构造方程解方程
构造法-构造方程法
构造法之构造方程法构造方程主要依据两类条件：21212:4,、题设中有形式、题设中有韦达定理：形式主要依据、题设中条件：共性构建相同结构的方程形式、的求最值作用b ac x x u x x v C D ⎧A ∆=-⎪B +==⎪⎨⎪⎪∆⎩A 类、△形式例1、柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()2222221212n n a a a b b b ≤++++++()n i R b a i i 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nnn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211221212440nnn n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212nna a ab b b ===时等号成立例2、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 求证：x 、y 、z 成等差数列。
分析：注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t 2+(z-x)t+(y-z)=0 ( * ) 由题可知⊿ =(z-x)2-4(x-y)(y-z )=0 ∴方程（*）有两个相等实根 又∵(x-y)+(z-x)+(y-z )=0∴t =1为方程（*）的一个根，从而t 1=t 2=1 由韦达定理得：t 1·t 2=x yy z-- 从而2y=x+z ，命题得证。
构造同解方程妙解一类圆锥曲线问题
摘要：本文首先分析说明如何构造同解方程，然后通过实例给出了利用同解方程解决圆锥曲线问题的方法.关键词：构造；同解方程；圆锥曲线1从两圆公共弦所在的直线谈起在计算两圆公共弦长时，通常会引出两圆公共弦所在的直线方程，即已知圆O 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆O 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0相交于A ,B 两点，则弦AB 所在的直线方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为A ,B 是圆O 1与圆O 2交点，则x 12+y 12+D 1x 1+E 1y 1+F 1=0，x 12+y 12+D 2x 1+E 2y 1+F 2=0，x 22+y 22+D 1x 2+E 1y 2+F 1=0，x 22+y 22+D 2x 2+E 2y 2+F 2=0，两式作差可得(D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+(F 1-F 2)=0，(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+(F 1-F 2)=0，所以点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在直线(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0上，因为过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)有且只有一条直线，故弦AB 所在的直线方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.上述证明过程所采用的方法即为同解思想，主要通过A ,B 两点的几何地位等同建立代数形式一致的方程.恰当、巧妙地运用同解思想构造同解方程，能够使解析几何问题化“难”为“易”，下面举例说明.2同解方程的构造技巧2.1由点的同形位置引发同解例1已知椭圆x 22+y 2=1，求过点P (12,)12且被P 平分的弦所在的直线方程.解：设弦两端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆x 22+y 2=1上，代入椭圆方程得x 122+y 12=1，x 222+y 22=1.因为点P 为弦中点，所以x 1+x 2=1,y 1+y 2=1，则x 1=1-x 2,y 1=1-y 2，所以()1-x 222+()1-y 22=1，即æèçöø÷x 222+y 22+12-x 2-2y 2=0，又x 222+y 22=1，所以2x 2+4y 2-3=0，同理可得2x 1+4y 1-3=0.因为过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)有且只有一条直线，所以过点P (12,12)且被P 平分的构造同解方程妙解一类圆锥曲线问题中央民族大学附属中学海南陵水分校侯军572400广东省汕头市澄海苏北中学卜大海515829··11弦所在的直线方程为2x +4y -3=0.