单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法
线性规划中的单纯形法改进思路预测分析
线性规划中的单纯形法改进思路预测分析在线性规划领域中，单纯形法是一种经典的求解最优解的方法。
然而，在大规模问题或特定情况下，传统的单纯形法可能会面临效率低下的挑战。
因此，改进单纯形法的思路和方法成为了研究的焦点之一。
本文将介绍几种常见的单纯形法改进思路，并进行预测分析。
一、单纯形法简介单纯形法是由乔治·丹齐格于1947年提出的一种线性规划求解方法。
它通过沿着一条特定的路径逐步迭代，寻找使目标函数达到最优解的变量值。
单纯形法的基本思想是从一个可行解开始，通过不断迭代来寻找目标函数值更小的解。
然而，传统的单纯形法在面对复杂的大规模问题时可能出现效率低下的问题。
二、单纯形法改进思路为了克服传统单纯形法的局限性，研究者们提出了许多改进思路。
下面将介绍几种常见的单纯形法改进思路。
1. 内点法内点法是一种通过引入松弛变量转化为等式约束的方法。
相比传统的单纯形法，内点法在寻找可行解时不再受限于顶点的极端解，而是通过在可行域内寻找内部点来逼近最优解。
内点法的特点是迭代过程中变量值始终在可行域内部，且逐步逼近最优解。
虽然内点法的每一步迭代计算量较大，但在大规模问题中有着较好的效果。
2. 双轨法双轨法是一种将对偶理论与单纯形法相结合的方法。
它通过同时计算原问题和对偶问题的单纯形表，并在两个表之间进行转换和调整。
双轨法的优势在于可以通过对偶问题的解来加速寻找原问题的最优解。
该方法适用于解决具有稀疏约束的问题，可以提高求解效率。
3. 随机单纯形法随机单纯形法是一种通过引入随机性来改进传统单纯形法的方法。
在传统单纯形法中，每次迭代都选择一个进入变量和一个离开变量。
而随机单纯形法则通过随机选择进入和离开变量，以避免陷入局部最优解。
通过引入随机性，随机单纯形法可以在某种程度上提高全局搜索能力，从而更好地逼近最优解。
三、预测分析对单纯形法改进思路进行预测分析，可以帮助我们评估不同方法的效果和适用范围。
根据对内点法的研究和分析，可以预测内点法在解决大规模问题时具有一定的优势。
单纯型法的探究及改进
单纯形法的探究及改机械设计制造及自动化专业机制072 程鸿07030209 摘要：单纯形法是由美国的数学家G.B.Dantzig提出的一种多变量函数的寻优方法。
其优点是对目标函数的解析性没有什么要求，收敛速度快，适用面较广。
但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。
而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。
如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量，也增加计算机的内存量。
针对这一问题，本文提出改进单纯形法，在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余的约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。
此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。
关键词：线性规划、单纯形法、改进的单纯形法、基本可行解、初等变换一．单纯形法1.1单纯形法的提出线性规划是运筹学的一个重要分支。
它的实质是从很多变量中选取一组适应的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性或条件，而且使一个函数达到最优。
线性规划是为了解决二战中的后勤问题而产生的。
自1947年美国的数学家G.B.Dantzig提出了解决线性规划问题的单纯形法以来，线性规划问题无论在理论上、计算方法和拓展新的应用领域中，都获得了长足的进步。
而且它的出现推动了自然科学的许多其它学科的发展。
1.2单纯形法的基本思想与计算步骤㈠、单纯形法的基本思想任何一种单纯形法的迭代算法必须解决三个问题：1．由哪一个顶点开始?2．用一个什么样的“有效”途径，进行由一个顶点向另一个较好的顶点移动? 3．何时停止该过程?单纯形法属于这一范畴。
即从一个粗的解开始，成功地改进现有的解，直到所要求的目标被满足为止．对于一个迭代算法，通常要求有一个停止规则，以检查是否达到目标。
计算上简单的规则将被优先选用，因为它在每次迭代中都要执行。
如果该规则未被满足，则需要去做进一步的改善，以求接近所需的目标。
1.2.4单纯形法的矩阵表达
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
16改进单纯形法简介
B3 =(P1 P4 P2 )
18
解:
1/1 0 0 1 0 0 = -3 1 0 0 0 1 Er =E1 = -3/1 1 0 0 0 1
1 0 0 B3-1 = E1 B2-1 = -3 1 0 0 0 1
1 0 -1 = -3 1 2 0 0 1/2
1 0 -1 0 1 -1 0 0 1/2
=E
B-1B=(B-1P1 , … ,B-1Pr-1 , B-1Pm+k , B-1Pr+1 , … ,B-1Pm
15
1
1 B-1B=
a1m+k
ar-1m+k arm+k ar+1m+k amm+k r
16
r 1 1
1
a1m+k - a rm+k
1 Er =(B-1B)-1=
ar-1 m+k - a rm+k 1
(5)、新基B。转(1)。
14
(5)、1) 求初等变换矩阵Er (r 换出变量在基中 的位置) B=(P1 … Pr-1 Pr Pr+1 … Pm )
B=(P1 … Pr-1 Pm+k Pr+1 … Pm ) BB=(B-1P1 , … ,B-1Pr-1 , B-1Pr , B-1Pr+1 , … ,B-1Pm )
23
6
X1 CB XB
4
X2 M +4
0
X3
0
X4
0
X5
- M
X6
- M
X7
-36 M
M +6
0
0
- M
0
0
0
单纯形法的矩阵描述
X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4
运筹学——单纯形矩阵描述与改进单纯形法
( B 1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
( B 1b)l (B1Pj )l
换入变量的系数向量
10
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
11
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11
