17.3(1)一元二次方程根的判别式
初中数学电子教案
课前练习一
1、用开平方法解下列方程：
课前练习二
2、求下列方程中的ac b 42 的值：
感悟方程根的三种情况，猜想制约因素： 1、
回顾
师：我们在解一元二次方程时，首先考虑什么方法？（开平方法和因式分解法）若不行，考虑什么法？（公式法或配方法）求根公式是什么？a 、b 、c 是什么？用求根公式时要把方程化成一般式。
2、
学生笔做解第1题（题目
抄在黑板上），口答答案（电脑显示，说明用开平方法简单）。
提问：一元二次方程的根的情况有
几种？学生口答（根的三种情况）。
3、 学生笔做第2题（题目抄在黑板上），个别学生（用配
方法解的）板演。
提问：根的情况及什么有关？猜
想根的情况及系数之间的关系。
新课探索一（1）
在推导一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们曾得到
验证方程的根及系数关系，概括（韦达）定理：
1、
演示电脑，结合学生板演，
根据求根公式的推导，得出方
程根的三种情况制约因素是
ac b 42-的值的符号。
学生概括，教师板书课题和定理内容。
要重视对学生进行辨证唯物主义观点教育。
一元二次方
程的系数变化，引起方程根的变化，两者变化是互相制约的；决定根的性质的是ac b 42-的值，当△由大于零变成等于零，由等于零变成小于零，方程的根由两个不相等的实数根变到两个相等的实数根又变到无实数根，这分别是从量变到质变的过程，其中△=0是方程有无实根的转折点。
教学内容
教学过程
教后记
新课探索一（2）
我们把ac b 42-叫做一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax
的根的判别式，通常用符号“△”（读作/´/）来表示，
记作△=ac b 42-。
利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。
新课探索一（3）
一
元
二
次
方
程
)0(02≠=++a c bx ax ，
当△=ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=ac b 42-<0时，方程没有实数根。
当方程没有实数根时，△<0。
在学生理解的基础上老师小结并点击出示课件相关内容。
上述判断反过来说，也是正
确的，即：
当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
当方程有两个相等的实数根时，△=0；
新课探索二 例题1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
新课探索三
例题 2 关于x 的方程
0)1(2=---m x m x （其中m 是实
数）一定有实数根吗？为什么？
内化新知
1、 学生口述，教师边板书边带领学生归纳步骤；
2、 学生笔做（2）、（3） 题，个别学生板演，学生点评，强调化成一般式后再算△。
学生笔做例2，，个别学生板演，学生点评，归纳有实根含意，说明△=0是方程有无实根的转折点。
不一定要
算出ac
b 42-的值，只要确
定它的符号即可。
课内练习一
1、不解方程，判断下列方
程的根的情况：
课内练习二 2、关于
x
的方程
01)1(2=++-x m mx （其中0≠m ）一定有实数根吗？为什么？
课内练习三
3、思考 一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax ，当c b a 、、的符号在什么情况下，不通过计算ac b 42-的值，就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。
巩固练习 1、 学生笔做（1）（2）（3），个别学生板演，学生点评。
总结：判断时不必算出ac b 42-的
值，只要确定它的符号即可；方程
系数化为整数后算带来方便。
2、学生笔做（4）（5）（6），个
别学生板演，学生点评。
2、 学生笔做，个别学生板演，学生点评。
3、学生讨论后口答。
时间来不及可先做（1）
（3）（5）
教学内容教学过程教后记布置作业。
上海初中八年级数学上---17.3一元二次方程根的判别式(含答案)
17.3(1)一元二次方程根的判别式一．填空题：1．下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2．方程0ab -x b -a 2-4x 2=）（的根的判别式是 。
二、选择题：3．关于x 的一元二次方程0322=-+ax x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定4．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根，且两根同号（C ） 有两个不相等的实数根，且两根异号 （D 没有实数根5．关于x 的一元二次方程042=++c x ax ，若a 、c 异号，则该方程根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实根 （B ） 有两个不相等的实根（C ） 没有实数根（D ）无法确定三、不解方程，判断下列方程根的情况6. 2x 2＋3x ＋1＝07.02)51(52=-+t t8．0222=++-k kx x 9. (x ＋2)(x ＋3)＝－1110. 2y 2－y ＋14＝0 11. x 2＋(2k －1)x ＋(－k －1)＝0012=+x 02=+x x 012=-+x x 02=-x x四、 解答题12.已知关于x 的一元二次方程3x 2－7x ＋k ＋2＝0的根的判别式的值等于289，求k 的值．13. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，试判别关于x 的方程x 2＋2(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况．五、提高题14.求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根m 03)7(92=-++-m x m x17.3（2）一元二次方程根的判别式一、 填空题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
2．已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 。
3．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为 。
《一元二次方程的根的判别式》word教案 (公开课获奖)沪科版
《17.3 一元二次方程根的判别式》教学目标：1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理．2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况．3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围．过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力．情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神．教学重点：根的判别式定理．教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用．教学过程：一、通过看书自学：思考：一元二次方程ax 2+bx +c =0〔a ≠0〕有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？方程x 2+Px +q =0，当满足关系式 时，有两个不相等的实根；满足关系式 时，有两个相等的实根；满足关系式 时，无实根；满足关系式 时，有实根．〔1〕由此可见：在解()22004ax bx c a b ac ++=≠-一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据24b ac -的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△〔读作delta ，它是希腊字母〕〞来表示．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它表达了数学的简洁美．