科学解题中常用的六种方法例析
3 例析利用待定系数法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用待定系数法解题题型待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。
所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、利用待定系数法解决函数问题中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。
例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。
7 例析利用割补法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用割补法解题题型所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。
一、“分割”非规则图形为规则图形几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ） A ．3＋64 km 2B ．3－64km 2C ．6＋34 km 2D ．6－34km 2【提示】 【解析】 【评注】例2、如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： （1）该几何体的体积； （2）截面ABC 的面积。
【提示】 【解析】二、将非规则图形“补形”规则图形几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例3、已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________例4、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，则B 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为________．三、几何体的“割补”几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。
4 例析利用换元法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用换元法解题题型解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。
换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
一、利用局部换元，实现简化又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例1、设函数3x 4x )x (f 2+-=，23)x (g x-=，集合}0))x (g (f x {M >=，}2)x (g x {N <=，则N M 为（ ）A ．),1(∞+B ．)1,0(C ．)1,1(-D ．)1,(-∞ 【提示】 【解析】 【评注】例2、设对一切实数x ，不等式2222224(a 1)2a (a 1)x log 2x log log 0a a 14a ++++>+恒成立，则a 的取值范围为__________例3、设0a >，求：2a 2x cos x sin )x cos x (sin a 2)x (f -⋅-+=的最大值和最小值。
科学解题中常用的六种方法例析
科学解题中常用的六种方法例析科学试题侧重对学习和研究方法的考查，本文主要归纳了几种重要的的解题方法，供同学们参考。
一、控制变量法两个以上的因素影响一个变化过程的现象在自然界十分多，在物理学中这种问题则采取控制变量法，也就是只让其中一个因素变化，而控制其他因素不变，考察这个变化的因素与这个变化过程的关系。
例1：小蓝在观察提琴、吉他、二胡等弦乐器的振动时猜测：即使在弦紧张程度相同的条件下，发声的音调高低还可能与弦的粗细、长短及弦的材料有关，于是他想通过实验来探究一下自己的猜想是否正确，下表是她在实验时控制的琴弦条件：1）如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，你认为她应该选用表中编号为的琴弦2）探究过程通常采用下列一些步骤：①分析归纳；②实验研究；③提出问题（或猜想）④得出结论等。
