电路分析中三要素法的应用
一阶暂态电路三要素法和
一阶暂态电路三要素法和一阶暂态电路是指由电阻、电感和电容组成的电路，在初始状态下有一个初始电压或电流，当电路发生突变时，电压或电流会发生暂态响应。
为了研究电路的暂态响应，我们可以使用一阶暂态电路三要素法。
一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法，它通过确定电路的三个要素：时间常数、初始条件和输入信号来推导电路的暂态响应。
时间常数是一阶暂态电路的一个重要参数，它描述了电路响应的速度。
对于由电阻R和电容C组成的一阶电路，时间常数τ可以通过以下公式计算：τ = RC。
时间常数越小，电路的响应速度越快。
初始条件是指在初始状态下电路的电压或电流值。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道电路在初始时间点的电压或电流值，这些值可以通过测量或已知条件来确定。
输入信号是指施加在电路上的信号。
输入信号可以是电压或电流的变化，它会引起电路的响应。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道输入信号的形式和参数，例如输入信号的幅值、频率和相位。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以使用一阶暂态电路三要素法来推导电路的暂态响应。
首先，我们可以根据时间常数来判断电路的响应速度。
如果时间常数很小，电路的响应会很快；如果时间常数很大，电路的响应会比较慢。
我们可以根据初始条件来确定电路的初始状态。
初始条件可以是电路的初始电压或电流值。
通过测量或已知条件，我们可以确定电路在初始时间点的初始条件。
我们可以根据输入信号的形式和参数来计算电路的暂态响应。
根据输入信号的幅值、频率和相位，我们可以计算出电路在不同时间点的电压或电流值。
总结一下，一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以推导出电路的暂态响应。
这种方法可以帮助我们更好地理解和分析一阶暂态电路的行为，对于工程实践中的电路设计和故障排除非常有用。
三要素法求一阶电路
三要素法求一阶电路三要素法是电路理论中研究一阶电路中稳态特性的一种方法。
一阶电路通常由一个电容、一个电感、一个电阻或它们的组合构成。
三要素法是从电容、电感、电阻三个方面入手，分别探讨它们对电路稳态特性的影响。
首先，电容是一种存储电荷的元件。
在交流电路中，电容会对电源产生一个阻抗，导致电路中的电流发生相位差。
同时，电容会缓慢地放电或充电，根据库仑定律，电容两端存储的电荷量与电容两端电势差成正比。
因此，在电压源作用下，电容循环放电和充电，使电路中电流发生周期性变化。
在直流电路中，电容会对电路的总电阻造成一个无穷大的抗阻作用，使得电路中的电流趋于零。
因此，电容可以用来决定电路的频率特性，对于低频信号，电容的作用很小；而在高频信号下，电容的作用更为明显。
其次，电感是一种存储能量的元件。
在交流电路中，电感会对电源产生一个阻抗，导致电路中的电流发生相位差。
同时，电感会缓慢地放电或充电，根据法拉第电磁感应定律，电感两端的电势差与电感中电流变化率成正比。
因此，在电压源作用下，电感循环放电和充电，使电路中电流发生周期性变化。
在直流电路中，电感会对电路的总电阻造成一个抗阻作用，阻碍电流的流动。
因此，电感可以用来限制电路的频率特性，对于高频信号，电感的作用较强，而在低频信号下，电感的作用较小。
最后，电阻是一种电流流过时发生能量损失的元件。
在交流电路中，电阻对电流的相位没有影响。
在直流电路中，电阻对电流的流动起到阻碍作用，其大小可以用来调节电路电流的大小。
因此，电阻可以用来控制电路的参数。
综上所述，三要素法是从电容、电感、电阻三个方面入手，分析它们对电路稳态特性的影响。
只要掌握了电容、电感和电阻的基本特性，就可以有效地运用三要素法求解一阶电路的特性，在电路设计、分析和调试上得到有效地应用。
电路分析中三要素法的应用
用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一 阶电路响应的一般步骤是:
1. 初始值f (0+)的计算 (1) 根据t<0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-) 或电感电流iL(0-)。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即
uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-) 确定电容电压或电感电流初始值。
其中 RoC 或 L / Ro
图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
例8-7 图8-21(a)所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。
图8-21
图8-22
解：1. 计算初始值uC(0+)
开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，
程
df (t) dt
f
(t)
A
(t 0)
(8 24)
f (0 )
其通解为
t
f (t) fh (t) fp (t) Ke A
如果>0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，
则有
fp(t) A f ()
因而得到
t
f (t ) Ke τ f ()
由初始条件f (0+)，可以求得
(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用 数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替 代电感后所得到的电阻电路中计算出来。
2. 稳态值f ()的计算
根据t>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替， 得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。
3. 时间常数 的计算
§8－4 三要素法
一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路的三要素法一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。
