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高二直线和圆的方程

单元测试卷

班级： 姓名：

一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线 l 经过 A （2， 1）、B （ 1，m 2） (m ∈ R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取

值范围是

A ． [0, )

B ． [ 0, ] [

3 C ． [0, ]

, )

4

4

4

D ． [0, ]

(

, ) 4

2

2. 如果直线 (2a+5) x+( a － 2)y+4=0 与直线 (2－ a)x+(a+3)y － 1=0 互相垂直，则 a 的值等于 A ． 2 B ．－ 2

C ． 2,－ 2

D ．2,0,－ 2 3.已知圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2，点 P （ a ，b ）（ ab ≠ 0）是圆 O 内一点，以

P

为中点的弦所在的直线为 m ，直线 n 的方程为 ax ＋by ＝ r 2

，则

A ．m ∥n ，且 n 与圆 O 相交

B ． m ∥ n ，且 n 与圆 O 相 离

C ． m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离

D ．m ⊥ n ，且 n 与圆 O 相离

4. 若直线 ax

2by 2 0( a,b 0) 始终平分圆 x 2

y 2 4x 2 y

8 0 的

周长，则

1

2

a b

的最小值为

A ．1

B ． 5 C

．

4 2

D ． 3 2

2

5. M (x 0 , y 0 ) 为 圆 x 2 y 2

a 2 ( a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线

x 0 x y 0 y a 2 与该圆的位置关系为

A ．相切 B

．相交

C

．相离 D ．相切或

相交

6. 已知两点 M （ 2，－ 3）， N （－ 3，－ 2），直线 L 过点 P （ 1， 1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是

A ．

3

≤k ≤ 4

B ． k ≥ 3

或 k ≤－ 4

C ． 3

≤ k ≤ 4

D ．－

3

4

4

4

4≤ k ≤

4

5) 2 1)2

7. 过直线 y x 上的一点作圆 (x ( y 2 的两条切线 l 1， l 2 ，当直 线 l 1， l 2 关于 y

x 对称时，它们之间的夹角为

A ． 30o

B ． 45o

C ． 60o

D ． 90o

x y 1 0

1

x 、y

y

1 0

，那么 x

y

8

满足条件

4

(

)

的最大值为

．如果实数

2

x

y 1 0

A ． 2

B

． 1

C

．

1

D

．

1

9 (0, a),

1

x 2 y

2

2

4

其斜率为 ，且与圆

2

相切，则 a 的值为

．设直线过点

Ａ．

4

Ｂ． 2 2

Ｃ．

2

Ｄ．

2

10．如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，

l 1 与 l 2 间的距离是 1，

l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、l 2 、l 3 上，则⊿ ABC

的边长是

A. 2

3 4 6

3 17

2 21

B.

3 C.

4

D.

3

一、

选择题答案

1

2

3 4

5 6

7

8

9

10

二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上．

11．已知直线 l 1 : x y sin 1 0 ， l 2 : 2x sin

y 1 0 ，若 l 1 // l 2 ，则

．

12．有下列命题：

①若两条直线平行，则其斜率必相等；

②若两条直线的斜率乘积为－ 1, 则其必互相垂直；

③过点（－ 1，1），且斜率为 2 的直线方程是

y 1 2 ；

x

1

④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行 ;

⑤若直线的倾斜角为 ，则 0 .

其中为真命题的有 _____________( 填写序号 ).

13．直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相交于两点 M 、 N ，若满足 C 2＝ A 2＋ uuuur

uuur

B 2，则 OM · ON （ O 为坐标原点）等于 _ .

14．已知函数 f ( x) x 2

2x 3 ，集合 Mx, y f ( x) f ( y) 0 ， 集 合 N x, y f ( x) f ( y) 0 ， 则 集 合 M

N 的 面 积

是

；

15．集合P ( x, y) | x y 5 0，x N*，y N*｝，Q ( x, y) | 2x y m 0 ，

M x, y) | z x y ， ( x, y) ( P Q)，若z 取最大值时，

M(3,1) ，则实数m的取值范围是；

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤．

16．（本小题满分12 分）

已知ABC 的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x 10 y 59 0， B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．

17．（本小题满分12 分）

某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元， 2 千元。甲、乙产品都需要在A， B 两种设备上加工，在每台A，B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 时、2 时，加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、 1 时， A， B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 和 500。如何安排生产可使月收入最大？18．（本小题满分12 分）

设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数 f x x22x b x R 的图

象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数 b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆 C 的方程；

