单纯形法的矩阵描述
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1.2.4单纯形法的矩阵表达
这样，标准形式的LP问题便化成：
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
第一章 单纯形法的计算公式
X1 +2X2 +X3
=30
3X1 +2X2 +X4 =60
2X2
+X5 =24
Xj 0 ( j=1…5)
P1 P2 P3 P4 P5
1 2 100
A= 3 2 0 1 0
0 2 001
(1)、已知B= (P3 P4 P2)
验证：
1 0 -1
B-1 = 0 1 -1
,求λ1 , λA ,
~ P5
0 0 1/2
0
40 X1
15
1
0
X5
9
0
50 X2 15/2 0
0 -35/2 0 -1/2 0 -3/2 1 3/4
100
-15/2 1/2 1/2 -1/4
0 0
1 B4-1
0
100
B1= (P3 P4 P5)= 0 1 0 001
B1 -1 = 0 1 0 001
102 B2= (P3 P4 P2)= 0 1 2
0 0 1/2
-1 1 -1 3 1/2 0
0 -1 0 = -1 1 1/2
λA= C - CB B-1A=(40, 50, 0, 0, 0)1 0 -1 1 2 1 0 0
(0, 0, 50) 0 1 -1 3 2 0 1 0 0 0 1/2 0 2 0 0 1
12100 =(40, 50, 0, 0, 0) -(0 0 25) 3 2 0 1 0
002
1 0 -1 B2 -1 = 0 1 -1
0 0 1/2
(1)、只须存贮原始数据A、B、C，每步需知B-1 。 (2)、每步必须计算的数据
① 检验数
N = CBB-1N - CN
单纯形法的矩阵描述
X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4
单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学——单纯形矩阵描述与改进单纯形法
( B 1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
( B 1b)l (B1Pj )l
换入变量的系数向量
10
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
11
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11
A
a21
a12
a22
a1m a2m
am1
am2
amm
12
以a11为主元素, 进行变换
a11
主元素
P1
a21
1/ a11
1
a21 /
a11
(1)
am1
am1
/
a11
13
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
BXB b NX N ; X B B1b B1NX N ; 目标函数：
z CB B1b (CN CB B1N ) X N
(2 1) (2 2) (3 2)
4
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解
X
(1)
B 1b 0
;
目标函数的值 z CBB1b
5
（1）非基变量的系数表示为： (CN CB B1N ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2,, n) 所有检验数可表示为： C - CBB1(B | N )
6
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
X B B1NX N B1b; 目标函数：
- z (CN CB B1N ) X N -CB B1b
线性规划单纯形法的矩阵表示
y1 y1 y2 y2 y 3
min cT x s.t. Ax b, Bx a, x 0.
max bT y1 aT y2 s.t. AT y1 BT y2 c 对偶 y1无限制, y2 0.
用对偶单纯形法求下列线性规划问题
min s.t.
x4
x5
右端项
-f x4 x1
0 3 0 1
-3 -2 4/3 1/3
3 1 1/3 -2/3
0 1 0
1 0 2/3 -1/3
-2 0
2/3
2/3
基变量
x1 0 0 1
x2 -3 4/3 1/3
x3 3 1/3 -2/3 x3 15/4 1/4 -3/4
x4 0 1 0 x4 9/4 3/4 -1/4
两阶段
min a s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
第一阶段 k=1
基变量
-f
x4 a
x1 -3 0 2 3
x2 -1 0 2 1
x3 2 0 -1 -2
1
无穷多个最优解：cN
且其中有一个检验数=0 无最优解(无有界解)：
cN cB B N
1
有一个变量是负数,且该变量所在列向量是非正的.
4（1）用单纯形法求下列线性规划问题.
max 5 x1 6 x2 4 x3 s.t. 2 x1 2 x2 5, 5 x1 3x2 4 x3 15, x1 x2 10,
T
T
max b y s.t. A yc y0
s.t.
