方程组解的结构

问题： 问题： 1. 解之间有什么联系？ 解之间有什么联系？ 2. 那些解是最基本的？ 那些解是最基本的？ 3. 怎样求这些最基本得解？ 怎样求这些最基本得解？ 答案是：用解向 答案是： 量的极大无关组 表示全部解， 表示全部解，即： 解的结构。 解的结构。
的全部解向量为： 设方程组 AX=O 的全部解向量为： v1，v2， ( I ) L 的一个极大无关组为： 设(I)的一个极大无关组为： 的一个极大无关组为 v1，v2， ，v s ( II ) L 一个基础解系 定义3.9) 称 (II) 为 AX=O 的一个基础解系(P.146定义 。 定义 满足： (1) Vi 是AX=O 的非零解； 的非零解； 满足： (2) 线性无关； 线性无关； (3) 每个解都可由 线性表示。 每个解都可由(II)线性表示 线性表示。 问题：基础解系存在吗？若存在，有多少个向量？ 问题：基础解系存在吗？若存在，有多少个向量？ 怎样求基础解系？ 怎样求基础解系？
v1 + v2 也是 也是AX=O的解。 的解。 的解
证明： 证明：因为
Av1 = O，Av2 = O 则有 A(v1 + v2 ) = Av1 + Av2 = O + O = O .
的解。 即 v1 + v2 是AX=O的解。 的解 齐次方程组的解对加法封闭. 齐次方程组的解对加法封闭
性质2 性质
3 1 0 1 0 2 7 2 0 → 0 1 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
且同解方程组非零解。 有非零解。
3 x1 = − 2 x 3 − x 4 x2 = 7 x3 − 2 x4 2
第四节 线性方程组解的结构
• 解的性质 • 齐次线性方程组解的结构 • 非齐次线性方程组解的结构
（一） 齐次线性方程组解的结构 齐次方程组解的性质 P.145
X = ( x1 , x2 ,L, xn )T 设方程组为 AX=O ，
性质1 性质 为齐次方程组AX=O的解，则 的解， 若 v 1， v 2 为齐次方程组 的解
v = c1v1 + c2 v 2 + L + cn− r v n− r
为任意常数。 其中 c 1 , c 2 , L , c n − r 为任意常数。 推论 设 AX=O, r(A)=r<n。则 。 线性无关的解向量都是基础解系 的解向量都是基础解系； （1）任何 n-r 个线性无关的解向量都是基础解系； ） 个解向量； （2）每一个基础解系都含 n-r 个解向量； ） 个解向量都线性相关。 （3）任何 n-r+1 个解向量都线性相关。 ） (4) 若r(A)=n,则AX=O无基础解系。 无基础解系。 则 无基础解系
L , v n− r
− k1 n − k2n M − k rn = 0 0 M 1
(2) 由于
α 1 , α 2 , L , α n − r 线性无关， 线性无关，
( 3 ) 设 v ＝( d 1 , d 2 , L , d n )T 是 AX = O 的任意一个解， 的任意一个解， ( 证它可由 v1 , L , v n− r 线性表示） 线性表示）
通解的步骤： 求AX=O 通解的步骤： 为行简化阶梯形矩阵， （1）化(AO)或A为行简化阶梯形矩阵，得同解方程组； ） 或 为行简化阶梯形矩阵 得同解方程组； （2）自由未知量分别取 ）
1 0 , M 0 0 1 , M 0
定理3.12 (P.146) 若r(A)=r < n，则方程组 定理 ，则方程组AX=O
r (I ) 行简化阶梯形阵,得 证 (1) 对AX=O ，A 行简化阶梯形阵 得： x1 = − k1,r +1 xr +1 − k1,r + 2 xr + 2 − L − k1n xn x = −k n-r 个 2 2 , r +1 x r +1 − k 2 , r + 2 xr + 2 − L − k 2 n x n 自由未 ................................................. 知量 xr = − kr ,r +1 xr +1 − kr ,r + 2 xr + 2 − L − krn xn
或
AX = O
方程组有无穷多个非零解。 当 r(A)=r<n 时，方程组有无穷多个非零解。
x1 = k1 − k1,r +1c1 − L − k1ncn− r 一般解为 一般解为： x2 = k2 − k2 ,r +1c1 − L − k2 ncn− r LLL xr = kr − kr ,r +1c1 − L − krncn− r x = c 1 r +1 M (c1 , c2 ,Lcn− r 为任意常数） 为任意常数） x n = cn − r
− k1,r +1d r +1 − k1,r + 2 d r + 2 − L − k1n d n d1 − k 2 , r + 1 d r +1 − k 2 , r + 2 d r + 2 − L − k 2 n d n ................................................. d2 − k r ,r +1d r +1 − k r ,r + 2 d r + 2 − L − k rn d n = M d r +1 d r+2 d n O dn − k1 , r + 1 − k1 , r + 2 − k1 n − k 2 , r +1 − k 2 ,r + 2 − k2n M M M − k r ,r + 1 − k r ,r + 2 − k rn = d r +1 r+1 1 r+2 2 + d r+2 + L + dn 0 1 0 0 1 0 M M M 1 0 0
也线性无关。 故 v1 , v 2 ,L , v n− r 也线性无关。
代入同解方程组得： 代入同解方程组得： d 1 = − k1 , r + 1 d r + 1 − k 1 , r + 2 d r + 2 − L − k1 n d n d = − k d − k 2 2 ,r + 1 r +1 2 ,r + 2 d r + 2 − L − k 2 n d n ................................................. d r = − k r ,r +1d r +1 − k r ,r + 2 d r + 2 − L − k rn d n
方程组的通解 通解： 方程组的通解： 3 x1 = − x 3 − x4 v = c1v1 + c 2 v 2 2 为任意常数。 其中 c 1 , c 2 为任意常数。 x 2 = 7 x3 − 2 x4 2 注 x3 x3 自由未知量 x 分别取 自由未知量 x 若 分别取 4 0 4 2 0 1 , ， , 得基础解系： 得基础解系： 0 1 1 0
3 − 2 7 v1 = , 2 1 0
…
0 0 M 1
代入同解方程组，得基础解系： 代入同解方程组，得基础解系： v1 , v 2 ,L , v n− r （3）写出通解。 ）写出通解。 注：自由未知量的取值 只要 n-r 个n-r 维向量线性无关即可。 维向量线性无关即可。 即可
例 （P.149例1）求方程组的全部解。 例 ）求方程组的全部解。 5 − 1 0 1 − 1 5 −1 0 1 − 1 1 −2 3 0 0 2 −7 4 0 1 ( AO ) = → 0 3 −1 8 1 0 2 −7 4 0 3 −9 7 0 0 4 − 14 8 0 1
d1 d2 M d n
− k 1 , r + 1 d r + 1 − k1 , r + 2 d r + 2 − L − k 1 n d n − k 2 ,r +1 d r +1 − k 2 ,r + 2 d r + 2 − L − k 2 n d n ................................................. − k r ,r +1d r +1 − k r ,r + 2 d r + 2 − L − k rn d n = d r +1 d r+2 O dn
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个解： 得n-r个解： − k1,r +1 个解
− k1 , r + 2 − k 2 ,r + 2 − k 2 ,r + 1 M M − k r ,r + 2 − k r ,r + 1 v1 = , , v2 = 0 1 1 0 M M 0 0
c1v1 + c1v2 + L + c s v s
的解。 为AX=O的解。 的解