〔2〕注意：224.b ac ≠-（）注意：△而应为：△＝ 〔3〕通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本P35的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释．由此我们就得出了关于()200ax bx c a ++=≠一元二次方程的根的判别式定理： ()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝假设△＞0那么方程有两个不相等的实数根；假设△=0那么方程有两个相等的实数根；假设△＜0那么方程没有实数根．二、典例分析：例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断以下方程的根的情况．5〔x 2+1〕-7x =0针对训练：2x 2+3x -4=0 16y 2+9=24y思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？例2、k 为何值时，〔1〕方程kx 2-〔2k +1〕x +k =0有两个不相等的实根〔2〕方程〔k -4〕x 2=〔2k -1〕x -k 有两个相等的实根注意：假设一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？三、练习稳固：1、分层练习：A 层：关于x 的方程x 2+〔m +1〕x +〔m -2〕2=0有两个相等的实数根．〔1〕求m 的值．〔2〕求出这时方程的根．B 层：k 为何实数时，以下方程有二实根？无实根？〔1〕x 2+〔2k -5〕x +k 2=0 〔2〕2kx 2 +〔8k +1〕x =-8k思考：“有二实根〞、“有二相等实根〞、“有二不等实根〞三种说法有何本质区别？C 层拓展：1、方程x 2 +2x =k -1没有实数根，求证方程x 2 +kx =1-2k 必定有两个不相等的实根．2、a 、b 是△ABC 的两边，且方程〔a 2+b 2〕x 2 +2a 〔a +b 〕x +b 〔a +b 〕=0有相等的实数根．求证：△ABC 是等腰三角形． 有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
17.3一元二次方程根的判别式(第1课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册同步精品
4ac ＜ 0时，方程没有实数根.
b
2a
我们把 b 2 4ac叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的根的判别式，
通常用符号“ ”来表示，记作 b 2 4ac，
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
2 8 3＜0
所以，原方程无实数根。
2 关于x的方程mx 2 (m 1) x 1 0(其中m 0）一定有实数根吗？为什么？
a m, b m 1, c 1
解：因为m 0，所以此方程为一元二次方程。
(m 1) 2 4m
m2 2m 1 4m
课堂小结
1、什么是一元二次方程 ax 2 bx c 0(其中a 0）根的判别式？
为什么？
2、如何利用 b 2 4ac来判别根的情况？
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
当 b 2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
a 2, b 4, c 3
解：因为 42 4 2 3
16 24
8 0
所以此方程没有实数根
例题1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
不解方程，
判别一元二次方程根的情况
（3）
2x2 3 2 6x
方程先化
为一般式
解：把原方程变形为
2x2 2 6x 3 0
25 4 64 4
1049 0
所以此方程有两个不相等的实数根
解：原方程化为：x 2 12 x 36 0
一元二次方程根的辨别式
一元二次方程根的辨别式一元二次方程根的判别式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
一元二次方程的根可以利用判别式来判别。
判别式定义如下：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ 的值决定了方程的根的类型：Δ > 0：方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：方程有两个相等的实根。
Δ < 0：方程没有实根，有两个共轭复根。
证明：根据一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a我们可以得到：Δ > 0：b^2 - 4ac > 0，因此√(b^2 - 4ac) 是实数，方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：b^2 - 4ac = 0，因此√(b^2 - 4ac) = 0，方程有两个相等的实根。
Δ < 0：b^2 - 4ac < 0，因此√(b^2 - 4ac) 是虚数，方程有两个共轭复根。
判别式的应用判别式在解决一元二次方程的问题中非常有用。
它可以快速确定方程的根的类型，从而指导下一步的求解。
例如：确定方程的根的个数：Δ > 0 表示方程有两个实根；Δ = 0 表示方程有两个相等的实根；Δ < 0 表示方程没有实根。
求解方程的根：如果Δ > 0，可以使用求根公式直接求出方程的两个实根。
判别二次函数的开口方向：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的开口方向由判别式决定。
Δ > 0 时开口向上，Δ < 0 时开口向下，Δ = 0 时开口水平。
注意事项需要注意的是，判别式只能判断一元二次方程根的类型，不能直接求出方程的根。
如果需要求出方程的根，还需要使用求根公式。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
开平方法 1.一元二次方程的解法
因式分解法
配方法
公式法
2.利用公式法解下列方程：
(1)x2 5x 6 0 (2)x2 4x 4 0
(3)x2 2x 3 0
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)
当 b2 4ac 0时，方程的根是x1
• 十字相乘法能把某些二次三项式ax²+bx+c(a≠0)分解因式。 • 这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 • 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2， • 并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结 • 果：ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式 • 时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆 • 过程。当二次项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注 • 意各项系数的符号。
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y
3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49 ＞0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25 y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0 原方程没有实数根。
练一练：
• 不解方程，判别下列方程的根的情况。
• （1）2x²－5x－4＝0; • (2）7t²－5t＋2＝0; • (3)x﹙x＋1﹚＝3; • (4)3y²＋25＝10√3y