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1 1
1
（2）Θ规则表示为：
• RHS值 表示选用>0的分量
1 ( B 1b )i ( B b )i 1 m in 1 ( B Pj )i 0 1 ( B P ) ( B P ) j i j i
• 换入变量的系数向量
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
将（2-2）式移项及整理后：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B b B N1 X N1 B S2 X s2 ; 目标函数： z C B B b ( C N1 C B B N 1 ) X N1 ( CS2 C B B I ) X S
若以Xs为基变量，并标记成XB
这是将系数矩阵（ A ， I ）分为（ B ， N ）两 块。B是基变量的系数矩阵， N是非基变量的系数矩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。 决策变量分为：
XB X X N
将目标函数的系数C分为CB，CN
分别对应于基变量XB和非基变量XN。 并且记作C=（CB, CN）。
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量 X B1 可包含原基变量和松弛 XB 变量 XS 1 X N1 ; 非基变量： XN XS 2
相应有
N1 B 系数矩阵A N ; 其中N S ; 2 X S1 基变量 松弛变量：X S X S 非基变量 2
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题 :
目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
给这线性规划问题的约约束条件 加入松弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
1 0 I 0 1
1 1 1 1 1 1
令非基变量=0；由上式得到：
B b (1) 基可行解 X ; 0 1 目标函数的值 z C B B b
1
（1）非基变量的系数表示为：
( CN1 CB B N1 ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2 , ,n ) 检验数也可表示为： C - CB B A与 - CB B
矩阵关系式：
0 1 B N1 1 1 0 C N C B B N1
1
z X 1 B B 1 C B B X N1 X N2 (27)
B b 1 C B B b
1
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵 检验数
1
XN
1
Xs
1
RHS
1
B B b B B 1 B N1 1 1 1 C N C B B N1 C B B C B B b 0
1
小结
• 1）掌握矩阵的运算； • 2）理解基矩阵的作用； • 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第2 章 对偶理论和灵 敏度分析 第1节 单纯形法的矩 阵描述
高等教育出版社
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 第2 节 第3 节 第4 节 第5 节 单纯形法的矩阵描述 改进单纯形法 对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释——影子价格
第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
线性规划问题可表示为：
目标函数 max z CB X B CN X N C B X B C N 1 X N1 C S 2 X S 2 b 非负条件 X B , X N 0 ( 2 1) (22) (3 2) 约束条件 BX B NX N BX B N1 X N1 S2 X S2
1
（2）Θ规则表示为：
• RHS值 表示选用>0的分量
1 ( B 1b )i ( B b )i 1 m in 1 ( B Pj )i 0 1 ( B P ) ( B P ) j i j i
• 换入变量的系数向量
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
将（2-2）式移项及整理后：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B b B N1 X N1 B S2 X s2 ; 目标函数： z C B B b ( C N1 C B B N 1 ) X N1 ( CS2 C B B I ) X S
若以Xs为基变量，并标记成XB
这是将系数矩阵（ A ， I ）分为（ B ， N ）两 块。B是基变量的系数矩阵， N是非基变量的系数矩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。 决策变量分为：
XB X X N
将目标函数的系数C分为CB，CN
分别对应于基变量XB和非基变量XN。 并且记作C=（CB, CN）。
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量 X B1 可包含原基变量和松弛 XB 变量 XS 1 X N1 ; 非基变量： XN XS 2
相应有
N1 B 系数矩阵A N ; 其中N S ; 2 X S1 基变量 松弛变量：X S X S 非基变量 2
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题 :
目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
给这线性规划问题的约约束条件 加入松弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
1 0 I 0 1
1 1 1 1 1 1
令非基变量=0；由上式得到：
B b (1) 基可行解 X ; 0 1 目标函数的值 z C B B b
1
（1）非基变量的系数表示为：
( CN1 CB B N1 ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2 , ,n ) 检验数也可表示为： C - CB B A与 - CB B
矩阵关系式：
0 1 B N1 1 1 0 C N C B B N1
1
z X 1 B B 1 C B B X N1 X N2 (27)
B b 1 C B B b
1
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵 检验数
1
XN
1
Xs
1
RHS
1
B B b B B 1 B N1 1 1 1 C N C B B N1 C B B C B B b 0
1
小结
• 1）掌握矩阵的运算； • 2）理解基矩阵的作用； • 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第2 章 对偶理论和灵 敏度分析 第1节 单纯形法的矩 阵描述
高等教育出版社
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 第2 节 第3 节 第4 节 第5 节 单纯形法的矩阵描述 改进单纯形法 对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释——影子价格
第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
线性规划问题可表示为：
目标函数 max z CB X B CN X N C B X B C N 1 X N1 C S 2 X S 2 b 非负条件 X B , X N 0 ( 2 1) (22) (3 2) 约束条件 BX B NX N BX B N1 X N1 S2 X S2