平行四边形和三角形的关系
一课几何直观动图 平行四边形、梯形、三角形三者之间的关系 20181212
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20170521 几何直观动态图 三角形 梯形 平行四边形1.gif
20171208 20171208 几何直观动态图 梯形 平行四边形 三角形.gif
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20180524 梯形 三角形 长方形.gif
20180525 gs20180526a 梯形 三角形 平行四边形 长方形 韩科 杰.gif
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向量的三角形法则和平行四边形法则的关系
向量的三角形法则和平行四边形法则的关系
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
平行四边形定理：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
三角形与平行四边形的关系
三角形与平行四边形的关系
三角形和平行四边形之间有一些共同的特性，由于它们都具有直角，所以它们都是多边形。
但它们有一些明显的差别，就是三角形只有三条边，而平行四边形有四条边。
在多边形的重叠的部分，如果有一个三角形，它可以被完全覆盖，但如果有一个平行四边形，则只有一部分可以被完全覆盖。
另外，由于三角形有三条边，所以它可以有三种形状，而平行四边形只有一种形状。
此外，三角形有三个内角，而平行四边形有四个内角。
平行四边形与三角形
平行四边形与三角形作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第04期平行四边形被定义为两组对边分别平行的四边形.由这个定义出发，可以证明平行四边形被其一条对角线分为一对全等三角形，从而得出平行四边形的“对边相等”“对角相等”.由此又可以继续证明平行四边形被其两条对角线分为两对全等三角形，从而得出平行四边形“对角线互相平分”，回顾这样的研究过程可以发现.虽然三角形是最简单的多边形，但是它与平行四边形有密切的联系.认识平行四边形时，借助三角形来思考是非常有效的方法，符合“化繁为简，由简求繁”的认识事物的原则.人民教育出版社一借助三角形研究平行四边形德性质平行四边形除了具有“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”这些基本性质，还有一些其他性质，它们的发现与证明往往也会借助三角形.同学们都知道，平行四边形“对边相等”“对角线互相平分”.但平行四边形的边与对角线在长度上有什么关系吗？“由特殊到一般”是研究问题常用的方式.我们不妨从菱形这种特殊的平行四边形入手来思考，如图1. 在菱形ABCD中，对角线互相垂直平分.根据勾股定理，在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=（AC/2）2+（BD/2）2=AC2+BD2/4，于是4AB2=AC2+BD2.又由菱形各边相等，得4AB2=AB2+BC2+CD2+DA2，于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，菱形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.对于矩形，也可证明它有上述性质，矩形和菱形都有上述性质，那么一般平行四边形很可能也有此性质.上面的思考中借助了直角三角形，对一般平行四边形不妨也照此思考.如图2，作□ABCD的高线DE和CF.根据勾股定理，在Rt△AFC中.AC2=AF2+CF2=（AB+BF）2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF;在Rt△BED中，BD2=BE2+DE2=（AB-AE）2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE.由DE⊥AB，CF⊥AB，AB//DC，得DE=CF（平行线间的距离相等）.又AD=BC（平行四边形对边相等），故有Rt△AED≌Rt△BFC，AE=BF.又AB=DC （平行四边形对边相等），于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.在上面的探究中，勾股定理和全等三角形发挥了重要作用.事物之间的联系是双向的.一方面，利用三角形可以研究平行四边形的性质;另一方面，利用平行四边形的性质也可以解决三角形的问题，请看下例.例1 如图3，点P在□ABCD内，△APD和△APB的面积分别为4和8.求△APC的面积.