（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．

19．（本小题满分 12 分）

M (2，0) ，AB

如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点

边所在直线的方程为x 3 y 6 0 ,点 T ( 11)，在AD

边所在直线上．y

（ I）求AD边所在直线的方程；

（ II ）求矩形ABCD外接圆的方程；

C

（ III ）若动圆P过点N ( 2，0)，且与矩形ABCD的

T

外接圆外切，求动圆 P 的圆心的方程．M

D

N O B

x

A

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20．（本小题满分 13 分）

设等差数列 {a n } 的首项为 a(a ≠0)，公差为 2a ，前 n 项和为 S n .记 A={( x ，y)| x=n ， y=

S n

， n ∈ N * } ， B={( x ， y) | (x- 2)2 +y 2=1 ，x 、 y ∈ R}.

n

(1) 若 A ∩B ≠φ，求 a 的取值集合；

(2) 设点 P ∈ A ，点 Q ∈ B ，当 a= 3 时，求 |PQ|的最小值 .

21．（本小题满分 14 分）

已知 a, b 都是正数，△ ABC 在平面直角坐标系

xOy 内, 以两点 A ( a ,0 )

和 B (0,b ) 为顶点的正三角形，且它的第三个顶点 C 在第一象限内 .

（ 1）若△ ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 x 1, 0 y 1} 内， 试求 变量 a,b 的约束条件，并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的 平面区域；

（ 2）当 ( a, b) 在（ 1）所得的约束条件内移动时，求△ ABC 面积 S 的最

大值，并求此时 (a, b) 的值 .

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荆门市龙泉中学高二 直线和圆的方程 单元测试卷 参考答案

一、 ： 1．D 2． C 3．B 4．D

5． C 6．B 7．C 8． A 9．C 10．D

二、填空 :

11． k

(k Z )

．解：

sin

0 不合 意；

4

sin

0 由 1

2sin

sin

2

1 sin

2

k

，

sin

2

2

4

1

1．

sin

12．②

13．－ 2

14. 4 解：集合 M 即 ：( x 1)

2

( y

1)

2

8 ，集合 N 即 ： (x y 2)( x y) 0

，

其面 等于半 面 。

15.

7 m 5

解：如

P Q 所表示区域 阴影部分的所有整点 (横坐 ，

坐 均 整数 ) ， 于直 t ： z

x y

，即 x

y

1 ， z 即

y

直 t 的 截距的相反数，当直

z

z

t 位于阴影部分

最右端的整点 ， 截距最小，

z 最大，当 x 3 ， 5

y 1 z 取最大 ， (3,1)

q ， 2 3 1 m 0

∴ m 5 ， 又 （ 4 ， 1）

P

，

但 (4 ， 1) q ， 即 8 1 m 0

O

∴ m 7 即

7 m 5

三、解答 ：

t

16.

B(4 y 1

10, y 1 ) ，由 AB 中点在 6x 10 y 59

0上， t

q

4 y 1 7

y 1 1

59 0 ， y 1 = 5 ，所以 B(10,5) ．

可得： 6

2

10

2

A 点关于 x 4y 10 0 的 称点 A '(x ', y ') ，

有

x

3 4 y

4

10 0

.

故 BC : 2x 9 y 65 0 ．

2 2

y 1 1

A (1,7)

1

x 3 4

17 ． 解： 甲、乙两种 品的 量分

x ， y

件， 束条件是

y

x 2 y 400

因 半 a

2 ，半焦距 c 2 ．所以虚半 b

c 2 a 2

2 ．

2 2

从而 P 的 心的 迹方程

x

y

2)

．

2

1(x ≤

2

20. 解 : (1)由已知得 S n =na+

n(n

1) ·2a=an

2

，

S n

=an.

?? 2 分

2

n

∴ A={(x ，y)|y=ax ， x ∈N *}.(a ≠0)

?? 3 分 由 B={(x ， y)|(x- 2)２

+y 2 =1， x ， y ∈R} 知 |x- 2|≤ 1 ∴ 1≤x ≤3.

由 A ∩B ≠φ ，知集合 B 中 x 只能取 1，2，3，又 y ≠ 0，∴ x=2.

?? 5 分

此 y=±1，由 y=ax 可求得 a=±

1

. 故 a 的取 集合 {

1 ， - 1 }.