你认为小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是。
解析：如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，就得控制琴弦的长度和琴弦的材料不变，所以选择A和B小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是③②①④。
例2：晒在太阳下的湿衣服会变干，衣服上的水蒸发掉了，请你根据这一现象提出问题并验证？1）提出问题：影响蒸发快慢的因素有哪些？根据你的生活经验猜想：①可能与晾晒衣服的时间长短有关；②可能与晾在太阳光下或背荫处有关；③有风的天干的快，可能晾在通风处干的快；④把衣服展开干的快；2）制定计划与设计实验。
按图选两块相同的玻璃板，酒精灯，滴管和一些水3）进行实验与收集数据：①在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中一块玻璃板上的水滴摊平，过一段时间观察，发现摊平的水滴蒸发的快。
②在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中的一块玻璃板放在酒精灯上加热，过一段时间观察，发现加热的水滴蒸发的快。
③在两块玻璃板上分别滴一滴水；然后在其中一块玻璃板上方用扇子扇，过一段时间观察，发现被扇子扇的水滴蒸发的快4）分析与论证：影响蒸发快慢的因素有：液体表面积的大小；液体温度的高低；液体表面上空气流动的快慢。
浙教版七年级上册第一章第5节科学探究-实验探究题解题方法总结（有答案）
科学探究一、探究题的答题技巧1、控制变量法对于多因素（多变量）的问题，常常采用控制因素（变量）的方法，把多因素的问题变成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这个因素对事物影响，分别加以研究，最后再综合解决，这种方法叫控制变量法。
变量，是指没有固定的值，可以改变的数。
变量一般有水分，光照，温度，长度，粗细，材料等等2、对照不做处理的一组称为对照组（做处理的一组称为实验组）对照作用的标准答案：①对照②与……（一般指实验组）作对比，得出……③排除……对实验结果的干扰3、对实验材料选择的要求（1）种子：颗粒饱满植物：生长良好，大小高度差不多动物：健康，大小，年龄差不多（2）数量相同且一般为多个例1、某同学在两个同样的花盆中种下大豆种子，并设计了如下实验。
从实验可知：他在研究影响大豆种子发芽的因素是()花盆光线情况温度水分甲向阳处20 ℃充足乙向阳处20 ℃不充足A. 阳光B. 空气C. 温度D. 水分例2、为了探究有关食品腐败的问题。
李敏同学取三个相同的锥形瓶，各加入50 毫升牛奶，高温煮沸后按下表要求进行处理，下列分析错误的是( )甲瓶乙瓶丙瓶瓶口敞开敞开用消毒棉球塞住温度25℃5℃25℃A.实验前将锥形瓶中的牛奶高温煮沸，目的是杀灭原有的细菌B. 甲瓶与乙瓶形成一组对照实验，探究的是温度对食品腐败速度的影响C. 甲瓶与丙瓶形成一组对照实验，实验的变量是牛奶中有无细菌D. 乙瓶与丙瓶形成一组对照实验，实验的变量是瓶口是否敞开例3、某同学在培养皿底部铺上棉花，然后把相同数量的豌豆种子放在棉花上。
实验过程与A. 该实验的目的是探究光照、温度和水分对种子萌发的影响B. 对比甲、丁两组实验，可以得出种子的萌发与水分有关C. 该实验选用具有活胚且大小相同的豌豆种子作为实验材料，属于控制变量D. 对比乙、丙两组实验，可以得出种子的萌发与光照有关4、探究环节一般情况下，探究问题，提出问题，假设和结论都可以用一句话来回答，只是句式不同。
一版 例析解化学平衡计算题的常用方法 罗功举 3.27
例析解化学平衡计算题的常用方法湖北罗功举化学平衡计算涉及化学平衡知识、气体有关内容、计算技巧方法等，是学科内重要的综合知识点之一，常见题型包括求反应物转化率、产物的产率、平衡时各组分的量或分数、反应前后气体的压强或密度之比、混合气体的平均相对分子质量等。
下面主要从解题方法方面展开阐述，供参考。
一、极限法：此法适合于计算某物质的取值范围、比较判断两个平衡是否为等效平衡等。