三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。
在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。
在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。
2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。
3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。
4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：\[V_L-V_s=0\]其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。
接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，\(dt\)是时间微分。
将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。
最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。
阶线性电路暂态分析的三要素法
在计算时间响应时，需要注意叠加原理的应用条件，即输入信号必须 是线性的。
三要素法的实例分析
04
一阶电路的实例
初始条件
电容初始电压为V0，初始电流 为0。
三要素
初始值、稳态值和时间常数。
电路
一个简单的RC电路，由一个电 阻和一个电容组成。
时间常数
时间常数T=RC。
分析
在t=0时，电容开始充电，电 流和电压随时间变化，最终达 到稳态值。
01
初始值是指电路在换路瞬间各 变量的值，可以通过对电路进 行初始状态分析得到。
02
对于一阶电路，初始值可以通 过求解电路的微分方程得到， 对于多阶电路，需要分别对每 个独立的一阶电路进行分析。
03
在计算初始值时，需要注意换 路瞬间电容电压和电感电流不 能突变。
时间常数的计算
1
时间常数是决定电路暂态过程持续时间的重要参 数，其大小与电路的元件参数和结构有关。
THANKS.
三要素法的改进方向
06
理论改进
完善数学模型
01
针对阶线性电路暂态分析的三要素法，进一步完善数学模型，
提高模型的精度和稳定性。
引入新理论
02
将现代控制理论、非线性理论等引入阶线性电路暂态分析中，
以更全面地描述电路的动态行为。
深入研究电路特性
03
深入研究和理解阶线性电路的特性，包括电路元件的动态响应、
二阶电路的实例
电路
一个简单的RLC串联电路，由一个电 阻、一个电感和一个电容组成。
01
02
初始条件
电容初始电压为V0，电感初始电流为 I0。
03
时间常数
时间常数T=sqrt(L/R)。
三要素法求电路全响应
三要素法求电路全响应电路的全响应是指电路在初始状态和外部激励作用下的完整动态响应。
为了得到电路的全响应，我们可以使用三要素法进行分析和计算。
三要素法是一种基于电路元件特性和初始条件的计算方法，通过分析电路的零输入响应、零状态响应和强迫响应来求得电路的全响应。
我们来了解一下三要素法的基本概念。
三要素法将电路的全响应分为三个部分：零输入响应、零状态响应和强迫响应。
零输入响应是指在没有外部激励的情况下，电路元件本身的特性所引起的响应。
在零输入响应中，电路元件的初始状态起到了关键作用。
例如，一个电容器在初始时刻具有一定的电荷量，当没有外部激励时，电容器会通过内部电路元件自行放电或充电，产生一种独特的响应。
零状态响应是指在没有初始电荷或初始电流的情况下，电路在外部激励作用下产生的响应。
在零状态响应中，电路的初始状态不起作用，电路的响应完全由外部激励决定。
例如，一个电容器在初始时刻没有电荷，当外部电压施加在电容器上时，电容器会根据电压变化情况产生相应的电流响应。
强迫响应是指在有外部激励作用下，电路元件和初始条件共同引起的响应。
在强迫响应中，电路的初始状态和外部激励都对电路的响应产生影响。
例如，一个电路中同时存在电容器的初始电荷和外部电压，当外部电压变化时，电容器的初始电荷和电容器本身的特性都会对电路的响应产生影响。
根据三要素法，电路的全响应可以表示为零输入响应、零状态响应和强迫响应的叠加。
通过分别计算这三个部分的响应，然后将它们相加，我们可以得到电路的全响应。
在实际计算中，我们可以利用电路的传递函数来求得不同部分的响应。
传递函数是电路输入和输出之间的转移函数，它描述了电路对输入信号的响应特性。
通过对传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数表达式。
利用传递函数，我们可以将输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换相乘，然后进行反变换，得到相应的时间域响应。
在计算电路的全响应时，我们需要注意一些细节。
电工基础课件 三要素法
电工基础课件三要素法
三要素法是电学中描述电路中电压、电流和电阻之间关系的方法，即欧姆定律。
欧姆定律：在恒温下，电流在电路中的流动所产生的电阻与电流强度成正比，与电路两端的电压差成反比。
即 U=IR，式中 U 为电压（伏特），I 为电流强度（安培），R 为电阻（欧姆）。
三要素法就是根据欧姆定律，将电路中的电压、电流和电阻三个量进行分析和计算。
电压、电流和电阻是电学中最基本的概念，而三要素法则将这些概念进行了统一、系统化的描述和应用。
例如，在一个电路中，我们能够测量到电压和电流两个物理量，那么根据欧姆定律，我们就可以计算出电阻了。
三要素法就是根据这样的原理，通过使用欧姆定律计算电路中电压、电流和电阻三个物理量之间的关系，进行电路的分析和设计。
在进行电路分析时，我们可以根据三要素法将电路中的所有元件视为一个整体，并将电路中的电阻进行分类和拆分，然后利用欧姆定律计算出电路中每一个元件的电压、电流和电阻，最终针对整个电路进行计算和分析。
对电路分析学习来说十分重要。
第11讲：三要素法
R2US R1+R2 US R1+R2
t
0
返回
脉冲信号的激励：分段分析法：
ui
Um
0
ui
Um
tW
t
i + uC + C ui
+ R u0
0
uo
tW
uC
t 注意时 间坐标
当 0 < t < tW 时： C充电 u C ( t ) = US (1-e-t /） 当 t
