粘性流体力学基本方程组

x
＝
微元体内的 质量变化量
y
微元体及其表面的质量通量
a)连续性方程
故 dt 时段内在 x 方向流入与流出六面体的液体质量差为：

u x dxdydzdt x
同理可得出 dt 时段内在 y, z方向流入与流出六面体的液体质量 差分别为：

u y y
dxdydzdt ,
u z dxdydzdt z
d ux uy uz dt t x y z
d p p p p p ux uy uz d t t x y z
c)梯度


标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向， 梯度的长度是这个最大的变化率 梯度的运算对象是标量，运算结果是矢量 考虑一座高度在（x,y）点是H（x,y）的山。在一点 的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯 度的大小告诉我们坡度到底有多陡。 这座山的每一个点上都算出一个梯度向量,这个向量会 指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这 个最陡的方向到底有多陡
流体的加速度
因此该液体质点通过A点时的加速度应为
u x u d x x d t ) ux x t ax dt u d x u x u x u x ux x x d t t t x (u x
u x 被称为时变（或当地）加速度，代表某定点流速随时间的 t u x u 变化率； x x 被称为位变（或位移）加速度，代表同一时刻流
对静止液体， ux u y uz 0 ，故有：
fx
1 p 1 p 1 p 0, f y 0, f z 0 x y z
即为静止液体的欧拉平衡微分方程。 若 f x 0, f y 0, f z g
p p p 0 , 0 , g 则 x y z
则 p gh 从流体运动微分方程推倒出静水压强公式
改写理想液体的运动微分方程，有：
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u u u 1 p u y fy ux y u y y uz y y t x y z 1 p u z u u u fz ux z u y z uz z z t x y z fx
(p p dx )dydz x 2
各坐标轴方向的单位质量力以 fx, fy, fz 计，则作用于六面体上 的质量力在 x 方向的分力为 f x dxdydz 。 根据牛顿第二定律，所有作用于六面体上的力在 x 方向的分力 的代数和等于六面体的质量与加速度在 x 方向投影之积，即： du x p dx p dx f x dxdydz p d y d z p d y d z d x d y d z x 2 x 2 dt 1 p du x 化简，有： f x x dt 1 p du z 1 p du y f ，z 同理可得： f y z dt y dt 此即理想液体的运动微分方程——欧拉方程，其既适用于可压 缩流体，也适用于不可压缩流体，既适用于恒定流，也适用于 非恒定流。
直角坐标系中：
divF F
Fx Fy Fz F x y z
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2）流体力学基本方程组
直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz
vx dydz
dx
vx dx dydz vx x
连续性方程的物理意义与适用范围 u x u y u z 0
t x y z u x u x u y u y u z u z 0 t x x y y z z u x u y u z t u x x u y y u z z x y z 0
y
上、下面在 x 方向的表面力为：
zx dz )dxdy z z 质量力在 x 方向的分力为： f x dxdydz zx dxdy, ( zx
根据牛顿第二定律，在 x 方向有：
f x dxdydz p xxdydz pxx
p xx dx dydz yxdxdz x
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体 积之差等于零，即液体体积守恒。
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
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b)理想流体的运动方程
在理想液体中任取一微分平行六面体，边长分别为dx, dy, dz。 其形心点 A 的动水压强为 p，速度为ux, uy, uz。作用于六面体的 力有表面力与质量力，表面力只有动水压力。 作用在左边表面的总动 水压力为： p dx (p )dydz x 2 作用在右边表面的总动 水压力为：
c.散度的计算：
divF lim

S
F ds V
V 0
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封 闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
矢量场 F 表示为：
x
y

S 9
F ds
S1
F Fx i Fy j Fz k F ds1 F ds2 F ds3
在时刻 t ，A 点流速为 u x ， u A点的流速为u x x d x。 x
u x u d t ，而 A点的流速则变 在时刻 t + dt ，A点的流速变为 x t 为： (u x u x u u u d x) (u x x d x) d t u x x d x x d t x t x x t
粘性流体力学基本方程组

一、从牛顿第二定理出发，推导粘性流体力学动量方 程 二、引入本构方程的必要性 三、本构方程的推导 四、粘性流体力学基本方程组(N-S方程)
1）矢量场的几个概念

随体导数 梯度、散度
a)流体的加速度
在时刻 t，某一液体质点通 过渐变段上的 A 点，经过 时间 dt 该液体质点运动到 新的位置 A。
S2 S3

S4
F ds4 F ds5 F ds6
S5 S6
散度的物理意义

考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域 ),在这个点上,矢量场的发散程度 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的；如果是负 的,代表这些向量场是往内集中的. 运算的对像是矢量,运算出来的结果是标量 流体力学中，速度场散度指流体运动时单位体积的改 变率
因此在 dt 时段内流进与流出六面体液体质量的总变化为：
u x u y u z dxdydzdt y z x
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连续性方程
经过 dt 时段六面体内因密度变化所引起的质量总变化为：
(
dt )d xdydz dxdydz dxdydzdt t t
上述方程中有未知量4个，分别为：p, ux, uy, uz。运动微分方程 与连续性微分方程联立，可以构成封闭系统。
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c)粘性流体运动方程
粘性流体应力状态
粘性流体应力状态
表面力 pz 可分解为沿作用面内法线方 向的正应力 pzz 和与作用面成切向的两 个切应力 zx , zy 。 正应力以 p 记，而切应力以 记。切 应力的第一个脚号表示切应力所作用 的方向与该脚号代表的坐标轴垂直； 第二个脚号表示切应力作用方向与该 脚号代表的坐标轴平行。
速随位置的变化率。
可见，液体质点在空间某定点上的加速度是时变加速度与位变 加速度之和。
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流体的加速度
d uy d ux d uz a , a , a 根据加速度的定义， x y z dt dt dt
利用连续复合函数的微分法则，有： ux (t , x, y, z)
ax d u x u x u x d x u x d y u x d z dt t x d t y d t z d t u u u u x ux x u y x uz x t x y z d u y u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z
1 d divv 0 dt
定流或非恒定流；理想液体或实际液体；可压或不可压流
对不可压缩液体， 常数，因此连续性微分方程简化为：
u x u y u z 0 x y z
或写作div u=0，式中div u叫速度散量，为标量。
grad i j k x y z
在直角坐标系中：
grad
直角坐标系中：
d)散度
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
divF F
Fx Fy Fz F x y z
z
S3
S2
b.表达式：
yx zx du x d y d x d z d x d y d z d x d y d x d y d z zx zx yx y z dt 1 pxx 1 yx zx du x 整理后，有： f x x y z dt
p xx
p yy
p zz
p xx
p yy
p zz
y
从分析微分六面体在 x 轴方向的受力情况入手： 左、右面在 x 方向的表面力为：
p xx dx)dydz x 前、后面在 x 方向的表面力为： yx yxdxdz, ( yx dy)dxdz y p xxdydz, ( p xx