数学建模-小行星的轨道模型
小行星的轨道模型
问题:
天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道。
他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1.4959787e11m ）。
在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测的轨道上5个点的坐标数据如表：
一、问题分析与建立模型
（1） 求解椭圆一般方程的系数
由开普勒第一定律知，小行星的轨道为椭圆，现需要建立椭圆方程(221234522210a x a xy a y a x a y +++++=)以供研究。
天文学家确定小行星运动的轨迹时，他的依据是轨道上5个点的坐标数据。
由椭圆轨道属于二次曲线，是一般方程。
为了确定方程中的5个待定系数，需要将上述5个点的坐标代入上面的方程22123452221a x a xy a y a x a y ++++=-,得：
221121131415122
1222232425222132333343532214
244344454
2215255354555a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1
a x 2a x y a y 2a x 2a y 1⎛++++=- ++++=- ++++=-
++++=- ++++=-⎝
， 将这一包含5个未知数的线性方程组，写成矩阵的形式
221111112222222222333333?2244444422
5
55
55
5x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
12345a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
= 11111-⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
（2）求解转化为标准方程后的系数
为了知道小行星轨道的一些参数，还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式：
22
22Y 1X a b
+= . 由于太阳的位置是小行星的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L.
根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下：
2
2
120D X Y C
λλ++= .
1
22
3a a C a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,1
232354
5
1a a a D a a a a
a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ , 1λ,2λ为C 的特征值。
所以，椭圆长半轴：21D
a C
λ=
；椭圆短半轴：22D
b C
λ=
；
椭圆半焦距：2c = ；面积S=ab π；离心率c
e a
=，则周长近
似值为L=24321464e a e π⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭ 。
二、计算求解
（1）利用matlab 软件求解：首先由5个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 ： 求：
X0=[5.764 6.286 6.759 7.168 7.408];
Y0=[0.648 1.202 1.823 2.526 3.360]; A=zeros(5);X0(1); for i=1:5
A(i,1)=X0(i)^2;A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);A(i,3)=Y0(i)^2;A(i,4)=2*X0(i);A(i,5)=2*Y0(i); end; A
得：
A =
33.2237 7.4701 0.4199 11.5280 1.2960 39.5138 15.1115 1.4448 12.5720 2.4040 45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.6460 51.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.0520 54.8785 49.7818 11.2896 14.8160 6.7200
又知A*X=B ，求解B: B=[-1 -1 -1 -1 -1]';X=A\B
得：
X'=[0.0508 -0.0351 0.0381 -0.2265 0.1321]
即（a1，a2，a3，a4，a5）= （0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321）
然后求C 、D
由1
22
3a a C a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；1
232354
5
1a a a D a a a a
a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，用matlab 计算: for i=1:5
a(i)=X(i); end
C=[a(1) a(2);a(2) a(3)] det(C)
得
C =
0.0508 -0.0351 -0.0351 0.0381
C = 7.0286e-004
求特征值:
[v d]=eig(C ,'nobalance')
得
d =
0.0088 0 0 0.0801
所以特征值
λ=0.0088 ，2λ=0.0801 .
1
求D
D=[a(1) a(2) a(3);a(2) a(3) a(5); a(4) a(5) 1]
det(D)
得
D =
0.0508 -0.0351 0.0381
-0.0351 0.0381 0.1321
-0.2265 0.1321 1.0000
D = 0.0010
于是，椭圆长半轴a=12.7158，短半轴b=4.2147，半焦距c=11.9970 。
小行星近日点距离和远日点距离分别为h=a-c=0.7188 和 H=24.7128 。
最后，计算离心率、面积、周长：
c=11.9970;
e=c/12.7158,
S=pi*12.7158*4.2147,
L=2*pi*12.7158*(1-e^2/4-3*e^4/64)
得
离心率 e =
0.9435
面积 S =
168.3683
周长 L = 59.1487
最终结果：
椭圆方程为：22
22
112.7158 4.2147
x y += ； 离心率：e=0.9435 ； 面积：S=168.3683 ； 周长：L=59.1487 。
KISSsys行星轮建模分析
一、前言 ................................................................................................................................................................................................. 4 二、行星轮计算模块 .......................................................................................................................................................................... 4 （1）现成案例设计数据列举 .......................................................................................................................................................... 5 （2）参数在软件界面中的输入 ..................................................................................................................................................... 5 （3）现有案例基础上的优化.....................................................................