+
US -
uC 求：开关闭合后uc、 uR1 、 i1 - 的变化规律。
uR1 i2 R1 R2
、 i2
运用三要素法求解 1 解： .求初始值 uC(0+)=uC(0-)= 0 V
+
f (0+)
+
i1
US
R1 i1(0 +) = 0 A ,
i2(0 +) =
US
-
uR1 (0 +) = US
t =0+
一阶RC电路暂态过程微分方程的全解为:
uＣ( t ) = uＣ' + uＣ" = uＣ(∞ ) +Ae-t / = UＳ+ Ae-t /
返回
uＣ( t ) = uＣ(∞ ) +[uC(0+)- uＣ(∞ ) ] e-t /
2. 三要素法
一般表达式
f(t) = f(∞)+[f(0+) – f(∞)]e-t/
电路换路后的方程：
i
C
+
u – C
Ri＋ uＣ ＝0 duＣ RC + uＣ= 0 dt 方程解的形式：
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(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用
数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替 代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值f ()的计算 根据t>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替， 得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。 3. 时间常数 的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电 阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数。
例8-9 图8-23(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开 关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。
试求电感电流iL(t)，并画波形图。
图8-23
解：1. 在0t0.1s时间范围内响应的计算
S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为
零状态响应。可以用三要素法求解
U S 10V iL ( ) A 0.5A R2 20
L 2H 1 0.1s R2 20
iL (t ) 0.5(1 e
10t
)A
(0.1s t 0)
2. 在t0.1s时间范围内响应的计算
仍然用三要素法，先求 t=0.1s时刻的初始值。
107 t
Байду номын сангаасmA
mA
( t 0)
二、包含开关序列的直流一阶电路
本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换 的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一 阶电路，可以用三要素法来计算。 对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序， 从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响 应。
称为三要素法。
用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一 阶电路响应的一般步骤是:
1. 初始值f (0+)的计算
(1) 根据t<0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-) 或电感电流iL(0-)。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即
uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)
3. 计算时间常数
与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数 为
20(10 10) Ro k 10k 20 10 10
103 7 s 1 10 s 3 10 10
4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。
将 iL(0+)=10mA,iL()=0 和 =110-7s 代入式 (8 － 25 ）得
上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方
程
df ( t ) f ( t ) A ( t 0) (8 24) dt f (0 )
其通解为
f ( t ) f h ( t ) f p ( t ) Ke
则有
t
A
如果>0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，
图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
图8-22
由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、
f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能 够确定全响应，也就是说，根据式(8-25）可以写出响应的 表达式以及画出图 8-20那样的全响应曲线，而不必建立和 求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法
a
b 3.计算时间常数
图8-21
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是
三个电阻的并联
1 Ro 1 1 1 1 4 4 2
时间常数为
τ RoC 1 0.1F 0.1s
f ( t ) [ f (0 ) f ( )]e
响应的一般表达式
t
20mA iL ( 0 ) 10mA 2
开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即
iL (0 ) iL (0 ) 10mA