评注：求中点弦问题的常规方法是点差法，这里考虑到A ,B 的几何位置对称，构造关于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的同解方程求解.例2已知抛物线D :x 2=4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，与y 轴交于点C .若 EA =λ1 EC ， EB =λ2 EC ，求λ1⋅λ2的值.解：设E (m ,0)，C (0,n )，所以EA =(x 1-m ,y 1), EC =(-m ,n )，因为 EA =λ1 EC ，所以ìíîx 1-m =-λ1my 1=λ1n ，则ìíîx 1=()1-λ1m y 1=λ1n，因为点A (x 1,y 1)在抛物线D 上，所以[]()1-λ1m 2=4λ1n ，整理得m 2λ21-(2m 2+4n )λ1+m 2=0；又 EB =λ2 EC ，同理可得m 2λ22-(2m 2+4n )λ2+m 2=0.故λ1，λ2是方程m 2λ2-(2m 2+4n )λ+m 2=0的两根，由韦达定理可得λ1⋅λ2=1.评注：本题常规方法是将λ1，λ2坐标化，将λ1⋅λ2表示成关于x 1+x 2，x 1⋅x 2的形式，再将直线AB 和抛物线联立进行求解.这里考虑到 EA =λ1 EC ， EB =λ2 EC ，可知A ,B 的几何地位等同，故选择A ,B 作为运算的基础点，构造关于λ1，λ2的一元二次方程求解.2.2由曲线的同形切线引发同解例3（2019年全国三卷理21）已知曲线C :y =12x 2，D 为直线y =-12上的动点，过D作C 的两条切线，切点分别为A ,B .证明：直线AB 过定点.解：设D (t ,-12)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2),则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1-t =x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0；同理可得2tx 2-2y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0.若直线AB 过定点，则{-2y +1=0x =0，所以直线AB 过定点(0，12).评注：由题目所叙述“过点D 作曲线C的两条切线，切点分别为A ,B ”，可知切线DA ,DB 具有相同的几何特性，由此构造出一组关于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)同解方程.例4已知椭圆x 29+y 24=1,若动点P (x 0,y 0)为椭圆外一点，且点P 到椭圆的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程.解：若一条切线垂直于x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则符合题意的点P 有(-3,-2)，(-3,2)，(3,2)，(3,-2)，若两条切线均不垂直于坐标轴，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),(x 0≠±3)，与椭圆联立得(9k 2+4)x 2+18k (y 0-kx 0)x +9[](y 0-kx 0)2-4=0，由题意可知Δ=0，即(y 0-kx 0)2-(9k 2+4)=0，整理得(x 02-9)k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0，因为两切线互相垂直，所以k 1k 2=y 02-4x 02-9=-1，即x 02+y 02=13，所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.2.3由斜率和积的代数特征引发同解例5（2021八省联考第7题）已知抛物线y 2=2px 上三点A (2,2)，B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x -2)2+y 2=1的两条切线，则直线BC 的方程为（）.A.x +2y +1=0B.3x +6y +4=0C.2x +6y +3=0D.x +3y +2=0解：设B (y 122,y 1)，C (y 222,y 2)，k BC =y 2-y 1y 222-y 122=2y 2+y 1，所以直线BC 的方程为y -y 1=2y 2+y 1(x -y 122)，整理得2x -()y 1+y 2y +y 1y 2=0（*）；同理可得，直线AB 的方程为2x -(y 1+2)y +2y 1=0，直线AC 的方程为2x -(y 2+··12图12)y +2y 2=0,因为直线AB ,AC 是圆(x -2)2+y 2=1的两条切线，所以4+2y =1，4+2y 1，整理得3y 12+12y 1+8=0，222=0,故y 1,y 2是方程3y 2+12y +8=0两根，所以y 1+y 2=-4,y 1y 2=83，代入（*）得直线BC 的方程为3x +6y +4=0.