分析：△APC的面积等于□ABCD的面积之半减△APD和△DPC的面积，如果能利用平行四边形的性质，理清图中各三角形面积之间的数量关系，便可使问题得解.解：记△APD，△APB，△BPC和△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1=4，S2=8.如图4，过点P作□ABCD的高EF，则S2+S4=1/2PE·AB+1/2PF·DC.电AB=DC，得S2+S4=1/2（PE+PF）·AB=1/2EF·AB，此即□ABCD面积之半.于是S1+S3=S2+S4，进而得S3-S4=S2-S1=8-4=4，故53=S4+4.记△APC的面积为s.由对角线将平行四边形分为两个全等三角形，得S1+S4+.S为平行四边形面积之半，即S1+S4+S=S1+S3，进而得S4+S=S3=S4+4，所以S=4.借助三角形来判定平行四边形判定一个四边形是平行四边形，可以依据平行四边形的定义（对边平行），还可以看其是否满足“对边相等”“对角相等”“两条对角线互相平分”“一组对边平行且相等”这些判定条件中的任何一个.这些判定条件的推导过程大都利用了全等三角形（见教科书）.在更复杂的平行四边形判定问题中，为了使用定义或判定条件，往往也要借助三角形创造条件.例2 如图5，点D和点E分别在等边△ABC的边AB和BC上，BD=CE.以AE为一边作等边△AEF.四边形CDFE是平行四边形吗？如果是，给出证明;如果不是，说明其中的理由.分析：要判断四边形CDFE是否为平行四边形，须看它是否满足平行四边形的定义或判定条件.问题中已知两个等边三角形，利用等边三角形各边相等和各内角都等于60°，可以证明图中有全等三角形，进而可以通过对应边或对应角的相等进行判断.解：四边形CDFE是平行四边形，理由如下：连接BF.如图6.由AB=AC，AF=AE，∠FAB=60°-∠BAE=∠EAC.得△AFB≌△AEC.BF=CE.≌FBA=≌ECA =60°.又BD=CE=BF，故△DFB是等边三角形.FD=BD=EC，∠FDB=600=厶DBC，FD//EC.根据FD∥=EC，可知四边形CDFE是平行四边形.从上面的证明可以看出，有些判定平行四边形的问题，不是简单地使用定义或判定条件就能解决的，而往往要构造出有利于分析和解决问题的三角形.相对于一般三角形而言，直角三角形和等腰三角形是特殊的三角形，等腰直角三角形是更特殊的三三角形.相对于一般平行四边形而言，矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形.特殊的三角形与特殊的平行四边形之间有密切的联系，矩形可以看作两个全等的直角三角形将斜边重合而成;菱形可以看作两个全等的等腰三角形将底边重合而成，或看作四个全等的直角三角形将直角边重合而成：正方形可以看作兩个全等的等腰直角三角形将斜边重合而成，或四个全等的等腰直角三角形将直角边重合而成.因此，研究特殊平行四边形时，特殊三角形就成为了常用的工具.例3 试用一张长为2、宽为1的矩形纸条，折出一个面积为1/2的正方形.说明你的做法，并证明其正确.分析：面积为1/2的正方形的边长为√2/2，对角线为1.它可由两个斜边为1的等腰直角三角形，将斜边重合而拼成.以此为思考的切入点，可得如下做法（做法说明和证明略）.可以看出，等腰直角三角形在上例的解答中发挥了不可或缺的作用.利用对角线把平行四边形转化为两个全等的三角形，也为面积的转换提供了方便.请看下例.例4 如图8，四边形EFGH的面积为5.它的顶点分别在正方形ABCD的四条边上，EG=3，FH=4.求正方形ABCD的面积.分析：如果能把已知条件与正方形的边长联系起来，则能使问题得解.解：如图9，分别以点E，F，G，H为一个端点，作与正方形的边平行的线段，这些线段的另一端点落在正方形的边上，根据矩形定义可知，这些线段相交构成大小不等的多个矩形，并使图中又出现了一些三角形，四边形EFCH由Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL，Rt△HEI和矩形IJKL组成，这四个直角三角形和矩形IJKL的面积之和为5.矩形IJKL的面积为IJ·JK.设正方形ABCD的边长为x，由勾股定理得IJ·JK=√42-x2·√32-x2.注意到矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG各自都被对角线分为两个全等的直角三角形，这四个矩形面积之和等于Rt△HEI，Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL面积之和的2倍，由此可知，5x2等于矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG面积之和加上2乘矩形IJKL的面积，此即正方形ABCD的面积加矩形IJKL的面积.列式表示即5x2=X2+√42-x2·√32-x2，于是移项整理得10-X2=√（16-x2）（9-x2）.两边平方，得100-20x2+x4=144-25x2+x4，解得正方形的面积x2=44/5.在此例中，添加辅助线后出现的矩形和三角形，为发现面积中的数量关系创造了条件，综上所述，三角形这个基础图形虽然简单，但它对进一步学习其他复杂的图形非常有用.同学们应注意利用三角形来研究图形问题.。
