有限元第三章最小势能原理和分片插值
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第三讲有限元一般过程
e 34
↓ Q6
Q 2e → Q 2 Q 3e → Q 5
K11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61 K 71 K81 K12 K13 K14 K 22 K 23 K 24 K 32 K 33 K 34 K 42 K 43 K 44 K 52 K 62 K 72 K82 K 53 K 63 K 73 K83 K 54 K 64 K 74 K84 K15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65 K 75 K85
e T e b
e s
n
n
e s
{Q} {Pi } = ∑{Q } {P }+ ∑{Q e }T {Pse }+ {Q}T {Pi } +
T n e T n e=1 e b e=1
Q 将 { } , {P } 变换形式写成 将 { } , {P } 变换形式写成 Q
e T
~ {Q}T , {Pbe } ~ {Q}T , {Pse }
∏ ——结构势能
W p ——外力势能，数值上为在假定位移下外力的虚功的负值。
结构弹性应变能可以表示为：
U
——内力势能，即结构弹性应变能
1 1 T T U = ∫∫∫ {ε } { }dV = ∫∫∫ {ε } [D ]{ε }dV σ 2V 2V
v —— 结构或弹性体的体积
外力虚功可以表示为：
{u} {Fb }dV + ∫∫ {u}T {Fs }dA W p = ∫∫∫
四、整体分析 目的： 目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理： 1、计算整个结构的弹性应变能。
n 1 1 eT 1 T ~e ~ T e e U = ∑U = ∑ { } [K ] { }= ∑ {Q} [K ] {Q} = {Q} (∑ [K e ]) {Q} Q Q e=1 2 e =1 e =1 2 2 n e n
有限元第三章 最小势能原理和分片插值
解法２：基函数取正弦函数
1 L P EI (v ) 2 dx P v( ) 20 4
L
2x 1 ( x) sin , 2 ( x) sin L L
x
4 2 2 4 2 1 2 EIL 1 1 P 2 P 2 4 L L 2
第三章 最小势能原理和分片插值
(有限单元方法的核心内容之一)
在这一章中我们将介绍： • 最小势能原理及具体应用； • 同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系； • Ritz方法在单元内的应用 • 两种最常用的插值形式（Lagrange型和 Hermite型）； • 协调的位移型单元的收敛条件。
y, v
n
q(x) A
n
D (fx, fy)
P(x)
n
(能量泛函)
T
u f x u p tdxdy tdx f v v q y AD
u∣AB=v∣AB=0 x 1 1 T E T E T E T E 0 2 2 y dxdy dxdy L X ds
LX LY -1 0 0 -1 1 0 0 1
T
T
以及沿边AB：δu=δv=0 则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为：
x 0 y
0 y x
T
x fx y 0 f y yx
u f x u p E tdxdy) tdxdy tdx v f y v q AD (3-1-5) T 0 T x L 0 T x X f u u p x y tdxdy 0 LY y tds tds 0 v q y f y v AD L L Y X yx yx 略去了积分过程 x AB BC CD DA ，外法线 n的方向余弦为
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
计算固体力学第三章_1
TSINGHUA UNIVERSITY
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
最小势能原理变分法
最小势能原理变分法
最小势能原理是变分原理的一种，它在所有可能的位移中，真实的位移使得系统总势能取最小值。