评注：本题中3y 12+12y 1+8=0，3y 22+12y 2+8=0,还可以通过y 12=2x 1和y 22=2x 2代换得6x 1+12y 1+8=0，6x 2+12y 2+8=0，进而可知BC 的方程为3x +6y +4=0.2.4由曲线的同形割线引发同解例6（2018年浙江卷21）如图1所示，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在抛物线C 上.设AB 的中点为M ,证明：PM 垂直于y 轴.解：设P (x 0,y 0)，A (y 124,y 1)，B (y 224,y 2)，因为PA ,PB 的中点在抛物线上，所以æèçöø÷y 1+y 022=4⋅y 124+x 02，æèçöø÷y 2+y 022=4⋅y 224+x 02，所以y 1,y 2是方程æèçöø÷y +y 022=4⋅y 24+x 02的两根，即方程y 2-2y 0y +8x 0-y 02=0的两根为y 1,y 2，所以y 1+y 2=2y 0，因此PM 垂直于y 轴.评注：PA ,PB 两条割线均为从y 轴左侧的点P 引出，交换A ,B 位置，不会改变题设，故割线PA ,PB 有相同的几何内涵，这里抓住了“PA ,PB 的中点在抛物线上”这一共性特征构造出关于y 1,y 2的同解方程.2.5由直线的同形垂线引发同解例7过抛物线C :y 2=4x 上一点Q (1,2)作两条直线QA ,QB ,分别与抛物线C 交于A ,B 两点，且点D (3,0)到直线QA ,QB 的距离均为m (0<m 2)，求线段AB 中点的横坐标的取值范围.解：易知直线QA ,QB 的斜率存在且不为0，设直线QA ,QB 的斜率分别为k 1,k 2，故直线QA 的方程为y =k 1(x -1)+2(k 1≠0)，点D 到直线QA 的距离d 1=2k +2m ，整理得(m 2-4)k 12-8k 1+m 2-4=0；同理可得(m 2-4)k 22-8k 2+m 2-4=0，所以k 1，k 2是方程(m 2-4)k 2-8k +m 2-4=0的两根，所以Δ=32m 2-4m 4>0，由韦达定理得k 1+k 2=8m 2-4，k 1⋅k 2=1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{y =k 1(x -1)+2y 2=4x得k 1y 2-4y -4k 1+8=0，所以Δ=16+16k 12-32k 1>0，由韦达定理得2y 1=8-4k 1k 1，所以y 1=4-2k 1k 1=4k 1-2=4k 2-2；同理可得y 2=4k 1-2，设线段AB 的中点为x 0=x 1+x 22=y 12+y 228=2(k 1+k 2)2-2(k 1+k 2)-3,设t =k 1+k 2，则t =8m 2-4∈[)-4,-2，x 0=2t 2-3,t ∈[)-4,-2，所以x 0∈(]9,37.评注：本题由“D (3,0)到直线QA ,QB 的距离均为m (0<m 2)”可构造同解方程得到k 1,k 2的和积关系，进而为后续求x 0的范围做铺垫.基金项目：本文是海南省十三五规划课题“基于数学核心素养的高中可视化教学的实践研究”的阶段性研究成果（课题编号：QJH201910099）.xMAPy OB ··13。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
构造二次方程解多种变形问题
５ ３０ ６ ３０
韩承昀
４ ５
４
繁为简， 化难为易 ， 现就各类竞赛 中以不同面貌出现
的题 目用 同一方法 予 以说 明 ．
１ 各 项 系数 对应 相 同
３ 两 组对应 系数 互为调 换
例 ３ 已知 ａ ≠ １ ｂ ，且 ５ ‘ ＋ ９ ＋ ３ ＝ ０， ａ ａ
澉复 镌 昆饶％舅 匿 稻 ． 穸
中学数 学杂 志
２ １ 第 ４期 ００年
构造 二次 方程 解 多种 变 形 问题
贵州省绥 阳县金承 中学
构 造 一元 二 次 方 程解 题 是 一 种 比较重 要 的解 题技 巧 ， 方法灵 活 、 其 过程简 捷 、 用 广泛 ， 常 能化 应 通
＋６２ ０ （ ３— ＝， ２ 求
③
知 可得 ６≠ ０ ． ）
２・ 一ｂ ＋ （ ） ３・ 一ｂ （ ）一１＝０ ，
＝０的二根 ， 则
由①、 ③， ②、 可知 和 一ｂ 是方程 ２ ＋ ｘ一１ ３
解 （） Ｚ≠一 得口≠一 １ 由ａ ｂ １ ÷ ①（ 从已
口 ６ 。 （６＝ 寻口（６：÷ 一 ＝ ＋一） 一 ， 一） 一 ． ．
２ 所 以 ２ ｂ
一 一
（ ）由 ２ ＋３ 一４ ＝０得 ２ ａ ａ
２×（ 口 ） ３ ４ ＝０ ＋ ａ 一 ，
：
②
０
口
÷ ａＯ
（ ）由 ４ ＋３ ３ ｂ ｂ一２ ＝０ 因为 ｂ≠ ０ （ ）得 ４＋３
