正弦定理教学设计

正弦定理教学设计 Prepared on 24 November 2020
《正弦定理》教学设计
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤
（1）已知两角和一边，解三角形；
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析
本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。

高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标：
1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。

会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

四、教学重点与难点：
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：
①正弦定理的证明；
②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯
一。

五、学法与教法
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
sin sin sin a b c
A B C
==， 接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。

六、教学过程
创设问题情境：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出两点间A 、C 的距离55m ，∠ACB=600，∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。

ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度，求AB 距离.
新知探究
1.提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢
2.解决问题：
回忆直角三角形中的边角关系： 根据正弦函数的定义有：
sin ,sin a b
A B c c
==，sinC=1。

C
B
A c
b
经过学生思考、交流、讨论得出：
sin sin sin a b c A B C
==
，
问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗
（引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。

）
①当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。

由此，得 sin sin a
b
A
B =
，
同理可得 sin sin c
b
C
B
=
， 故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
②当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，
sin CD b A = 。

由此，得 =∠sin sin a
b
A
ABC ，
同理可得 =
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由①②可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
这就是我们今天要研究的—— 正弦定理
a
b
D
A
B
C
A
B C D
b
a
思考：你还有其它方法证明正弦定理吗（由学生讨论、分析）
证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1
==
两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C
c
sin
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD D
a A
a 2sin sin ===
同理 B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R
证明三：（向量法）
过A 作单位向量j 垂直于AC 由 AC +CB =AB
两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j •AB
∴|j ||AC |cos90+|j ||CB |cos(90C)=|j ||AB |cos(90A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得： C c sin =B
b
sin ∴
A a sin =
B b sin =C
c
sin 。

正弦定理：
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变形：::sin :sin :sin a b c A B C =。

接着给出解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．
a b
c
O
C
A
D
问题2：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的几个元素
问题 3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢 （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

3. 应用定理：
例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题. 题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法
例2.（1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆．
（2） 在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆．
解：（1）∵
21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ， C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
（0030150C C ∴==或，而00210180C B +=>）
（2）2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0
=⨯==∴=a A c C C c A
a
1360
sin 75sin 6sin sin ,75600
00
+==
===∴C
B
c b B C 时，当， 变式训练：
根据已知条件,求解三角形
七、课堂小结：（学生发言，互相补充，老师评价.） 1．用三种方法证明了正弦定理： （1）转化为直角三角形中的边角关系； （2）利用向量的数量积． （3）外接圆法
2．理论上正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
八、布置作业：
1.思考：已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种试从
理论上说明.
九、教学反思：
本设计通过解斜三角形的一个实际问题引导学生发现三角形的边角关系，将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，思路自然，学生乐于接受。

通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理，进而探究在任意三角形中是否还成立将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的知识经验出发，探索得出新结论，体验了成功的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案．这样做，可以锻炼学生的语言表达能力，这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用．本节课采用探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供表达、质疑、探究问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

一点感悟：新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！。