解题时，可以将反应物或生成物按反应方程式中化学计量数比换算成同一边的物质的某一量，再结合题意进行比较判断。
例1在温度、容器体积不变的条件下，起始时，c(X2)=0.1mol·L–1，c(Y2)=0.3mol·L–1，c(Z)=0.2mol·L–1，发生可逆反应：X(g)+3Y2(g)2Z(g)，达到平衡时各物质的浓度可2能正确的是（）A．c(X2)=0.15mol·L–1，c(Y2)=0.45mol·L–1B．c(X2)=0.2mol·L–1，c(Y2)=0.6mol·L–1C．c(X2)=0.24mol·L–1，c(Y2)=0.24mol·L–1D．c(X2)=0.15mol·L–1，c(Y2)=0.15mol·L–1分析：按极限转化思想，将X2、Y2的量全部往右转化，得Z的量浓度的极大值为0.4mol·L–1；将Z的量全部往左转化，得X、Y2的量浓度的极大值分别为0.2mol·L–1、0.6mol·L2–1。
根据可逆反应“不可能完全转化”的特点，知平衡时各物质的浓度应界于上述取值范围内；但要注意排除D选项，D选项中X2的量浓度比原来大，而Y2的量浓度比原来小，这与化学反应规律显然是矛盾的。
答案A二、差量法：适合于反应前后整个体系或某物质的量上发生变化的问题。
运用差量法解题的关键，在于从给出的数据中找出发生反应时，各物质的相关量(n、P、V)间的关系，统一转化为△n来计算。
例析求函数解析式的方法与技巧
解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀例析求函数解析式的方法与技巧◉山东省乐陵第一中学㊀张㊀伟㊀㊀求函数解析式 是«普通高中教科书 数学 必修一»(人教版)的重要内容,是进一步学习 基本初等函数 和 函数的应用 的基础．在高考中,通常不会直接考查函数的解析式,但解析式往往是解函数题的基础,所以学习和掌握求函数解析式的方法与技巧非常重要．在具体解题中,可以尝试运用以下六种方法．１配凑法配凑法是一种结构化的方法,即根据已知函数的类型及解析式的特征,配凑出复合变量的形式,从而求出解析式．具体方法是:由已知条件f [g (x )]＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),即可得到f (x )的表达式．使用配凑法时,要注意定义域的变化．配凑法的关键在于如何 配 和 凑 ,让题目的条件转化为容易求解的形式,方法灵活多样,不同的题目,配凑的方法不同．例１㊀已知f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２,求函数f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２＝(x ＋１)２－５(x ＋１)＋６,所以f (x )＝x ２－５x ＋６．方法与技巧:配凑法的技巧大多是配凑公式,例如本题中就是化用了公式(a －b )２＝a ２－２a b ＋b２,只需把原复合函数解析式配凑成关于x ＋１的多项式即可．例２㊀已知f (x ＋１x )＝x ２＋１x２,求f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１x )＝x ２＋１x２＝(x ＋１x )２－２(x ʂ０),且x ＋１xȡ２所以f (x )＝x ２－２(x ȡ２,或x ɤ－２)．方法与技巧:本题的方法是把原复合函数解析式的右边配凑成关于x ＋１x的多项式,同时注意函数的定义域．２换元法换元法即变量替换,其实质就是转化．通过转化达到 化繁为简㊁化难为易㊁化陌生为熟悉 的目的．对于形如y ＝f [g (x )]的函数解析式,令t ＝g (x ),从中求出x ＝φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),最后将t 换成x ,得到f (x )的解析式．换元时要注意新元的取值范围．例３㊀已知a f (４x －３)＋b f (３－４x )＝２x ,a ２ʂb ２,求函数f (x )的解析式．解:令４x －３＝t ,则２x ＝t ＋３２,所以㊀㊀㊀㊀a f (t )＋b f (－t )＝t ＋３２．①将①中的t 换成－t ,得㊀㊀㊀㊀a f (－t )＋b f (t )＝－t ＋３２．