这种方法以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题。
变分原理实质上是把求解偏微分方程边值问题转换为求解某一泛函的最小值问题。
对于最小势能原理，变分方程除了满足给定的位移边界条件之外，等价于平衡微分方程和面力边界条件。
在应用变分法求解时，首先计算总势能的一阶变分，并令其为零，得到满足平衡方程和力边界条件的位移场。
具体的操作过程是，通过位移场使总势能泛函取驻值，相当于该位移场对应的应力场满足域内平衡方程和力边界条件。
特别的，若总势能泛函是位移场的凸泛函，驻值即是最值。
因此，最小势能原理和偏微分方程边值问题仅仅是形式的不同，实质是相同的。
它们都是基于能量原理，通过求解某一泛函的最小值（或驻值）来得到满足给定条件的解。
这种方法在弹性力学、结构力学等领域有广泛的应用。
以上信息仅供参考，如有需要，建议咨询专业人士。
第三章势能极小
第三章
势能极小原理的有限元解法
有限元法的出现是从实际结构的直接离 散化开始的，但很快被人们认识到，它 是变分问题里兹解法的一种。由此而巩 固了有限元法的数学基础。
了解有限元法的数学基础
有助于理解方法的数学实质； 有助于扩大可用的函数形式； 有助于扩大方法的应用范围； 有助于估计近似计算得误差。
受外力作用的梁的可能变形曲线 {F}
真实变形曲线
物理意义
若有梁受外力{F}作用而变形，可以设想 在满足变形连续条件的前提下，它有多 种变形曲线的可能，如图中的虚线和实 线所示。但是总有一条变形曲线是真正 的变形曲线。例如，图中实线所示的变 形曲线。其它的满足变形连续条件的可 能变形曲线则是它的接近曲线
按照力学中的一般说法，最小位能原理可叙述 为：与精确解（真实位移）相应的位能小于与 任何其它可能位移相应的位能。 自最小位能原理可知，精确解与其它的变形可 能位移的差别在于是否满足平衡条件，即真实 位移除满足连续条件外还必须满足平衡条件 （包括外力已知的边界条件），而可能位移则 不一定满足这个条件。
元的分片插值，靠单元缩小来逼近真解， 而单元又不是无限小，因此单元内的插值 函数也应满足一定条件，以保证能趋近于 真解，这称为完备性要求。
4．1 相容性
以平面问题为例，有限元分片插值，应使泛 函式(3．1)可以求积，积分式为
求解域剖分为单元之后，选取了单元内连 续的形状函数，则位移{u}和应变{}在单元 内部都是连续的，而单元之间则只允许有一 类间断(有界)。
n
在弹性理论中，泛函п是根据能量守恒原理求得 的能量表达式。如前述的位能表达式，当以位 移为未知函数时，上式是一系列变形可能位移 的线性组合， fi可以理解为形状函数，而ai则是 节点位移。
势能极小原理的有限元解法
有限元法的出现是从实际结构的直接离 散化开始的，但很快被人们认识到，它 是变分问题里兹解法的一种。由此而巩 固了有限元法的数学基础。
了解有限元法的数学基础
有助于理解方法的数学实质； 有助于扩大可用的函数形式； 有助于扩大方法的应用范围； 有助于估计近似计算得误差。
受外力作用的梁的可能变形曲线 {F}
真实变形曲线
物理意义
若有梁受外力{F}作用而变形，可以设想 在满足变形连续条件的前提下，它有多 种变形曲线的可能，如图中的虚线和实 线所示。但是总有一条变形曲线是真正 的变形曲线。例如，图中实线所示的变 形曲线。其它的满足变形连续条件的可 能变形曲线则是它的接近曲线
按照力学中的一般说法，最小位能原理可叙述 为：与精确解（真实位移）相应的位能小于与 任何其它可能位移相应的位能。 自最小位能原理可知，精确解与其它的变形可 能位移的差别在于是否满足平衡条件，即真实 位移除满足连续条件外还必须满足平衡条件 （包括外力已知的边界条件），而可能位移则 不一定满足这个条件。
元的分片插值，靠单元缩小来逼近真解， 而单元又不是无限小，因此单元内的插值 函数也应满足一定条件，以保证能趋近于 真解，这称为完备性要求。
4．1 相容性
以平面问题为例，有限元分片插值，应使泛 函式(3．1)可以求积，积分式为
求解域剖分为单元之后，选取了单元内连 续的形状函数，则位移{u}和应变{}在单元 内部都是连续的，而单元之间则只允许有一 类间断(有界)。
n
在弹性理论中，泛函п是根据能量守恒原理求得 的能量表达式。如前述的位能表达式，当以位 移为未知函数时，上式是一系列变形可能位移 的线性组合， fi可以理解为形状函数，而ai则是 节点位移。
第三章变分原理与有限元方法
L(u ), v L(u )vd