一
（ ２ ： ± ： ＝ （ ± ２
口 ６
０的二 根 ，
所 以 。＋ １ ＝
一
③
由 ① 、 、 可知 口 １是方程 ５ ＋ ＋ ② ③ 和 ９ ３＝
构造一元二次方程解题
四.用根的判别式构造一元二次方程
5．已知 14（b-c）＝（a﹣b）（c﹣a）
且a≠0，则 b+c ＝
．
a
答案：2
五.用求根公式构造
7．已知a＝
1 8
求（ 1+ 1-4a）3﹣ 2
（ 1+ 1-4a）2+a×（ 1+ 1-4a）+4的值．
2
2
答案：4
六.运用主元法构造
6．已知a＞b＞0，且a2+b2＝6ab，求 的值a+b ．
构造一元二次方程技巧
肇东市宋站中学校
一. 已知两根求作新的方程
以x 1,x2为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
1.已知两个数的和等于2，积等于-
15，则这两个数中较大的
是
． 答案：5
变式.已知两个数的差等于2，积等
于15，则这两个数中较大的
是
4.已知m=1+ 2 ，n=1- 2，且（7m2﹣14m+a） （3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别
有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的 值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代 入已知等式即可． 故选：C．
a-b
答案： 2
总结
构造一元二次方程既是一种重要 的数学方法，又是一种常用的数学思 想，某些非一元二次方程问题，若能 抓住其特征，则可以用过构造一元二 次方程来解决。
． 答案：5或-3
二.由根的定义构造一元二次方程
2.两个不相等的实数m，n满足
巧用“构造法”解一元二次方程竞赛题
当已知等式具有相 同的结构时 ．我们就
可以把某两个变元 （ 相同的元素 ） 看成是 关于
以ｂ 、 ｃ为实数根 的一元二次方程 ．通过 ＡＩ ＞０ 探求 ａ 的取值范 围， 并 以此为基础去解 （ ２ ） 。
应用
用什么样 的构造法 ． 进而运用 自如 教师在这 构特 征 ． 通过联想 构造辅助 工具 ． 构造数 学模 型． 铺设 中间桥 梁 ． 不断 把“ 未 知” 转 化为 “ 已
小结 ： 竞赛题中的一元二次方程题 目一般 都不能 直接求解 ． 而是需要 我们通过分析 、 归 纳 已知 条件构造一元二 次方 程 ．再运用有 关
法． 可以发散学 生的思维 ． 提高学生 的解 题能
５ ＋ ６ ＝ ４ ３ ２ 。
则ｌ ａ ｌ ＋ ｌ ｂ ｆ ＋ ｌ ｃ Ｉ ＝ ０ 一 ｂ — ｃ ２ ａ 一 ２ ， 由（ １ ） 知０ ≥ ４ ，
构造法 是初 中数 学中常用 的一种解 题方
小结 ：我们 通过 构造 一元 二次 方程 ． 在 问题有 解 的前提下 ． 运用 判别 式建 立含 参数 的不 等式 ． 缩 小 范 围逼 近求 解 ． 这种 方法 在 求字母 的取值 范 围、 求最 值等 方 面有广 泛 的
思路点拨 ： 该题运用不等式的变形来求解 是 比较繁琐 的 ． 由题得 ｂ ＋ ｃ ＝ ２ － ａ ， ６ ｃ ： ！ － ． 构造
０
一
思路点拨 ： 这是一个二 元二次方 程 ． 可整
理为关于某一个未知数 的（ 如 ） 的方程 ． 利用 元 二次方程 根的判 别式求解 简解 ： 方程 变形为 ｘ ２ ＝ （ ｙ 一 ３ ＋ 一 ３ ｙ ＋ ３ ＝ ０ ， 由Ａ ＞０ Ｉ ， 可知（ ｙ 一 ３ ） － ４ （ ｙ ２ － ３ ｙ ＋ ３ ） ＝ 一 ３ （ ｙ 一 １ ） ＞ － ０ ， 得ｙ ＝ ｌ ， 将ｖ ＝ １ 代人原方程得 ＝ ｌ 。 我们要通过敏 锐的观察 、 恰当的变形 、 广
构造一元一次方程解题
构造一元一次方程解题
构造一元一次方程解题
一．利用一元一次方程定义
例1：m 为何值时，3x 4m+1 －2=0是关于x 的一元一次方程。
二．利用一元一次方程解的定义
例2：已知关于x 的方程3a －x=
2
.x ＋3的解为x=4，这（-a ）2 －2a=_______.
三．利用代数式之间的关系
例3：已知代数式2－32+y +41-y 与y 的值相等，则y=________. 四．利用互为倒数的性质
例4:：如果21+a 与1
31-a 互为倒数，则a=________. 五．利用互为相反数的性质
例5：如果2（a+3）的值与3（1－a ）的值互为相反数，则a=_________.
六．利用非负数的性质
例6：（x －3）2 ＋︱n －2︱=0,则3x n ＋31x 2n －1 =_____________.
七．利用方程ax=b 的性质
例7：已知关于x 的一元一次方程（3a ＋8b ）x ＋5=0无解，则ab 是（）
A.正数
B.非负数
C.负数
D.非正数
八．定义新运算
例8：a,b,c 为有理数，现规定一种新运算
a c
b d =ad- bc,则当︳241-x 5︳=18时，x=______.