?? 7 分

2

2 2

(2) 由(1)知点 P 可 (n ，

3 n)， (x- 2)2+y 2=1 的 心 M(2 ，0) ，半径 r=1.先求 |PM|最

2

2

2 2

1 2

?? 11 分

小

. |PM|

=(n - 2) +3n =4n - 4n+4=4(n -

2

) +3.

又 n ∈N *

，∴ |PM|最小 2 (n=1).

故 |PQ|min =|PM|min - r=2- 1=1.

?? 13

分

z=x —y

21.解 : （ 1）由 意知： 点 C 是分 以 A 、 B 心，以 |AB| 半径的两 在第一

象限的交点，由

A: ( x –a)2 + y 2 = a 2

+ b 2 , B: x 2 + ( y –b )2 = a 2 + b 2 .

解得 x

a

3b , y

3a b ，∴ C （

a

3b ， 3a b ）

2

2

2

2

5

p △

x

ABC 含于正方形 D 内，即三 点 A ，B ，C 含于区域 D 内 ，

0 a 1,

∴

0 b 1,

就是 ( a , b ) 的 束条件 . 其 形 右

a 3b

1,

2

3a b 1.

2

的六 形，

∵a > 0 , b > 0 , ∴ 中坐 上的点除外．

（ 2）∵△ ABC 是 a 2

b 2 的正三角形 ,

∴ S =

3

( a 2

+ b 2

)在（ 1）的条件下 , 当 S 取最大 等价于六 形 形中的点

( a, b )

4

到原点的距离最大 ,

由六 形中 P 、Q 、R 相 的 OP 、 OQ 、 OR 的 算 .

2x y 500 500

OP 2 = OR 2 = 12 + ( 2 – 3 )2 = 8 –4 3 ，OQ 2 = 2( 3 –1)2 = 8 –4 3 .

x 0, y 0,

∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 – 3 ), 或( 3 –1, 3 –1),

或( 2 – 3 , 1 )

f

3x 2 y ，要求出适当的 x ，y ，使 f

3x 2 y

目 函数是

200

, S max =2 3 –3.

取得最大 。

（ 200，100）

作出可行域，如 。 3x

2y

a,a 是参数，

O

x

3 x

a ，

将它 形 y

250

400

3 2 2

是斜率

，随 a 化的一族直 。

2

a

最大 ，

当直 与可行域相交且截距

2

x

200

f 取得最大 。由

x 2 y 400 得

目 函数

y

，

2x y 500 100

因此，甲、乙两种 品的每月 品分 200， 100 件 ，可得最大收入

800 千元。

18.解： （Ⅰ）令 x ＝ 0，得抛物 与 y 交点是（ 0， b ）；

令

f

x

x 2 2x b 0 ，由 意 b ≠ 0

且 ＞ 0，解得 b ＜ 1 且 b ≠0．

（Ⅱ） 所求 的一般方程

x 2 y 2 Dx Ey F

令 y ＝ 0 得

x 2

Dx F

0 与 x 2

2 x b ＝ 0 是同一个方程，故 D ＝2，F ＝ b ．

令 x ＝0 得 y

2

Ey ＝ 0，此方程有一个根

b ，代入得出 E ＝― b ―1．

所以 C 的方程 x

2

y 2 2x (b 1)y b 0 .

（Ⅲ） C 必 定点（

0，1）和（－ 2，1）．

明如下：将（ 0，1）代入 C 的方程，得左 ＝ 0

2

＋1 2

＋2× 0－（ b ＋1）＋ b ＝0，右

＝ 0，

所以 C 必 定点（ 0， 1）．

同理可 C 必 定点（－

2， 1）．

19. 解 :（ I ）因 AB 所在直 的方程 x

3y 6 0 ，且 AD 与 AB 垂直，

所以直 AD 的斜率

3 ．又因 点 T ( 11)， 在直 AD 上，

所以 AD 所在直 的方程 y

1 3(x 1) ． 3x y

2 0 ．

x 3 y 6

，

（ II ）由

解得点 A 的坐 (0， 2)

，

3x y 2 = 0

因 矩形 ABCD 两条 角 的交点 M (2，0)

．

所以

M

矩形

ABCD

外接 的 心．

又

AM

(2 0)

2

(0 2)

2

2 2

．

从而矩形 ABCD 外接 的方程 ( x 2)2 y 2 8 ．

（ III ）因 P 点 N ，所以 PN

是 的半径，又因

P 与 M 外切，

所以 PM

PN 2 2 ，即 PM PN

2 2 ．

故点 P 的 迹是以 M ，N 焦点，

2 2 的双曲 的左支．

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