2. 线性算子 【定义】 若 M 是一个线性集合，对于任何 u, v M 和任意实常数 ， ，算子 L 具有如下性质 L(u v) L(u ) L(v) 。线性微分算子相对应的方程为线性微分方程。 则称算子 L 为线性算子（linear operator） 微分、积分运算是线性运算。因此，许多微分方程和积分方程都是线性算子方程。
(u ' v) x1 u ' ( x 0 )v( x 0 ) u ' ( x1 )v ( x1 ) 0
0
x
从而
L(u ), v u ' v ' dx L(v), u u , L(v)
x0
x1
因此， L 在 M 上是一个对称算子。 4. 正定算子（正算子） 【定义】若 L 算子是对称算子，对于任何 u M ，恒有
3
第三章 变分原理与有限元方法
2 d （） 是对称算子 dx 2 解 事实上， L 是线性算子。对每一对 u, v M 构造内积并进行积分
证明算子 L（）
L(u ), v
x1
x0
u ' ' vdx (u ' v) x
0
x1
x1
x0
u ' v' dx
由于 v M ， v( x 0 ) 0 ， v( x1 ) 0 ，于是边界项
L d d [ p( x) ] q ( x) dx dx
如果给定 f ( x) C[a, b] ，则 L( y ) f ( x) 是算子方程。 例 积分算子 对于任意的 y ( x) M （ M : L2 [a, b] ）
2. 线性算子 【定义】 若 M 是一个线性集合，对于任何 u, v M 和任意实常数 ， ，算子 L 具有如下性质 L(u v) L(u ) L(v) 。线性微分算子相对应的方程为线性微分方程。 则称算子 L 为线性算子（linear operator） 微分、积分运算是线性运算。因此，许多微分方程和积分方程都是线性算子方程。
(u ' v) x1 u ' ( x 0 )v( x 0 ) u ' ( x1 )v ( x1 ) 0
0
x
从而
L(u ), v u ' v ' dx L(v), u u , L(v)
x0
x1
因此， L 在 M 上是一个对称算子。 4. 正定算子（正算子） 【定义】若 L 算子是对称算子，对于任何 u M ，恒有
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第三章 变分原理与有限元方法
2 d （） 是对称算子 dx 2 解 事实上， L 是线性算子。对每一对 u, v M 构造内积并进行积分
证明算子 L（）
L(u ), v
x1
x0
u ' ' vdx (u ' v) x
0
x1
x1
x0
u ' v' dx
由于 v M ， v( x 0 ) 0 ， v( x1 ) 0 ，于是边界项
L d d [ p( x) ] q ( x) dx dx
如果给定 f ( x) C[a, b] ，则 L( y ) f ( x) 是算子方程。 例 积分算子 对于任意的 y ( x) M （ M : L2 [a, b] ）
[VIP专享]有限元变分原理
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虽然，分片检验研究还存在上述数学上的困难，但是，在力学应用上已经被接 受，对数学上给出的通过分片检验但不收敛的反例在力学界反映强烈，多数持不同 的意见[11，12]。第三，最近（2001 年），王鸣对分片检验数学提法做出重要的发展 [13]，阐明了分片检验做为一个收敛准则提法的充分必要条件是通过分片检验的单元 函数还应满足弱超逼近性（weak superapproximation）和弱连续性（weak continuity）。 王鸣验证了文[6]列举的通过分片检验但不收敛的反例不满足这两个条件。王鸣的工 作可以结束人们对分片检验条件的种种疑惑，但是，还没有明确单元函数的弱超逼 近性和弱连续性的力学意义，距离建立完整力学提法还有一步之遥。是否力学上在 构造单元时已经蕴含了这些条件，例如，构造单元位移函数除协调性外一般都要求 含刚体和常应变模式和无多余零能模式。目前，关于有限元收敛性和分片检验的研 究还仅限于二维/三维（2D./3D.）弹性力学和薄板问题，而止于轴对称问题[10]。
此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M 检验[7] 和 IPT 检验[8]等， 1995 年建立了 C0 类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997 年基于加权 Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但