数学模型的分类
数学模型的分类1.按照所用方法分类：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、数学规划模型等2.按照应用领域分类：如人口模型、生态模型、交通流量模型、环境模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、生物学数学模型、医疗数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型。
3.按照建模目的分类：如描述模型、分析模型、预报模型、决策模型、优化模型、控制模型等。
4.按照表现特点分类：数学模型按是否考虑随机因素的影响分为确定性模型和随机性模型，突变性模型和模糊性模型；按是否考虑时间因素引起的变化分为静态模型和动态模型；按模型基本关系是否是线性分为线性模型和非线性模型；按模型中的变量为离散还是连续的可分为离散模型和连续模型（建模时通常先考虑确定性、静态、线性模型。
连续模型便于利用微积分方法求解，可做理论分析，而离散模型更适合在计算机上做数值计算。
将连续模型离散化，或离散变量视为连续量都是经常采用的处理方法）。
5.按照了解程度分类：可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，主要研究的是相关优化设计和控制等问题；灰箱主要指生态、气象、经济交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面还需要深入研究；黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理还很不清楚的现象。
现实中，我们描述一个模型往往不是只表达一种属性，而是同时表述多重属性，如确定性线性模型、连续动态模型、非线性数学规划模型等。
初等函数模型模型一般不涉及复杂的机理，研究对象往往是静态的、确定的，通常使用初等数学方法及微积分初步知识即可解决问题。
商品调价问题多步决策问题公平的席位分配量纲分析法建模优化模型在生产活动、经济管理和科学研究中经常遇到各种最大化或最小化问题，如企业生产成本最低，金融证券公司投资收益最大、风险最小，物流公司运输费用最小，工艺流程耗费时间最短，产品设计浪费材料最少，等等。
2016年全国研究生数学建模大赛优秀论文D题3
参赛密码（由组委会填写）“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛学校南京工业大学参赛队号10291002队员姓名1.黄纬国2.吴炳延3.王梦杰参赛密码（由组委会填写）“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛题目军事行动避空侦察的时机和路线选择摘要：本文以卫星侦察的预测和避让为背景，以保证安全的情况下最小化到达目的地的时间为目标，研究了卫星的观测和侦察的预测方法，并根据对卫星侦察的预测，优化了到达目的地的道路选择和行动方式。
针对问题一，第一小问，本文首先对观测数据进行坐标变换，结合星下点的经纬度随时间变化的函数给出了星下点的运行轨迹，给出了基于经度和纬度的Q型卫星的观测范围和侦察范围，同时将Q型卫星侦察预测转化为Q型卫星星下点轨迹的预测。
分别联立星下点轨迹函数和目标区域的边界方程，解出星下点进入和离开目标区域的经纬度和时间，从而实现对Q星被观测到的情况和过顶情况的预测。
对于确保安全施工情况的预测，本文通过计算卫星的侦察时段来给出确保安全施工的方案。
第二小问，对L-1、L-2型卫星的预测方法和第一小问对Q星的预测方法相同，通过对两颗星被观测情况和过顶情况取并集和对确保安全施工时段取交集来考虑两颗星的共同作用，分析两颗卫星的相对位置变化，由于存在一定的周期差，两颗卫星的相对位置改变导致在侦察的协作工作方面有所削弱。
第三小问，通过对观测数据的分析，求出K型卫星的轨道高度、运行周期和特定时候的初始位置，采用对观测点的最小二乘拟合求出轨道平面的倾角，采用与Q型卫星相同的预测方法对K卫星后面三次被观测到情况的预测，对不同数量的观测数据拟合计算出的轨道倾角进行对比分析，总整体趋势上，随着拟合数据的增多，倾角趋于稳定，可视其为误差随着观测数据的增多逐渐减小。
针对问题二，本文从时间和安全的角度入手，对本问进行建模求解。
提出在卫星监视下躲避，在无卫星监视下机动的设想，重点研究了车辆遭遇卫星的几种情况，将问题转化成单一求时间问题，并构造了求耗时最短的目标函数。
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
行星的轨道和位置的数学解法
行星的轨道和位置的数学解法作者：石磊a ，林川b 指导教师：乐经良C 教授a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309885) , 电话：54740807b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309880) , 电话：54741769c : 上海交通大学理学院数学系摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。
研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的Runge-Kutte 法。
特别对Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。
并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。
关键词：微分方程 数值方法 Runge – Kutte 法问题的重述17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache 观察工作的基础上，Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3. 行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O ，在时刻t ，行星位于θi re t Z =)( （4.1）所表示的点P 。
这里)(),(t t r r θθ==均是t 的函数，分别表示)(t Z 的模和辐角。
于是行星的速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=dt d ir dt dre dt d ire e dt dr dt dZ i i i θθθθθ 其加速度为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt r d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθ22222222 (4.2） 而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2rmMG，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θi e rmMG 2-，其中)(10989.130kg M ⨯=为太阳的质量,m 是行星的质量，)/(10672.62211kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。