②①ˑa －②ˑb ,得(a ２－b ２)f (t )＝a ＋b ２ t ＋３２(a －b )．由a ２ʂb ２,得a ２－b ２ʂ０．所以f (t )＝１２(a －b )t －３２(a ＋b )．故f (x )＝１２(a －b )x －３２(a ＋b )．方法与技巧:因为本题的左边有多项式４x －３,所以首先将４x －３换为t ,然后再将t 换成－t ,求出f (t )后再将t 换成x ,最后得到f (x )的解析式．例４㊀已知f (x )是对除x ＝０及x ＝１以外的一切实数都有意义的函数,且f (x )＋f (x －１x)＝１＋x ,求函数f (x )的解析式．解:f (x )＋f (x －１x )＝１＋x ．③③式中令x ＝t －１t (t ʂ０,t ʂ１),则x －１x ＝１１－t,所以f(t －１t )＋f (１１－t )＝２t －１t．④８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀③式中令x ＝１１－t (t ʂ０,t ʂ１),则t ＝x －１x,所以f(１１－t )＋f (t )＝２－t１－t．⑤由③式,可得f (t )＋f (t －１t)＝１＋t ．⑥由④⑤⑥,消去f(t －１t )＋f(１１－t),得f (t )＝１２t ＋１＋２－t １－t －２t －１t éëêêùûúú＝１２t －１t (t －１)éëêêùûúú．所以f (x )＝１２x －１x (x －１)éëêêùûúú．方法与技巧:本题通过对③式的两次换元,巧妙地消去f(t －１t )＋f (１１－t ),求出f (t )后再将t 换回x ,最后得到f (x )的解析式．紧扣表达式的特征设元㊁变形㊁消元是换元法常用的技巧．３待定系数法如果已知所求函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数．具体方法是:先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数．例５㊀已知f (x )是二次函数,且f (０)＝０,f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,求函数f (x )的解析式．解:设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由f (０)＝０可知c ＝０,所以f (x )＝a x ２＋b x ．又f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,所以a (x ＋１)２＋b (x ＋１)＝a x ２＋b x ＋x ＋１．即a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１．所以２a ＋b ＝b ＋１,a ＋b ＝１,{解得a ＝b ＝１２．故f (x )＝１２x ２＋１２x ．方法与技巧:由已知条件可知f (x )是二次函数,所以设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由于推知c ＝０,于是得出a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１,进而根据对应系数相等的关系,求出a ,b 的值即可．例６㊀若二次函数f (x )的顶点坐标为(１,４),其与x 轴的交点为(－１,０),试求函数f (x )的解析式．解法１:设函数f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),则有－b ２a ＝１,４a c －b ２４a ＝４,a －b ＋c ＝０,ìîíïïïïïï㊀解得a ＝－１,b ＝２,c ＝３．ìîíïïï所以f (x )＝－x ２＋２x ＋３．解法２:设f (x )＝a (x ＋m )２＋k ,因为当m ＝－１时,k ＝４,所以f (x )＝a (x －１)２＋４．由f (－１)＝０,得a (－１－１)２＋４＝０,则a ＝－１．故f (x )＝－x ２＋２x ＋３．方法与技巧:本题的两种解法都运用了待定系数法．解法１运用二次函数的一般式f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),通过解方程组求出a ,b ,c 的值代入获解;解法２运用二次函数的顶点式f (x )＝a (x ＋m )２＋k 来求解．