函数的三种表示方法的优点、缺点对比
函数的表示法
函数的表示法【知识点】一、函数的三种表示法1.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系，二是可以通过解析式求出任何一个自变量所对应的函数值.但是不是所有的函数都能用解析式表示. 2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法具体易用，即使不懂数学运算的人也能查表做事，缺点是不够全面. 3.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.缺点：只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.二、分段函数：自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数. 分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数. 【例题】题型一 分段函数例1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+=)4(2)40(2)0(4)(2x x x x x x x x f（1）求)]}5([{f f f 的值; （2）画出函数的图象.练习：已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若()a f f 4)0(=，则实数a = .例2.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),4(log )(2x x f x f x x x f ，则)3(f 的值为（ ）A.-1B.-2C.1D.2练习：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x f x 。
若0)1()(=+f a f ,则实数a 的值等于（ ）A.-3B.-1C.1D.3 题型二 函数的解析式的求法1、根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的相关知识找出函数关系式.2、有时题中给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法 .如函数是二次函数，设为)0()(2≠++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出c b a ,,即可.例3.已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f .练习：已知)(x f 是一次函数，且满足14)]([-=x x f f ，求)(x f .3、①已知)(x f 的表达式，求)]([x g f 的表达式：直接把)(x f 中x 换成)(x g 即可. ②已知)]([x g f 的表达式，求)(x f 的方法：(i)代换法：设t x g =)(，求出),(t h x =，则)]}([{)(t h g f t f =，即)]}([{)(x h g f x f =. (ii)整体代换法：在)]([x g f 的表达式，把每一个含有x 的项配凑成)(x g 的形式，直接把)(x g 换成x 即可.例4.求下列函数的解析式：（1）已知12)(2++=x x x f ，求)1(+x f .（2）已知x xf lg )12(=+，求)(x f .（3）已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练习：已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f .(4)解方程组法，已知)(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他未知量，如)(x f -、)1(xf 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f .例5.（1）已知)0()()1(2≠=+x x x f xf ，求)(x f .练习：若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f .例6 .已知函数)0()(≠+=a b a bax xx f 为常数，且、满足1)2(=f ，方程x x f =)(有唯一解，求函数)(x f 的解析式，并求)]3([-f f 的值.题型三 列表法例7.已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出.则)]1([g f 的值为 ；当==x x f g 时，2)]([ 练习：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是题型四 函数图象的作法 1、描点法 2、变换作图法①平移：左加右减②对称：关于x 轴对称：)()(x f y x f y -=→=关于y 轴对称：)()(x f y x f y -=→= 关于原点对称：)()(x f y x f y --=→=③其他：|)(|)(x f y x f y =→=)()(x f y x f y =→=例8. 作出①|82|2-+=x x y ,②5||42+-=x x y 的图象.练习：画出函数||x y =的图象例9：作出下列函数函数的图象并求函数的值域.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=)1()10(1x xx x y练习：作出函数|2||1|-++=x x y 的图象并求函数的值域.例10.用min },,{c b a 表示c b a ,,三个数中最小值，设)0}(10,2,2min{)(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为 （ ）A.4B.5C.6D.7练习：若R x ∈,)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数的较小者，则)(x f 的最大值为（ ） A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 例11.已知函数)1(|2|)(+-=x x x f . （1）作出函数)(x f 的图象.（2）判断关于x 的方程a x x =+-)1(|2|的解的个数.练习：直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是 . 三、映射1.映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个映射.2.象，原象的概念：给定一个集合A 到集合B 的一个映射，且B b A a ∈∈,，如果在对应法则f 的作用下，元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.例12.以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应;（2）集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B=},|),{(R y R x y x ∈∈，对应关系f ： 直角坐标系中的点与它的坐标对应;（3）集合A={x|x 是新华中学的班级}，集合B={x|x 是新华中学的学生},对应关系f ：每个班级都对应班里的学生.练习：1.集合A= },,{c b a ,集合B={-1，1}的映射的个数.2.已知原象),(y x 在映射f 下的象是),(y x y x -+,则（2，-3）的原象是【课后作业】1. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ）A 2B 3C 4D 52.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是 （ ）A 0个B 1个C 2个D 无法确定3. 某学生离家去学校，因怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学走法的是（ ）4.函数f(x)=|x|+1的图象是 （ ）ABD5.函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上 6.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +7.已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．308已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+-9.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,110.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9， 则这个二次函数的表达式是 。