A
a21
a12
a22
a1m a2m
am1
am2
amm
12
以a11为主元素, 进行变换
a11
主元素
P1
a21
1/ a11
1
a21 /
a11
(1)
am1
am1
/
a11
13
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
BXB b NX N ; X B B1b B1NX N ; 目标函数：
z CB B1b (CN CB B1N ) X N
(2 1) (2 2) (3 2)
4
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解
X
(1)
B 1b 0
;
目标函数的值 z CBB1b
5
（1）非基变量的系数表示为： (CN CB B1N ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2,, n) 所有检验数可表示为： C - CBB1(B | N )
6
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
X B B1NX N B1b; 目标函数：
- z (CN CB B1N ) X N -CB B1b
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
得当前的目标函数值为: 得当前的目标函数值为:
~ 1 z0 = CBb = CBB b
当前目标值
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
检验数 ~ σN = CN CB N
上页 下页 返回
~ ~ = (Cm+1Cn ) (C1Cm )( P +1P ) m n ~ ∴ σn+1 = Cm+1 CB P +1 m 当前检验数 ~ σn =Cn CB P n
�
上页 下页 返回
思路:
~ ~ 每次迭代关键求出 B , P b , P ,σ j ,θi k k
1
需要换入的变量对应的列
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法的优点: 修正单纯形法的优点:
能够从问题的原来参数( , , ), 能够从问题的原来参数(A,b,C), 计算出单纯形表中所有的数据, 计算出单纯形表中所有的数据,只要导 1 即可. 出 B 即可. 单纯形表中的任一数字, 单纯形表中的任一数字,只要作部分的 矩阵乘法即可获得. 矩阵乘法即可获得.
~ 1 其中 Pj = B Pj
当前 x j 对应的系数列
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
线性规划问题 m z = CX ax AX ≤ b s.t. X ≥ 0 化为标准型, 化为标准型,引入松弛变量 Xs
上页 下页 返回
{
m z = CX + 0Xs ax AX + IXs = b s.t. X ≥ 0, Xs ≥ 0
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量 基变量
上页 下页 返回
0
Xs cj z j
XB b B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 XB时,新的单纯形表
基变量 非基变量
上页 下页 返回
CB
XB B b cj z j
当前基解
有关公式: 有关公式:
确定新的换入变量
σ j = cj CB B1 Pj = cj πPj
上页 下页 返回
单纯形乘子(行向量) 其中 π = CB B1 单纯形乘子(行向量) ~ ~ 1 P = B P , b = B1b θi k k
确定新的换出变量
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法要点: 修正单纯形法要点:
上页 下页 返回
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
有关公式: 有关公式: 当换入变量 xk ,换出变量 xl 时, 新的 B 1为:
上页 下页 返回old i ≠l Bold a = 1 Bold i =l ' alk
' ik ' lk
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 其迭代过程如下: 其迭代过程如下:
上页 下页 返回
确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定新的基可行解: 确定新的基可行解: 首先导出B 首先导出 -1 然后计算X 然后计算 B= B-1 b 迭代终止原则与单纯形法相同. 迭代终止原则与单纯形法相同.
非基变量
基变量
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX = b (B N) X N = BX B + NXN = b
1
上页 下页 返回
~ ~ XB = B (b NXN ) = b NXN ~ ~ 1 其中 b = B b , N = B 1 N
令
XN =0
~ 1 XB = b = B b
1
XB I 0
XN Xs 1 B N B 1 1 CN CBB N CBB
当前检验数
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
原因:
单纯形法的目的是要求问题的最优解, 单纯形法的目的是要求问题的最优解, 而在迭代过程中, 而在迭代过程中,单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大.因此, 求最优解关系不大.因此,对单纯形法进 行修正. 行修正.
得当前的基解为: 得当前的基解为: 当前基解
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z = (CB CN ) = CB XB + CN XN X N 1 1 = CBB b + (CN CBB N) XN ~ ~ = CBb + (CN CBN) XN
令
上页 下页 返回
XN =0
第五节
单纯形法的进一步讨论
继续 返回
----单纯形法的矩阵描述 ----单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
上页 下页 返回
不妨设基为 则
m ax z = CX s.t AX = b X ≥0
B = (P P2 Pm ) 1 A = (P P P ) = (B N) 1 2 n X =( XB XN ) C = (CB CN )