它们有异曲同工之妙．４解方程组法已知关于f (x )与f (１x )或f (x )与f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组,求出f (x )．例７㊀已知f (x )满足２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x (x ʂ０),求f (x )．解:㊀㊀２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x ．⑦⑦式中用－x 代替x ,得２f(x ＋１x )＋f (x －１x)＝１－x ．⑧联立⑦⑧,解得f (x ＋１x )＝１３－x ．⑨令x ＋１x ＝t ,则x ＝１t －１,将其代入⑨式,得f (t )＝１３－１t －１＝t －４３(t －１)．所以f (x )＝x －４３(x －１)．方法与技巧:本题根据题设条件用－x 代替x ,构造一个对称方程组,通过解方程组即可得到f (x )的解析式．例８㊀已知函数f (x )满足f (－x )＋２f (x )＝２x,求f (x )的解析式．解:将f (－x )＋２f (x )＝２x中的－x 用x 代换,得f (x )＋２f (－x )＝２－x．联立两式,解得３f (x )＝２x ＋１－２－x．９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀所以f (x )＝２x ＋１－２－x３．方法与技巧:常以f (x )与f (－x ),f (x )与f(１x ),f (x )与f (x ＋a )等构成方程组,消元的目的是为了解方程组．５赋值法赋值法的解题思路是对变量取适当的特殊值,使问题具体化㊁简单化,进而依据结构特点找出一般规律,求出函数解析式．例９㊀已知f (０)＝１,f (a －b )＝f (a )－b (２a －b ＋１),求函数f (x )的解析式．解:令a ＝０,得f (－b )＝f (０)－b (１－b )＝b ２－b ＋１．令－b ＝x ,得f (x )＝x ２＋x ＋１．方法与技巧:从本题可以看出赋值法的解题规律．①当所给函数方程含有两个变量时,可以考虑对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再运用已知条件,即可求出函数解析式;②根据题目的具体特征来确定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是为了使问题具体化㊁简单化,进而找出规律,求出函数解析式．例１０㊀已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝２f (x )c o s y ,且f (０)＝a ,f(π２)＝b ,求函数f (x )的解析式．解:令x ＝０,y ＝t ,得f (t )＋f (－t )＝２a c o s t ．⑩令x ＝π２＋t ,y ＝π２,得f (π＋t )＋f (t )＝０． 令x ＝π２,y ＝π２＋t ,得f (π＋t )＋f (－t )＝－２b s i n t ．⑩＋ － ,得f (t )＝a c o s t ＋b s i n t ．所以f (x )＝a c o s x ＋b s i n x ．方法与技巧:本题所给的条件中出现了f (x ),f (x ＋y ),f (x －y )三种函数表达式,情况比较复杂,又已知f (０),f (π２)及考虑到还有c o s y ,所以在运用赋值法的过程中,充分挖掘和利用了题设中的隐含条件,做到了化隐为显㊁化繁为简．本题在运用赋值法的同时,还用到了构造方程㊁换元㊁配凑等多种手段．６代入法代入法求函数解析式的特点是,知道已知函数图象或者方程曲线的一个点A ,通过题目中的关系,用所求的函数图象或者方程曲线上点B 的坐标表示出点A 的坐标,再将点A 的坐标代入已知的函数或者方程中,即可求出所需的函数解析式或曲线方程．例１１㊀已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝２对称,并且在[０,２]上的解析式为y ＝２x －１,求函数f (x )在[２,４]上的解析式．