《三角形三边的关系》三角形平行四边形和梯形
三角形的定义和性质
定义
由不在同一直线上三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
性质
稳定性、内角和为180度、两边之和大于第三边、两边之差 小于第三边等。ຫໍສະໝຸດ 三角形三边的关系定理
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
证明方法
利用三角形的内角和为180度进行证明。
三角形的应用
实际应用
桥梁、房屋、塔吊等建筑中利用三角形稳定性进行支撑和固定。
03
梯形的性质和三边的关系
梯形的定义和性质
定义
梯形是一种四边形，其中一组对边平行 ，另一组对边不平行。
VS
性质
梯形的性质包括具有两组对边，且不平行 的一组对边称为梯形的底边，较短的边称 为上底，较长的边称为下底。梯形也有一 个平行的边，称为梯形的另一个底边。
梯形三边的关系
总结词
梯形三边的关系是上底+下底＞腰长，腰长 +腰长＞上底+下底。
行四边形是菱形。
如果一个平行四边形的两条对角 线互相垂直，那么这个平行四边
形是菱形。
如果一个平行四边形的两条对角 线相等，那么这个平行四边形是
矩形。
平行四边形的应用
平行四边形在几何学中有着重要的应用，如在证明三角形全等、相似以及解决一些几何问题时，常常 需要利用平行四边形的性质和三边的关系。
在实际生活中，平行四边形也常常被应用在建筑设计、室内装修等方面，以实现美观、实用和节省空 间的效果。
详细描述
梯形三边的关系可以通过以下公式表示：上 底+下底＞腰长，腰长+腰长＞上底+下底 。这意味着梯形的上底和下底的长度之和总 是大于其任何一条腰的长度，而两条腰的长 度之和则总是大于上底和下底的长度之和。
苏教版四年级下册数学《三角形三边的关系》三角形平行四边形和梯形说课教学课件
用一根长24厘米的铁丝围 成一个三角形，这个三角 形的最长边长度必须要小 于多少厘米呢？
4+7=11（厘米）
算一算，再填空。
一个三角形的周长是10厘米，三条边的长度均 为整厘米数。其中一边长度为4厘米，其余两 条边的长度可以是（ 2）厘米和（4 ）厘米， 也可以是（ 3 ）厘米和（ 3）厘米。
6
应用“两边之和大于第三边” 则：24÷2=12（厘米） 答：这条最长的边长度必须 要小于12厘米。
三角形有三条边、三个顶点、三个角。 从一个顶点到对边的垂直线段叫做三角形的高， 这条对边叫做三角形的底。
今天我们来研究三角形的边。
任意选三根小棒，能围成一个三角形吗？先围一围， 再与同学交流。
8cm
4cm
5cm
2cm
我围成了 我也围成 三角形。 了三角形。
为什么围不 成三角形呢？
为什么有的围的起来，有的围不起来呢？记录 一下所有你围成的边长情况，分析交流一下吧！
从围成三角形的三根小棒中任意选出两根， 将它们的长度和与第三根比较，结果怎样？
4+5>8 4+8>5 5+8>4
4+2>5 4+5>2 5+2>4
任意两根小棒的 长度和一定大于 第三根小棒。
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三角形、平行四边形和梯形 三角形两边之和大于第三边
同步练习
三角形任意两边长度的和一定大于第三边吗？先画一 个三角形，再量一量、算一算。
【重点】探索并发现三角形任意两边长度的和大于第三边。 【难点】强化对三角形三边关系的理解。
请回在忆书一本下第，1关12于的三方角格形图，中我设们计已一经个获你得喜了欢哪的 图些案认，识再呢简？单在交小代组一里下说你说希，望汇如总何一平下移，，请最组后 交长给汇你报的吧同！桌，互相挑战一下吧！
三角形和平行四边形的性质
三角形和平行四边形的性质一、三角形的基本性质1.三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
2.三角形的边：三角形的三条线段称为三角形的边。
3.三角形的角：三角形内部的角称为三角形的内角，三角形的边与另外一边延长线所形成的角称为三角形的外角。
4.三角形的分类：根据三角形边的长度关系，可分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
5.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。