关于函数数学知识点归纳
关于函数数学知识点归纳1、变量与常量在其中一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在其中一变化过程中有两个变量某与y，如果对于某的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说某是自变量，y是某的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
(2)列表法把自变量某的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
(3)某某某像法用某某某像表示函数关系的方法叫做某某某像法。
4、由函数解析式画其某某某像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。
（2）掌握三种表示法，列表法、解析法、某某某象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（某），那么y=f[g（某）]叫做f和g的复合函数，其中g（某）为内函数，f（u）为外函数3、求函数y=f（某）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y=f（某）的解析式求出某=f—1（y）；（3）将某，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（某），并注明定义域注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起②熟悉的应用，求f—1（某0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算（二）、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。
八年级数学-函数的表示法及其优点和不足
八年级数学-函数的表示法及其优点和不足答：表示函数有三种方法：解析法,列表法,图象法．结合其意义、优点与不足,分别说明如下．(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式,求自变量x＝a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表、描点、画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂．(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确．由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数；再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表；最后是画出函数的图象．注意问题设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应．那么就说x是自变量,y是x的函数．这段话给出了函数的概念,要全面理解它的含义,应从字词语句入手思考．（1）函数的概念的基础是一个变化过程中有两个变量x与y,要研究它们之间的关系．（2）对于x的每一个值,就是变量x允许取的任意一个值,这些值组成了自变量x的取值范围．（3）对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,说明变量x 与y有确定的对应关系,即y是x的函数．其中“唯一”的意义是“有一个且只有一个”．综上所述,不难发现,（1）是基础,（2）是自变量x的取值范围,（3）是x与y的对应规律．因为函数的本质是对应,函数关系是变量x与y的一种特殊关系．所以自变量的取值范围和两个变量的对应规律缺一不可．在初中阶段,理解函数概念必须抓住这两个要素．要判断两个（或几个）函数是不是同一个函数,也必须根据函数的这两个要素思考、鉴别、确定,即不仅要求它们的对应规律相同,还需要它们的自变量的取值范围相同．。
细说函数的三种表示方法
1、细说函数的三种表示方法2、一次函数漏（错）解例析3、求函数最值问题请注意取值范围4、画好实际问题中的一次函数图象5、运用一次函数图象解题6、一次函数与不等式（组）结合来解题1、细说函数的三种表示方法本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。
下面与大家细说这三种方法的优缺点：一、解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等．例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围．【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）．解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。
二、列表法列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。
优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。
缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表：信件的质量m(克) 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 邮费y（元）0.8 1.2 1.6 2.4从表中可以直观地看出y与m的对应关系。
三、图象法在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。
第3课时 函数的三种表示方法
名校讲 坛
跟踪训练
(《名校课堂》19.1.2第3课时习题)一根蜡烛பைடு நூலகம்20 cm，蜡烛的燃烧速度是 5 cm/h. (1)写出蜡烛的剩余长度h与燃烧时间t之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 解：(1)h＝20－5t(0≤t≤4)． (2)列表：
下列说法错误的是( C ) A.当h＝50 cm时，t＝1.89 s C.h每增加10 cm，t减小1.23 s
B.随着h逐渐升高，t逐渐变小 D.随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快
《名校课堂》 名 校 名 师 打 造 更 多 名 校 选 择
巩固训 练
3.某型号汽油的金额y(单位：元)关于数量x(单位：L)的函数 图象如图所示，那么这种汽油的单价是每升 5.09 元． 4.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米， 水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y(米) 关于时间x(小时)(0≤x≤5)的函数解析式为 y＝6＋0.3x ． 5.声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下表 所示，从表中可知，音速y随气温x的升高而加快，在气温为20℃的一天召开运 动会，某人看到发令枪冒出的烟0.2 s后听到了枪声，则由此可知，这个人距 发令地点 68.6 m.
