杂度较低。
但是，单纯形表法也存在一些缺点。
例如，可能会遇到无解的情况，或者算法会陷入循环中，并且在某些情况下，单纯形表法的迭代次数可能非常多，导致算法的效率降低。
在实际应用中，单纯形表法通常与其他线性规划求解方法结合使用，以达到更好的效果。
例如，可以使用单纯形表法进行初步求解，然后再使用其他优化算法进行进一步的优化。
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