九年级数学上册-一元二次方程课件
例4 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2；
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当
a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一
元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方 程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
新课讲解
例5 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号.
3
3
-2
2 3
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
-2
-5
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0, 即9+4a=0, ∴4a=-9，
二次项系数 一次项系数
常数项
新课讲解
★ax2 + bx +c = 0强调： ①“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ③“ = ”右边必须整理为0.
新课讲解
想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
x2 x 56 0 ②
特点:
(1)都是整式方程; (2)只含一个未知数; (3)未知数的最高次数是2.
新课讲解 ★一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程. ★一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
当 a=0时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数.
新课讲解
含两个未知数
例3 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C
概念
一元二次 方程
一般形式
根
课堂总结
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2
ax2+bx+c=0 (a ≠0) ➢ 其中(a≠0)是一元二次方程的必
要条件； ➢ 确定一元二次方程的二次项系
数、一次项系数及常数项要先 化为一般式
使方程左右两边相等的未 知数的值
则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
(50-2x)cm.根据方盒的底面积为 3600cm2,得 (100 2x)(50 2x) 3600.
整理，得 4x2 300x 1400 0.
化简，得 x2 75x 350 0. ①
x
100cm
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
必须满足 是整式方程
的三要素 只有一个未知数
1．一元二次方程
未知数的最高次数是 2
一般形式：ax2＋bx＋c＝0a≠0
2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，
则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．
a 9. 4
4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值. 解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0，
二次项系数不为 零不容忽视
∴ m ≠-2，
综上所述，m =2.
随堂即练
能力提升
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1,
50cm
新课讲解 例2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛 一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场 比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
随堂即练
2.填空：
方程
随堂即练
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
1．解决下列问题： 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周 突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的 正方形？
练一练:下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
新课讲解
例6 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2018的值.
解：由题意，得a2 2a 2 0, 即a2 2a 2.
∴2(a2+2a)+2018= 2(a2+2a)+2018 =2×2+2018 =2022
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再 注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
求a+b+c的值.
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0, 即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的一个根吗? 解：由题意,得 a b c 0.
即a 12 b 1 c 0.
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
叫做一元一次方程.
1 一元二方程概念
新课讲解
例1 如图，有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去 多大的正方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm,
A.x2
1 x2
0
不是整式方程 B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2二次方程，首先看是不是整式 方程；如果是整式方程，再进一步化简整理后再作判断.
新课讲解
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2
拓展延伸(学生对学) 【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是 一元二次方程． 【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一 元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？ 【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1. ∵(m－4)2≥0， ∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程， 只需证明二次项系数恒不为0，即m2－8m＋17≠0.
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐 步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
429 x
分式方程
新课引入
探究交流:
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程.
新课引入
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组） 及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共20页)
解：x1+x2=3，x1x2=1；
x1+x2=
2 3
，x1x2=
2；
3
(3)2x2－9x＋5＝0； (4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2=
9 2
，x1x2=
5 2
； x1+x2=
7 4
，x1x2=
1 4
；
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2=
3 2
，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
x1+x2=0，x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝
b a
，x1x2＝
c a
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的 标准情势为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又 是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
（1）
1 x1
1 x2
；（2）
x12
x.22
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5－7=0的两根，不解方程 求下列各式的值：
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1