1
是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例 如，分片检验)又缺少严格的数学基础。有限元的发展特别需要分片检验能成为一种 实用的先验性收敛准则，即可用于检验单元收敛性又可用于指导设计收敛的单元， 而不是象广义分片检验和现在的各种收敛性充分条件需要对单元逐个进行收敛性检 验。
分片检验原来的提法是将对应常应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至 少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片（图 2.3）的边界位移，如果求得 的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过常应力分片检验。
此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M 检验[7] 和 IPT 检验[8]等， 1995 年建立了 C0 类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997 年基于加权 Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但
1
是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例 如，分片检验)又缺少严格的数学基础。有限元的发展特别需要分片检验能成为一种 实用的先验性收敛准则，即可用于检验单元收敛性又可用于指导设计收敛的单元， 而不是象广义分片检验和现在的各种收敛性充分条件需要对单元逐个进行收敛性检 验。
分片检验原来的提法是将对应常应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至 少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片（图 2.3）的边界位移，如果求得 的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过常应力分片检验。
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荷f(x)。x=0 端固定，x=L 端受端点集中力P。
设位移u(x)满足： (i) u(0)=0 (位移边界条件) (ii) u(x) 在[O, L]上连续（协调条件） (iii) 使总势能取最小值。
总势能=变形能—外力之功
p (u)
1 2
L 0
EA(u)2 dx
L 0
f
udx
P u(L)
AB BC CD DA
以及沿边AB：δu=δv=0
LX -1 0 1 0
则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为：
LY 0 -1 0 1
T
0
x
0
y
x y
yx
f f
x y
0
y x
沿BC：σy=τxy=0 沿CD：σx=τxy=0 沿AD：σy=q,τxy=p
y
y
dx
dy
LY
ds
格林公式
y, v
n
A (fx, fy)
q(x) P(x) D
n
B
x, u
O
C
n
图 3-3
T
0
y
uv
x y
xy
x
（其中LX，LY 为区域Ω之边界Г 的外法线 n 的方向余弦）。
总势能πP 的驻值条件为：
P
(1
2
T
E
tdx
dy)
u v
T
f f
x y
t
L 0
f
(u
u)dx
P u(L)
u(L)
考察两总势能函数之差
P (u u) P (u)
L 0
EAuudx
L
0
f
udx
PuL
1 2
L 0
EA(u)2 dx
P
1 2
L 0
EA(u ) 2
dx
因πP(u) 取最小值，即 P (u u) P (u) 0 的充分必要条件是：
pA
yA
pB
yB
PA
rA rB
PB
o
x （c）
p 0
图３－１
最小势能原理：
在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中，满足平衡条件的位移 使总势能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳定的。