解:设M (x ,y )x ɪ[２,４]在函数f (x )的图象上,点M ᶄ(x ᶄ,yᶄ)与M 关于直线x ＝２对称,则x ᶄ＝４－x ,yᶄ＝y ．{又y ᶄ＝２x ᶄ－１．所以y ＝２(４－x )－１,即y ＝７－２x ．故函数f (x )在[２,４]上的解析式为y ＝７－２x ．方法与技巧:从本题的求解过程可以看出,求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,采用代入法比较简捷．图１例１２㊀如图１,某地有一座形如抛物线的石拱桥,已知其跨度为３７．４m ,拱高为７．２m ,求此石拱桥所在抛物线的解析式．图２解:如图２,以抛物线的对称轴为y 轴,以宽A B 的中点为原点,建立平面直角坐标系x O y ,令抛物线的解析式为y ＝a x ２＋７．２．将点B (１８．７,０)代入,得０＝(１８．７)２a ＋７．２．解得a ＝－７．２１８．７２＝－７２０３４９６９．所以,此石拱桥所在抛物线的解析式为y ＝－７２０３４９６９x ２＋３６５．方法与技巧:本题属于抛物线的实际应用题,体现了数形结合的思想,解题技巧在于把抛物线放在合适的平面直角坐标系中,设出相应的解析式,这样能够使解题过程变得简洁．通过对上述典例的解析,我们可以看到,娴熟地运用 六法 可以应对绝大多数求函数解析式类的题型, 六法 各自既有其独特性,相互之间又有联系,有时一种题型可以用几种方法来求解,达到一题多解的效果．Z０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
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科学解题中常用的六种方法例析科学试题侧重对学习和研究方法的考查，本文主要归纳了几种重要的的解题方法，供同学们参考。
一、控制变量法两个以上的因素影响一个变化过程的现象在自然界十分多，在物理学中这种问题则采取控制变量法，也就是只让其中一个因素变化，而控制其他因素不变，考察这个变化的因素与这个变化过程的关系。
例1：小蓝在观察提琴、吉他、二胡等弦乐器的振动时猜测：即使在弦紧张程度相同的条件下，发声的音调高低还可能与弦的粗细、长短及弦的材料有关，于是他想通过实验来探究一下自己的猜想是否正确，下表是她在实验时控制的琴弦条件：1）如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，你认为她应该选用表中编号为的琴弦2）探究过程通常采用下列一些步骤：①分析归纳；②实验研究；③提出问题（或猜想）④得出结论等。
你认为小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是。
解析：如果小兰想探究弦发声的音调与弦的粗细的关系，就得控制琴弦的长度和琴弦的材料不变，所以选择A和B小兰完成本探究的全过程，所采取步骤的合理顺序应该是③②①④。
例2：晒在太阳下的湿衣服会变干，衣服上的水蒸发掉了，请你根据这一现象提出问题并验证？1）提出问题：影响蒸发快慢的因素有哪些？根据你的生活经验猜想：①可能与晾晒衣服的时间长短有关；②可能与晾在太阳光下或背荫处有关；③有风的天干的快，可能晾在通风处干的快；④把衣服展开干的快；2）制定计划与设计实验。
按图选两块相同的玻璃板，酒精灯，滴管和一些水3）进行实验与收集数据：①在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中一块玻璃板上的水滴摊平，过一段时间观察，发现摊平的水滴蒸发的快。
②在两块玻璃板上分别滴一滴水，把其中的一块玻璃板放在酒精灯上加热，过一段时间观察，发现加热的水滴蒸发的快。
③在两块玻璃板上分别滴一滴水；然后在其中一块玻璃板上方用扇子扇，过一段时间观察，发现被扇子扇的水滴蒸发的快4）分析与论证：影响蒸发快慢的因素有：液体表面积的大小；液体温度的高低；液体表面上空气流动的快慢。
使蒸发加快（或减慢）的措施（或手段）：增大（减少）液体的表面积，提高（降低）液体的温度，加快（减慢）液体表面上的空气流动，都可以影响液体的蒸发。
例3：要研究水蒸发和温度的之间关系，给出了容器A、B和C，如图所示，其中容器B和容器C完全相同，另外还有三角架，酒精灯，小型电风扇，火柴、石棉网以及水。
（1）这些东西中，找出需要的物件。
（2）说说你怎么做这个实验。
