2019-2020 年北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题(含答案)

2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题（含答案）

1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，

5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．

解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．

易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152

． 又

56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．4530

46611

DF GF CH CD =⋅=⨯=

，3063

31111

EF =+

=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，

交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．

解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则

KN CD KM

PK BD GK

==

． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫

=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭

．

3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD

之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，

BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =

+，ab

CD b c

=+． A

D

E

G F

B H

C

A

E

P B

D

C

G K M

N

F

4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA

⊥且交于E ，求证：CE MN =． 解析 如图，不妨设1BE CE ==

，则BC BD AC ===

，1AE ED ==

，故2AD =，()1

12

MN AD BC CE =

+==．

5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线

交AC 、

AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知

1

2

GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．

6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，

又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．

A

B D C

A

D

E

M

N B

C

A

E

F

G

B

解析 由平行知

GE AG AG GF

DE BD CD DF

===

． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．

7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于

E 、

F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于

G 、

H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AE

DH GH AD

==

． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．

8.

ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行

于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2

AB AC

BE CF +==．

解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知1

2

BG BC =，

而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB AC

AB BD AB

+==

，同理，CF 也是此值．

评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．

G A

E B

D

C

F

A E D

Q

G

H P

O

B F C

F A

E

B G D C

9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，

AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =

，AO

FO BO CO

=⋅，同理，BO EO AO DO =

⋅，故FO DO

EO CO

=

，故EF CD ∥．

10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．

解析 易知ABC △关于AD 对称．

又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知

AR AR AC AB AP

BR RQ CQ BQ PQ

====

，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交

AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、

H ．求证：

1212

AD BC EF GH

+=+

． A

F D

O

B C

E

A

R

P Q B

D

C