最小势能原理和平衡方程是否等价？
f(x) Ｏ
Ｌ
Ｐ x, u
２. 无限自由度系统 弹性体
图 3-2
(1) 轴向受拉的直杆。 设杆长为Ｌ，截面积为Ａ，弹性模量为 E 轴向分布载
对任意满足(3-1-2)的δu(x) 有：
L
L
P EAuudx f udx PuL 0
0
0
(3-1-3)
u(0) 0 (3-1-2)
L
L
P EAuudx f udx PuL 0
(3-1-3)
0
0
若假定 u’’(x) 存在、连续，则对（3-1-3）分部积分一次，并利用（3-1-2）, 可得到
① 由势能取驻值可以推出平衡方程。 反之也对，说明两种描述方法在力学上等 价。
② 两种描述方法对边界条件的要求 不同。用微分方程描述时，u必须满足：
EAu f 0 （平衡方程）
可微性）要求不同。用微分方程描述时 要求u(x) 有连续的二阶导数（记作 u∈C2(0, L)）。而用最小势能原理描述 时，为了保证变形能存在，要求u’(x)平 方可积（记作u∈H１(0, L)）
力为q(x)，切向力为p(x)。 n
P
u, v
1 2
T
E
tdxdy
(能量泛函)
u v
T
f f
x y
tdxdy
uT p
AD
v
q
tdx
u∣AB=v∣AB=0
x
1 T E 1 T
2
2
dxdy
x
x
E T E
dxdy LX ds
T
E
0
y
dxdy
(3-1-1)
u(x)即为该问题的解
设：u(x)+δu(x)为不同于u(x) 的另外一种位移分布函数，也满足上述的位移边界条件和 协调条件 ，则
u(x) u( x) x0 u(0) u(0)
u(0) 0 (3-1-2)
将u(x)+δu(x)代入总势能函数
p (u
u)
1 2
L 0
EA(u u)2 dx
(2) 梁的平面弯曲
总势能和强制边界条件为
v q(x)
P
(v)
1 2
L 0
EI (v)2
L 0
q
vdx
Q
v(L)
M
v(L)
Ｏ
L EAu f udx EAu(L) Pu(L) 0 (3-1-4)
0
(3-1-4) 式对任意δu(x) 都成立的充分必要条件是：
用最小势能原理描述时，要求函数满
EAu f 0 （平衡方程）
足位移边界条件 u(0) 0 而力边界条 件将作为势能取驻值的自然结果。
EAu(L) P 0 （力边界条件） ③两种描述方法对函数的光滑程度（即
第三章 最小势能原理和分片插值
(有限单元方法的核心内容之一)
在这一章中我们将介绍： • 最小势能原理及具体应用； • 同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系； • Ritz方法在单元内的应用 • 两种最常用的插值形式（Lagrange型和 Hermite型）； • 协调的位移型单元的收敛条件。
y, v
m
j
k l
y,v l
2b
2a
y’ 0’
k x’
A B
n
s
i
x, u
i
0
0
j x,u
§3-1最小势能原理
平衡问题，可以至少用以下叁种不同的方式加以描述：
（i）平衡方程
A
（ii）虚位移原理
（iii）总势能取驻值（函数的极值问题）
F(x,y)=0
B
1. 有限自由度系统 质点系
图3-1(a)为两个重分别为PA, PB 的小球，由 不计重量，弹性系数为 k 的弹簧相连，放置在光
dxdy
uT p
AD
v
q
tdx
(3-1-5)
uT v
x 0
y
T
0
y
x
x y
yx
f f
x y
tdx
dy
LX 0 LX
0 LY LY
uv
T
x y
yx
tds
AD
u v
T
qptds
0
略去了积分过程
注意到沿边界Г，外法线 n的方向余弦为
滑的曲面F(x,y)=0上。该系统的平衡问题可
由以下三种方法来描述：
（a）
A
T
T’ B
NA
PA
y
NB PB
(1) 平衡方程 (2) 虚位移原理
A: X 0 B: X 0
o
Y 0
Y 0 T kl0 AB
pArA
pBrB
T AB
0
x （b）
A T
T’ B
y
(3) 总势能取驻值
p
1 2
kAB
l0
2
u(0) 0 EAu(L) P 0
（位移边界条件） （力边界条件）
（Essential Boundary Condition） (Natural Boundary Condition )
(2) 平面应力问题
正方形区域边长为a，厚度为t，受到体积力 (fx, fy), 边界AB固定。边界BC、CD自由。边界AD的法向