第五章 小行星轨道方程计算问题
第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题 5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数,1,2,3,4,5;i a i =利用已知的数据，不妨设()1,2,3,4,5;i i x y i =欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
天体物理学中的行星轨道模型
天体物理学中的行星轨道模型天体物理学是研究宇宙中的各种天体如星球、恒星和星系等的物理性质和相互关系的学科。
其中一个重要的研究领域就是关于行星轨道模型的研究。
行星轨道模型是描述行星绕恒星运动的模型，通过这个模型可以预测和解释天体运动的规律。
1. 伽利略和开普勒的贡献在天体物理学的发展历程中，伽利略和开普勒是两位重要的科学家，他们对行星轨道模型的研究做出了巨大的贡献。
伽利略是17世纪的天文学家，他通过望远镜观测到了木星的卫星和金星的光斑，这些观测结果让伽利略对地心说提出了挑战。
他的观测数据和实验结果表明，地球并不是宇宙中心，而是像其他行星一样绕太阳运动。
而开普勒则在伽利略的观测结果的基础上，发展了行星轨道模型。
开普勒的三个行星运动定律为我们提供了解释和预测行星运动的基本规律。
第一定律指出，行星绕太阳运动的轨道是椭圆；第二定律指出，行星在其轨道上的连线对太阳的面积相等，即行星的运动速度是不均匀的；第三定律则是行星运动周期和轨道半长轴的关系，即行星运动周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。
2. 开普勒模型的局限性尽管开普勒的模型对行星轨道的描述有很高的准确性，但它也存在一定的局限性。
首先，开普勒模型是在假设行星轨道为一个封闭椭圆的前提下建立的，但实际上行星的轨道是受到其他天体的引力干扰而产生一定的摄动。
这些摄动会导致行星轨道产生偏离和扭曲，所以实际的行星轨道并不是完全符合开普勒模型的预测。
其次，开普勒模型没有考虑到相对论效应的影响。
爱因斯坦的相对论理论明确指出，物质和能量会扭曲时空，而行星绕恒星运动的轨迹会由于这种扭曲而产生微小的变化。
这些相对论效应对于太阳系内的行星运动可能产生较小的影响，但对于极端条件下的行星轨道模型研究是不可忽视的。
3. 现代行星轨道模型的发展随着科学技术的不断进步，现代天文学家们对行星轨道模型进行了更加精细和深入的研究。
一方面，天文学家们利用先进的望远镜和探测器观测和测量行星的位置和速度，从而得到更精确的数据。
数学建模-小行星的轨道模型
小行星的轨道模型问题:天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道。
他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1.4959787e11m ）。
在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测的轨道上5个点的坐标数据如表：一、问题分析与建立模型（1） 求解椭圆一般方程的系数由开普勒第一定律知，小行星的轨道为椭圆，现需要建立椭圆方程(221234522210a x a xy a y a x a y +++++=)以供研究。
天文学家确定小行星运动的轨迹时，他的依据是轨道上5个点的坐标数据。
由椭圆轨道属于二次曲线，是一般方程。
为了确定方程中的5个待定系数，需要将上述5个点的坐标代入上面的方程22123452221a x a xy a y a x a y ++++=-,得：22112113141512212222324252221323333435322142443444542215255354555a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1a x 2a x y a y 2a x 2a y 1⎛++++=- ++++=- ++++=-++++=- ++++=-⎝， 将这一包含5个未知数的线性方程组，写成矩阵的形式221111112222222222333333?2244444422555555x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y x 2x y y 2x 2y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12345a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 11111-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
小行星轨道模型(论文)
出椭圆的重要参数。因此将资料锁定在线性代数方程组理论和椭圆的有关概念上。即 用 5 个点的坐标数据分别带入椭圆的一般方程的线性代数方程组������1������2 + 2������2������������ + ������3������2 + 2������4������ + 2������5������ + 1 = 0，该方程组的系数为 A，右端顶为 b，则：
a 椭圆周长的计算：
将托圆周长计算转化为数学模型，已知椭圆长半轴 a ,偏心率 e ，求其周长。
椭圆的方程为：
x asin，y bcos
其微分为
dx acosd，y bsind
弧元为
ds dx2 dy2 a2 cos2 b2 sin2 d a2 (1 sin2 ) b2 sin2 d
a3 a4
1 1
。
x22 2x5 y5 y52
2x5
2y5 a5 1
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
三、模型的建立与求解
根据上述建立的模型，对数据进行处理，利用 MATLAB 对数据进行处理编程得：
求解结果：
������������ = 4������������ − ������2
������2 = 2(������������������2 + ������������������2 + ������������������������������ − 1) ������ + ������ − √(������ − ������)2 + ������2