2. 计算电感电流的稳态值iL() 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释 放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零， 即
iL () 0
iL ( t ) iL (0.1 )e
t 0.1 2
0.316 e15( t 0.1s ) A
( t 0.1s )
图8-23
iL (t ) 0.5(1 e
iL ( t ) iL (0.1 )e
10t
)A
(0.1s t 0)
( t 0.1s )
t 0.1 2
0.316e 15( t 0.1s ) A
电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从 零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值 0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到 零。
三、分段恒定信号激励的一阶电路
通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电 路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电 源。例如图(a)所示包含开关的电路，其输出电压u(t)等效 于图(b)所示的一个时变电压源，其电压波形如图8－24(c) 所示。假如t=t0时刻开关再由2端转换到1端，使其输出电压 为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时 变电压源。
4. 将f (0+)，f ()和 代入下式得到响应的一般表达式
和画出图8－20那样的波形曲线。
t
f ( t ) [ f (0 ) f ( )]e 其中
f ( ) ( t 0) (8 25)
RoC
或 L / Ro
图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
例8-8 图8-22示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0
时开关S由1端接至2端，求t>0时的电感电流iL(t)，电
阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。
图8-22
解：用三要素法计算电感电流。 1. 计算电感电流的初始值iL(0+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为
例8-10 电路如图8-26(a)所示，独立电流源的波形如图(b) 所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。
图8-26
解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求 电感电流的响应。 1. t0 , iS(t)=0，由此得到
iL ( t ) 0
t0
2. 0t1ms , iS(t)=10mA (1) 计算初始值iL(0+)
( t 0)
uC (t ) [7 1e 10t ]V
也可以用叠加定理分别计算 2A电流源， 10V电压源和
电容电压uC(t)单独作用引起响应之和
10V uC ( t ) i(t ) i (t ) i (t ) i (t ) 0 2 2 (5 3.5 0.5e 10t )A
(b)RL一阶电路
图(a)电路的微分方程和初始条件为
duC ( t ) R C uC ( t ) U oc ( t 0) (8 22) o dt uC (0 ) U 0
图(b)电路的微分方程和初始条件为
di L ( t ) iL ( t ) I sc Go L dt iL ( 0 ) I 0 ( t 0) (8 23)
到电感电流的表达式
iL (t ) [(10 10 0)e
3
107 t
0]A 10e
107 t
mA
(t 0)
然后根据KCL，KVL和VCR求出其它电压电流
di L 3 3 7 107 t uL ( t ) L 10 10 10 10 e V dt 100e
图8－24 利用开关的转换产生分段恒定信号
例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的 RC串联电路，用三要素法容易画出iC(t)、uC(t)的波形，如 图(c)和(d)所示。注意到电容电压的波形是连续的，而电容 电流波形在t=0时是不连续的。
图8-25 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应
' " '''
(1.5 0.5e
10t
)A
( t 0)
uC (0 ) 8V
电阻电流i(t)还可以利 用三要素法直接求得
10V uC (0 ) 10 8 i (0 ) A 1A 2 2 10V uC ( ) 10 7 i ( ) A 1.5A 2 2
iL (0.1 ) iL (0.1 ) 0.5(1 e
100.1
)A 0.316A
此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。
在此时间范围内电路的时间常数为
L 2 R1 R2 2 2 s s 0.0667s 10 20 30
根据三要素公式（8－25）得到
f ( )
4. 将uC(0+)=8V, uC()=7V和=0.1s代入式(8－25)得到
uC ( t ) [( 8 7)e 10t 7]V [7 1e 10t ]V
( t 0)
求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得
10V uc ( t ) 10 (7 1e 10t ) i(t ) A (1.5 0.5e 10t )A 2 2
§8－4 三要素法
本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的 一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要 素法。
一、三要素法
仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元 件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后， 可以得到图8-19(a)和(b)所示的等效电路。