6.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
二、平行四边形的基本性质1.平行四边形的定义：有两对边分别平行且相等的四边形称为平行四边形。
2.平行四边形的对边：平行四边形的两对边分别称为对边，对边相等且平行。
3.平行四边形的对角：平行四边形的两对角分别称为对角，对角相等。
4.平行四边形的邻角：平行四边形中，相邻的两个角称为邻角，邻角互补，即它们的和为180度。
5.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行且相等。
6.平行四边形的判定：如果一个四边形的两对边分别平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
三、三角形和平行四边形的相互关系1.三角形可以看作是平行四边形的一部分：在平行四边形中，如果一条对角线将平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形是平行四边形的两个部分。
2.平行四边形可以看作是三角形的扩展：在三角形的基础上，如果再添加一条边，将三角形扩展为平行四边形，那么这个平行四边形的对边相等、对角相等。
通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和掌握三角形和平行四边形的性质，并在实际问题中进行运用。
习题及方法：1.习题：判断下列哪个图形是平行四边形。
A. 一个等腰三角形和一个等边三角形拼成的四边形B. 两对对边分别平行且相等的四边形C. 一个正方形和一个等边三角形拼成的四边形D. 两对对边分别相等但不平行的四边形方法：根据平行四边形的定义，判断选项B中的四边形有两对边分别平行且相等，因此选项B是平行四边形。
平行四边形和三角形的面积公式推导过程
平行四边形和三角形的面积公式推导过程大家好，我今天要给大家讲解一下平行四边形和三角形的面积公式推导过程。
我们要知道什么是平行四边形和三角形，然后再来看它们的面积公式是如何推导出来的。
一、平行四边形和三角形的基本概念1.1 平行四边形平行四边形就是一个四边形，其中对边是平行的。
我们可以用字母ABCD来表示一个平行四边形，其中AB和CD是一组平行边，BC和AD是另一组平行边。
1.2 三角形三角形就是一个由三条线段围成的封闭图形。
我们可以用字母A、B、C来表示一个三角形，其中AB和AC是两条边，BC是第三条边。
二、平行四边形的面积公式推导过程2.1 平行四边形的面积公式概述平行四边形的面积可以用两种方法来计算：一种是底乘高，另一种是对角线相乘除以2。
我们先来看第一种方法。
假设平行四边形ABCD的底AB的长度为a,高为h,那么它的面积就是ah。
接下来我们看第二种方法。
2.2 对角线相乘除以2的方法在平行四边形ABCD中，我们可以找到两条对角线AC和BD。
根据勾股定理，我们知道对角线的一半分别是√(a^2+h^2)/2。
那么平行四边形的面积就是对角线相乘除以2,即(√(a^2+h^2)/2) * (√(a^2+h^2)/2) = ah。
三、三角形的面积公式推导过程3.1 三角形的面积公式概述三角形的面积可以用一种方法来计算：底乘高除以2。
我们用字母A、B、C来表示一个三角形，其中AB和AC是两条边，BC是第三条边。
3.2 三角形的面积公式推导过程在三角形ABC中，我们可以选择一条边作为底，然后用这个底乘以它对应的高，再除以2,就可以得到三角形的面积。
我们选择AB作为底，那么它的长度就是a。
假设高为h,那么三角形的面积就是(a * h)/2。
这就是三角形的面积公式。
总结一下，平行四边形和三角形的面积公式都是通过一些基本的概念推导出来的。
希望大家能够通过学习这篇文章，对平行四边形和三角形的面积公式有一个更加深入的理解。
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平行四边形和三角形的底、高、面积之间的关系：1、当平行四边形和三角形等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形的面积是平行四边形面积的一半。
S平= ɑh
S三= ɑh÷2
2、当平行四边和三角形面积相等，底也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍，平行四边形的高是三角形高的一半。
h平= s÷ɑ
h三= 2s÷ɑ
3、当平行四边形和三角形面积相等，高也相等时，三角形的底是平行四边形底的2倍，平行四边形的底是三角形底的一半。
Ɑ平= s÷h
Ɑ三= 2s÷h
(注意：1、抄写时把老师带红色的字用红笔抄
2、理解公式中除以2或乘2从而理解结论中它们之
间的相互的关系。
3、注意中的内容不用抄到课本上。
)。