17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 第3讲 一元二次方程根的判别式知识概要1.根的判别式在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们得到 22244)2(a ac b a b x -=+. 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于ac b 42-.因此，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，用符号“∆”表示，读作“/'/'∂delt ”(1)当042>-=∆ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，a ac b b x 2421-+-=， aac b b x 2422---=； (2)当042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立.2.根的判别式的应用判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.经典题型精析(一)根的判别式例1.不解方程，判断下列关于x (或y )的方程的根的情况：(1)03452=--x x ； (2)01232=++x x ； (3)01442=++x x ；(4)0)1(422=-+-m my y ； (5)0)52(2422=+-++n n mx x ； (6)02=+c ax .试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)03542=--x x ； (2)03422=++x x ； (3)x x 62322=+.例2.在关于x 的一元二次方程1)2(42=++-k x k x 中，k 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.试一试：当m 取何值时，关于x 的方程041)2(22=+-+m x m x (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根?例3.当m 为何值时，关于x 的方程m x mx mx -=-+2122有实数根?试一试：关于x 的方程01)1(2=+++x m mx (其中0≠m )一定有实数根吗?为什么?例4.当k 为何值时，关于x 的方程0)12(422=-+-k kx x 有实数根?并求出这时方程的根(用含k 的代数式表示).例5.若关于x 的一元二次方程0122=+-+k x x 无实数根.求证：一元二次方程1122=++k kx x 一定有两个不相等的实数根.例6.若c b a 、、为实数，关于x 的一元二次方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两个相等的实数根，求证：b c a 2=+.试一试：求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
一元二次方程根的判别式课件沪科版八年级数学下册
学习导航
学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结
一、学习目标
1.能熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 2.会根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围（难点）
二、新课导入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第 一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程是否有解，你想知道她是如何 判断的吗？ (1)3x2+4x－3=0;(2)4x2=12x－9; (3)7y=5(y2+1);(4)x2+x-1=0
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
b2 4ac
（1）当b2－4ac>0时， 4a2 >0,可直接开平方，
x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac 2a
（2）当b2－4ac=0时，b2
4ac 4a2
=0,可直接开平方，x1
四、合作探究
探究一：根据根的判别式判断方程根的情况
问题提出：不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0 （2）4x2=12x－9 (3) 7y=5(y2+1)
问题探索：根的情况由 Δ 的大小确定，由于Δ= b2-4ac ， 先确定 a、b、c再计算出b2-4ac进行判断.
问题探索：(1)a=3,b=4,c=-3
四、合作探究
练一练
2.方程x2+a=ax有两个相等的实数根时，实数a的个数是（ C ）
A.0
B.1
C.2
17.3一元二次方程根的判别式--
17.3一元二次方程的解法 根的判别式
想一想
用配方法解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0
b 4ac和0是什么关系？
2
Δ = b2－4ac ＜ 0 4、当一元二次方程有两个实数根时 Δ = b2－4ac≥0
3、当方程没有实数根时
试一试：
关于x的一元二次方程x2－3x + k = 0， 问k取值时 （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?
（2）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ= 0
3x 1 0
原方程有两个相等的实数根。
2
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
例：不解方程，判别关于 x 的方程
2 的根的情况 x 2 2kx k 0 . 2
解： 2 2k 4 1 k
2
2
系数含有字 母的方程
8k 4k
当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
2
ax bx c 0(a 0)中
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根 2 b 4ac C.没有实数根 2 b 4acБайду номын сангаас 0 D.根的情况无法
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是 ．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是 ．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。
一元二次方程根的判别式
当b 4ac 0时， 方程无实数根
2
验证：
我们知道,任何一个一元二次方程
2
ax bx c 0(a 0)
配方法
b b 4ac (x ) 2a 4a
2 2 2
b b 4ac (x ) 2a 4a 因为a 0，所以4a 0
2 2 2
2
当b 4ac 0时，x b b 4ac ， 2a
2
(3) x 2 x 3 0
2
观察一下三个方程根的情况，你有什么发现？
可以发现：
（1）方程有两个不相等的实数根
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程没有实数根
一元二次方程
2
b 4ac
2
根的情况
方程有两个不相等 的实数根 方程有两个相等的 实数根 方程无实数根
x 5x 6 0 （- 5）- 4 1 6 1
2
x 4 x 4 0 （- 4）- 4 1 4 0
2 2
x 2x 3 0
2
（- 2）- 4 1 3 -8
2
猜想：一元二次方程的根的情况由谁来决定？ 怎么决定的？
猜想：
当b 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
2
当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数根
记做 b 4ac
2
一元二次方程根的判别式定理：
当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
反过来：
2 1.当方程有两个不相等的实数根时， b 2