分析：需要的物件的有：容器B和C，三角架，酒精灯、火柴、石棉网以及水。
向容器B和C中加入相同多的水，将其中的容器B放在垫有石棉网的三角架上，用酒精灯加热，过一段时间观察，发现容器B中的水比C容器中的水蒸发得快。
二、理想实验法理想实验法是指在做某个实验的时候，忽略外界一切与实验无关的因素，是实验的一种假设因素，假设某些真实的因素不存在，来达到实验的目的，得出结论。
例4：牛顿第一定律是不能用实验直接证明的，而是在经验事实的基础上，伽利略、牛顿等科学家通过研究阻力对小车运动的影响，推理得出的结论．下列探究过程中与上述方法相同的是（）A．放在玻璃钟罩内的电铃正在发声，把玻璃钟罩内的空气抽去—些后，铃声明显减弱，得到真空不能传声的结论；B．把正在发声的音叉放到平静的水面上，看到溅起水花，说明发声的物体在振动；C．取相同的瓶子，倒入不同深度的水，吹瓶口时发出的声调不相同，说明声调与空气柱的长度有关；D．把发声的收音机装在塑料密封袋内放入水中还能听到声音，说明水能传声。
分析:我们并不能把玻璃钟罩内的空气抽成绝对真空，所以实际上我们不可能创造出完全真空的实验条件，所以得出真空不能传声结论并不是实际实验的结果，而是在有一定空气条件下，空气越稀薄传声性能越差的规律基础上推理出来的．所以这种方法与牛顿第一定律经历了相同的实验和思维过程．而Ｂ是转化的方法；Ｃ体现了控制变量的思想；而Ｄ就是直接实验．解：选Ａ．点评：推理的基础是在近似条件下得出一定的规律，所以，实验基础必须牢固，对于同学们来说，分析实验规律得出正确结论是关键，而对于理想情况下的结论，有了前面的基础也就水到渠成了．实际上实验和推理是密不可分的，只有实验而没有合理而大胆的推理，我们也就不能得到更加本质的认识．例5：以下哪些是运用了理想实验法进行研究的？A．爱因斯坦提出光子假说B．麦克斯韦提出电磁场理论C．卢瑟福提出原子的核式结构模型D．伽利略得出力不是维持物体运动原因的结论解析：选D。
伽利略是通过假设无一切阻力的理想状态而得出力不是维持物体运动原因的结论的。
三、等效替代法等效替代法指在保证最终效果相同的情况下，用较为简便的事件或条件将原事件或条件代替转化来考虑问题。
如利用电压源和电流源的等效变换简化电路。
运用等效替代法处理问题的一般步骤为：（1）分析原事物（需研究求解的物理问题）的本质特性和非本质特性。
（2）寻找适当的替代物（熟悉的事物），以保留原事物的本质特性，抛弃非本质特性。
（3）研究替代物的特性及规律。
（4）将替代物的规律迁移到原事物中去。
（5）利用替代物遵循的规律、方法求解，得出结论。
例6：物理研究中常用到“控制变量法”、“等效替代法”、“理想实验法”等科学方法．在下列研究实例中，运用了“等效替代法”的是（）A．比较物体运动快慢时，在相同时间内比较物体通过的路程B．探究牛顿第一定律的实验C．研究滑动摩擦力与压力大小关系时，保持接触面的粗糙程度不变D．在力的合成中，引入合力的概念解：A．比较物体运动快慢时，在相同时间内比较物体通过的路程，采用的研究方法是控制变量法，不符合题意；B．探究牛顿第一定律的实验，采用的是极端假设法，是一种理想实验，不符合题意；C．研究滑动摩擦力与压力大小关系时，保持接触面的粗糙程度不变，采用的研究方法是控制变量法，不符合题意；D．在力的合成中，引入合力的概念，采用的是等效替代法，符合题意；故选D．点评：解决此类物理学方法问题，要结合研究对象判断所用的研究方法．例7：我们要比较两电流的大小，可以通过观察流过同一灯泡时其明亮程度得知，这种方法叫做“转换法”．以下探究实验属于转换法的是（）A．为了形象直观地描述磁场，引入磁感应线B．探究物体吸热与哪些因素有关C．探究两串联电阻总电阻的大小相当于一个较大的电阻D．通过两磁体吸引大头针的多少来比较其磁性的强弱分析：转换法是中学物理中一种重要的研究方法，也就是借助某些物体的特性来研究看不到或不易观察到物质，形象直观．解：A、为了形象直观地描述磁场，引入磁感应线，采用的是“等效替代法”，不符合题意．B．探究影响物体吸热的因素时，使用了控制变量法，故此选项不符合题意；C．探究两串联电阻总电阻的大小相当于一个较大的电阻，采用的是“等效替代法”；符合题意．D．通过两磁铁吸引大头针的多少来比较其磁性的强弱，采用的是转化法；符合题意．故选D．点评：本题主要考查学生对一些常用的物理学方法的了解和掌握，此题还涉及到类比法、控制变量法、模型法．例8：探究平面镜成像时，由于平面镜成_____像，无法用光屏承接。