九．利用同类项的性质
例9：若3x m ＋2 y 3与-2xy 2n-1为同类项，则m=_____,n=_______.。
构造二元一次方程组解题十法
． ．．
。．
利用互为相反数构 造
。．
．．
。．
。．
．
例 ８ 已知二 元一 次方程 ２ ０ １ ２ ｘ＋２ ０ １ ３ ｙ＝２ ０ １ ２其 中 与 Ｙ 互 为相反数 ， 求 ， Ｙ的值 解析 ’ ． 与Ｙ 互 为相 反数 ， ． ． ． ＋ Ｙ＝０与 ２ ０ １ ２ ｘ＋
＝１ ２—１ ０—３＝ 一ｌ
依题意， 此等式对于任意有理数 ｎ ， ｂ 皆成立， 因此有
方法九
利 用 方 程 组 有 相 同解 构 造
｛ ： ： ＝ ： ０ 。 肼 乙 ￣ 侍 ｒ Ｉ ｘ ｙ ＝ ： Ｏ 一 故 原 式 ＝ ｃ 一 。 ＝ ・
‘ ． ．
例 １ ０已 知 关 于 ， ｙ 的 两 个 方 程 组 ｛ － ３ ｂ ｙ ＝ ２ 和
②当边长为 多少 时 ， 出厂一 张薄板 获得 的利 润最
大？最大利润是多少？
・ ・ ・
。 ＝
一
＜Ｏ，
一
一
参考公式 ： 抛 物线 Ｙ＝似 ＋ ＋ ｃ （ Ⅱ≠０ ） 的顶点 坐
标 是 （ 一 ， ） ．
解析 （ １ ） 根据每张薄板 的出厂价 （ 单位： 元） 由基 础价和浮动价两部分组 成 ， 设 出厂价 的表达 式 （ 为一 次 函数 ） 再根据表格 中的数据 ， 求 出解析式． （ ２ ） 根据利 润
× ４ ０＋１ ０一 ｍ× ４ ０ 解得 ｍ＝ １
（ ２ ） 已知 出厂一 张边长 为 ４ ０ ｃ ｍ 的薄板 ， 获得 利润 是２ ６元 （ 利润 ＝出厂价 一成本价 ） ．
・
①求一张薄板 的利 润 与边长之 间满 足的 函数关 系
式．
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构造方程解方程（组）（初二）
武汉实验外国语学校胡春洪
解方程（组）时，对于一些难以直接下手的问题，如果仔细观察题目的特点，巧妙构造新方程，往往可使局面立即改观，使解方程（组）的过程大大简化．本文将举例说明构造方程巧解方程（组）的几种方法，希望对读者能有所启发．
1．利用方程的根的定义构造方程
例1 已知a、b、c是互不相等的实数，且abc≠0，解关于x、y、z的方程组
0的3个根，从而t3-zt2+yt-x=0还可写成（t-a）（t-b）（t-c）=0，即t3-（a+b+c）t2+（ab+bc+ca）t-abc=0
与方程t3-zt2+yt-x=0比较，立即得
x=abc，y=ab+bc+ca，z=a+b+c．
2．应用韦达定理逆定理构造方程
例2 解方程（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）=6
分析原方程可化为
（6x ＋7）2（6x＋8）（6x＋6）=72．
设（6x＋7）2=a，-（6x＋8）（6x＋6）=b，
则a＋b=1，a·b=-72，
∴a，b是方程t2-t-72=0的两根，
分析注意到
（x＋1）（y＋2）=xy＋2x+y＋2，
∴方程②可化为（x+1）（y+2）=36，
又由①可知x+1≥0，y＋2≥0，
则m＋n=7，m·n=6，
∴m、n是方程t2-7t＋6=0的两根，
解这个方程，得
3．运用公式法构造方程
例4 解方程
分析如果平方去根号，那将会很繁．注意到（2x2＋x＋1）-
联系①，可分离出新方程
分析不难发现（5＋x）＋（4-x）=9，联想到公式
a3＋b3=（a＋b）［（a＋b）2-3ab］，利用这个公式，并结合原方程，即可分离出新方程
联系①、②，又可构造新方程
y2-3y+2=0③
=1，y2=2，从而
解方程③，得y
1
=-4，x2＝3．
∴x
1
=-4，x2=3．
经检验，原方程的根为x
1
4．宾主易位构造方程
例6 解方程
分析直接解方程，难度可想而知．但是如果改变一下角度，设y=
我们不解x，转而求y，局面立即大开．显然x≠0，
练习
1．已知实数a、b、c互不相等，试解方程组
3．解方程
4．解方程x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0（其中a为常数，且a≥-6）．
答案
1．x=-abc，y＝ab+bc+ca，z＝-（a+b+c）．。