单纯形法的矩阵解释
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单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
单纯形法的矩阵描述
X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4
单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
线性规划单纯形法的矩阵表示
y1 y1 y2 y2 y 3
min cT x s.t. Ax b, Bx a, x 0.
max bT y1 aT y2 s.t. AT y1 BT y2 c 对偶 y1无限制, y2 0.
用对偶单纯形法求下列线性规划问题
min s.t.
x4
x5
右端项
-f x4 x1
0 3 0 1
-3 -2 4/3 1/3
3 1 1/3 -2/3
0 1 0
1 0 2/3 -1/3
-2 0
2/3
2/3
基变量
x1 0 0 1
x2 -3 4/3 1/3
x3 3 1/3 -2/3 x3 15/4 1/4 -3/4
x4 0 1 0 x4 9/4 3/4 -1/4
两阶段
min a s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
第一阶段 k=1
基变量
-f
x4 a
x1 -3 0 2 3
x2 -1 0 2 1
x3 2 0 -1 -2
1
无穷多个最优解：cN
且其中有一个检验数=0 无最优解(无有界解)：
cN cB B N
1
有一个变量是负数,且该变量所在列向量是非正的.
4（1）用单纯形法求下列线性规划问题.
max 5 x1 6 x2 4 x3 s.t. 2 x1 2 x2 5, 5 x1 3x2 4 x3 15, x1 x2 10,
T
T
max b y s.t. A yc y0
s.t.
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
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Feng.mu@
2.3 单纯
矩阵 释
Feng.mu@
讲
单纯
单纯
矩阵
与“
达
终单纯 ” 矩阵 达 。
两个
两个
质
质 论 导过 。
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时
1、Gauss…7ˆsƒ=Š 总
， ， 个 个 数； 数加 。
问题1、 问题 、Gauss消元法是如何将初始单纯形表变换为最终 单纯形表，它的理论依据是什么？
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
求 线 规划问题时 矩阵 达
问题2、 问题 、最终单纯形表的矩阵表达中，相关记号的具体含义是什么？
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
问题2.1、在上式中矩阵中所有的元素，要么为矩阵，要么为向量。哪些是矩阵？ 问题 、 哪些是向量？
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
结
本讲课讨论了单纯形法的矩阵解释。 其中，重点讲述了两个重要的性质。 在性质的证明过程当中我们获得了一个重要的经验认识，即单纯 形法实际上是由一些“等价的”矩阵变换演变而来。
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
结
本讲课讨论了单纯形法的矩阵解释。 其中，重点讲述了两个重要的性质。 在性质的证明过程当中我们获得了一个重要的经验认识，即单纯 形法实际上是由一些“等价的”矩阵变换演变而来。
求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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求 线 规划问题时 质
2.3 单纯
矩阵 释
Feng.mu@
讲
单纯
单纯
矩阵
与“
达
终单纯 ” 矩阵 达 。
两个
两个
质
质 论 导过 。
Feng.mu@
Gauss7s=
求 线 规划问题时
1、Gauss…7ˆsƒ=Š 总
， ， 个 个 数； 数加 。
问题1、 问题 、Gauss消元法是如何将初始单纯形表变换为最终 单纯形表，它的理论依据是什么？
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
求 线 规划问题时 矩阵 达
问题2、 问题 、最终单纯形表的矩阵表达中，相关记号的具体含义是什么？
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
问题2.1、在上式中矩阵中所有的元素，要么为矩阵，要么为向量。哪些是矩阵？ 问题 、 哪些是向量？
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
结
本讲课讨论了单纯形法的矩阵解释。 其中，重点讲述了两个重要的性质。 在性质的证明过程当中我们获得了一个重要的经验认识，即单纯 形法实际上是由一些“等价的”矩阵变换演变而来。
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
Feng.mu@
Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
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Gauss7s= 2、单纯
求 线 规划问题时 矩阵 达
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求 线 规划问题时 释 巩固
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求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
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求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
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求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
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Gauss7s=
求 线 规划问题时 释 巩固
4、Gauss…7ˆs矩阵 过
Feng.mu@
结
本讲课讨论了单纯形法的矩阵解释。 其中，重点讲述了两个重要的性质。 在性质的证明过程当中我们获得了一个重要的经验认识，即单纯 形法实际上是由一些“等价的”矩阵变换演变而来。
求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
Feng.mu@
Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
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求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说s= 3、两个
求 线 规划问题时 质
行来说， （2）同样的，对于第 行来说，也有类似的结果成立 ）同样的，对于第0行来说
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Gauss7s= 3、两个
求 线 规划问题时 质