《名校课堂》 名 校 名 师 打 造 更 多 名 校 选 择
巩固训 练
6.(《名校课堂》19.1.2第3课时习题)某校办工厂年产值是15万元，计划以后 每年增加2万元． (1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数解析式，并画出函数图象； (2)估计5年后该工厂的产值． 解：(1)y＝15＋2x(x≥0)，图象如下： (2)当x＝5时，y＝15＋2×5＝25. 答：估计5年后该工厂的产值为25万元．
话说函数三种定义的利与弊
话说函数三种定义的利与弊2009年第1期数学教育研究?l5?话说函数三种定义的利与弊陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三种定义,谈谈各自的利弊.1函数变量说的利弊回顾先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量称为后面变量的函数.”由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.2函数对应说与函数变量说优劣比较函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).输入———-.(j至[卜_+输出其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.?16?数学教育研究2009年第1期3函数关系说的利弊分析在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把函数关系看作一个特殊的关系.设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R一{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R 是由X到y的关系,而不是函数.由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊的关系.现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,但什么是对应法则厂?尚欠明确,显得含糊.我们说,y 一厂(z),这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一函数=g(z),一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分呢?怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?就要借助于”关系说”了.“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想的表(包括无限多个精确的数据),借此,可以按的值查找出Y的值.总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受. 然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有不便.综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺点,应视具体情况加以运用.[责任编校董伸华](上接第2页)戊丙\辛庚,.’z’戊丙甲丁图(5)由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及的正(余)弦函数和正(余)矢函数,而且还应有正(余) 切函数和正(余)割函数——在图五中有明显的正切, 余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1= sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.在上述两个图形之后,此书还有一个图形如图(6)所示.这个图形说明是:”角度:凡三角形佛三角之度皆成两象限.假如乙甲丁勾股形,其丁角五十五度,当乙丙弧,则乙角必三十五度,当乙庚余弧.两角共一象限,九十度.其甲角正方,原系\一,甲丁l’卯\丑\图(6)九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念. 综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人. 其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.参考文献:Eli昊文俊.中国数学史大系(第七卷)[M].北京:北京师范大学出版社,2000.53.[2]方豪.李我存研究[M].杭州:我存杂志社,1937.[3][4][5][6][7]利玛窦,李之藻.同文算指别编[M].中国科学技术典籍通汇[c](数学卷四).郑州:河南教育出版社,1993.267—268,268—271,268,268——269,271.[8]朱维铮.利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.691—694.[9][1O]E11]利玛窦.理法器撮要[M].利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.738,739,740.[责任编校钱骁勇]。
函数的表示方法
(1)理解函数的三种表示方法， 在具体的实际问题中能够选用恰 当的表示法来表示函数;
(2)注意分段函数的表示方法 及其图像的画法．
日常生活中存在着丰富的对应关系.
(1)对于高一八班的每一位同学,都有一个学号 与之对应. (2)我国各省会，都有一个区号与之对应.
再如，某天一昼夜温度变化情况如下表
1993 34560.5
时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
温度/(OC) -2 -5 4
9
8.5 3.5 -1
数学用表中的三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等
系的.公共汽车上的票价表
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值。
3.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应 关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
• 函数的图像从“形”的方面揭示了函数的 变化规律，是数学的图形语言，图像法是 解决函数问题的常用方法，利用函数的图 像既有利于掌握各类函数的性质，又能运 用“数形结合”的方法去解决某些问题。
函数值；
（3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要 表示方法;用解析法表示函数时,必须注明函数 的定义域.
2.列表法：列出表格来表示两个变量的
的对应关系。
例如：
国内生产总值 ：
单位：亿元
年份 1990
1991
函数的表示方法
2. 根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决 实际问题.
课堂练习:
1.已知一次函数与X轴交点为（-2，0），与Y 轴交点为（0，1），求此函数。
2.已知如右图象，请写出解析式.
3.用长为30厘米的铁丝围成矩形，试将矩形面积表 示为矩形一边长x的函数。
x, x 0 4、已知函数 x 2 f , 试求f f 2的值。 x , x 0
解析法
优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求 出其对应的函数值，便于用解析式来研究函 数的性质。 缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
，.
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
典型例题
例1、购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听5元，试分 别用解析法、列表法、图象法将y表示x （x ,2,3,4）的 1 函数,并指出该函数的值域。 解 （1）解析法：y = 5x ， x ∈｛1，2，3，4｝ （2）列表法：
函数的表示方法
函数的三个表示方法：
1、列表法 ：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
2、解析法 :用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.
3、图象法 ：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法 优点：不必通过计算就知道当自变量取某 些值时函数的对应值。 缺点：只用于自变量为有限个的函数。
x/听 y/元
1 5
2 10
3 15
4 20
（3）图象法：
它的图象由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是 （1， 5），（2，10） ，（3，15），（4， 20）
y
20
15
10
5
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优缺点
表示方法
优点
缺点
1.图像法
表示函数形象、直观；
能清晰呈现函数的增减变化、点的对称，最大（或最小值）等问题。
所画出的图像是近似的、局部的；
由图像确定的函数值往往不够准确；
2.列表法
能鲜明地呈现出自变量和函数值之间的数量关系
只能列出部分自变量与函数的对应值，难易反映函数变化的全貌；
3.解析法或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算，有时比较复杂。
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数值域的并集。分段函数虽然由几个部分组成，但它表示的是一个函数。