单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法

寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 其迭代过程如下: 其迭代过程如下:
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确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定新的基可行解: 确定新的基可行解: 首先导出B 首先导出 -1 然后计算X 然后计算 B= B-1 b 迭代终止原则与单纯形法相同. 迭代终止原则与单纯形法相同.
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思路:
~ ~ 每次迭代关键求出 B , P b , P ,σ j ,θi k k
1
需要换入的变量对应的列
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法的优点: 修正单纯形法的优点:
能够从问题的原来参数( , , ), 能够从问题的原来参数(A,b,C), 计算出单纯形表中所有的数据, 计算出单纯形表中所有的数据,只要导 1 即可. 出 B 即可. 单纯形表中的任一数字, 单纯形表中的任一数字,只要作部分的 矩阵乘法即可获得. 矩阵乘法即可获得.
第五节
单纯形法的进一步讨论
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----单纯形法的矩阵描述 ----单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
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不妨设基为 则
m ax z = CX s.t AX = b X ≥0
B = (P P2 Pm ) 1 A = (P P P ) = (B N) 1 2 n X =( XB XN ) C = (CB CN )
1
XB I 0
XN Xs 1 B N B 1 1 CN CBB N CBB
当前检验数
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
原因:
单纯形法的目的是要求问题的最优解, 单纯形法的目的是要求问题的最优解, 而在迭代过程中, 而在迭代过程中,单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大.因此, 求最优解关系不大.因此,对单纯形法进 行修正. 行修正.
有关公式: 有关公式:
确定新的换入变量
σ j = cj CB B1 Pj = cj πPj
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单纯形乘子(行向量) 其中 π = CB B1 单纯形乘子(行向量) ~ ~ 1 P = B P , b = B1b θi k k
确定新的换出变量
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法要点: 修正单纯形法要点:
�
非基变量
基变量
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX = b (B N) X N = BX B + NXN = b
1
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~ ~ XB = B (b NXN ) = b NXN ~ ~ 1 其中 b = B b , N = B 1 N
令
XN =0
~ 1 XB = b = B b
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对 偶 问 题
修正单纯形法简介
有关公式: 有关公式: 当换入变量 xk ,换出变量 xl 时, 新的 B 1为:
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B
1 new
1 a 1 Bold i ≠l Bold a = 1 Bold i =l ' alk
' ik ' lk
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量 基变量
பைடு நூலகம்
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0
Xs cj z j
XB b B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 XB时,新的单纯形表
基变量 非基变量
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CB
XB B b cj z j
当前基解
得当前的目标函数值为: 得当前的目标函数值为:
~ 1 z0 = CBb = CBB b
当前目标值
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
检验数 ~ σN = CN CB N
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~ ~ = (Cm+1Cn ) (C1Cm )( P +1P ) m n ~ ∴ σn+1 = Cm+1 CB P +1 m 当前检验数 ~ σn =Cn CB P n
~ 1 其中 Pj = B Pj
当前 x j 对应的系数列
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
线性规划问题 m z = CX ax AX ≤ b s.t. X ≥ 0 化为标准型, 化为标准型,引入松弛变量 Xs
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{
m z = CX + 0Xs ax AX + IXs = b s.t. X ≥ 0, Xs ≥ 0
得当前的基解为: 得当前的基解为: 当前基解
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z = (CB CN ) = CB XB + CN XN X N 1 1 = CBB b + (CN CBB N) XN ~ ~ = CBb + (CN CBN) XN
令
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XN =0