为了找到像的位置，小马用透明玻璃代替平面镜，将一支点燃的蜡烛放在玻璃前，将另一支未点燃的饿同样的蜡烛放在玻璃后面，使它与点燃的蜡烛的像的位置__________。
这在物理学中称作等效法。
分析：（1）要解决此题，需要掌握平面镜成像的特点．同时掌握等效法在实验中的应用，为了探究平面镜的成像特点在实验中用一个与物体完全相同的蜡烛放在像的位置．（2）要解决此题，需要掌握凸透镜成像的规律内容．凸透镜成像规律：物距小于焦距成正立放大虚像．应用是放大镜．物距大于一倍焦距小于二倍焦距成倒立放大实像，像距大于二倍焦距．应用是幻灯机、投影仪．物距等于二倍焦距成倒立等大实像，像距等于二倍焦距．物距大于二倍焦距成倒立缩小实像，像距大于一倍焦距小于二倍焦距．应用是照相机．解：（1）平面镜成的像是反射光线的反向延长线的交点，所以是虚像，不能成在光屏上．为了找到像的位置，并判断像与物之间的关系，实验中用一个相同的蜡烛放在像的位置，使蜡烛与像重合．这种方法是等效法．故答案为：虚；重合．（2）凸透镜成的是倒立的实像，而表格中f＜u＜2f时，成了正立的实像，所以错误．应将正立改为倒立．点评：此题主要是探究平面镜成像的特点与凸透镜成像的特点，其中考查了平面镜成像的操作，为了确定像与物的关系，实验中用了一个相同的蜡烛，这种方法是等效法．同时考查了凸透镜成像的规律，要熟记规律的内容，总结里面规律性的东西．四、比较法比较法是通过观察，分析，找出研究对象的相同点和不同点，它是认识事物的一种基本方法。
例9：为了比较酱油和醋这两种液体的密度大小，现有器材如下：①托盘天平（已调平衡，不含砝码），②弹簧测力计，③刻度尺，④两个相同的烧杯，⑤拴着细线的物块A（密度大于两种液体的密度），⑥立方体物块B（密度小于两种液体的密度）．请写出用两种方法比较它们密度大小所需器材的组合．方法一：；方法二：．如果是在家里，你能迅速而又巧妙地完成这件事吗？说说看，你是怎么做的？分析：本题的关键是选择的器材搭配是否合理，引导学生逐一分析各种器材测量的物理量是什么，学生明白了这些知识点，就会正确做出选择．利用手中的器材，测出液体的质量和体积，然后利用公式ρ=mV就可比较两种液体密度的大小．解：在引导学生分析各种器材的作用后，总结如下：方法一：两种液体及①托盘天平（已调平衡，不含砝码）、④两个相同的烧杯，从天平的读数中可比较出两种液体密度大小．方法二：两种液体及④两个相同的烧杯、③刻度尺、⑥立方体物块B，可比较出两种液体密度大小．本题还有第三种方法见（方法三）：两种液体及②弹簧测力计、④两个相同的烧杯、⑤拴着细线的物块A（密度大于两种液体的密度）．在家里用相同容器量取相同体积的酱油和醋，称质量大小，质量小的密度小．点评：本题考查的知识点较多，有天平的使用，刻度尺，弹簧测力计，密度的应用，是一道综合题，本题贴近生活，体现了从物理走向生活这一理念．例10：有两杯不同的液体，现提供如下器材：①托盘天平（已调节平衡，不含砝码），②弹簧测力计，③两个质量和形状完全相同的烧杯，④拴着细线的物块（其密度大于这两种液体的密度），⑤刻度尺。
请你用两种方法比较它们的密度大小。
要求写出：所选用器材的序号，并简要说明比较的方法。
分析：用天平比较液体的密度大小，可用质量和形状完全相同的烧杯分别装相同体积的液体作为砝码，放在两盘，比较其质量大小，质量大的则密度大．用弹簧测力计比较液体的密度大小，可先测出一物体的重力，再分别浸入两种液体中，看弹簧测力计的示数变化，即比较所受浮力大小，体积相同时，所受浮力越大，液体密度越大．解：方法一：所选用器材：①③⑤或①③在两个质量和形状完全相同的烧杯内分别装入这两种不同的液体．用刻度尺测量这两杯液体等高．（或者将这两种不同的液体装满在两个质量和形状完全相同的烧杯中亦可）；将这两杯等体积的液体分别放入已调节平衡的托盘天平的左右盘中．指针偏向的一边质量要大，即该盘杯中所装液体的密度大．方法二：所选用器材②④在两个质量和形状完全相同的烧杯内分别装入这两种不同的液体．用弹簧测力计测出栓细线的物体的重．（此步骤可省略）再将物体分别浸入这两种液体中，读出此时弹簧测力计的示数，其示数越小，表示所受浮力越大，则该杯中所装液体密度大．方法三：所选用器材①②③或①③在两个质量和形状完全相同的烧杯中装入这两种不同液体．将这两杯不同的液体分别放入已调平衡的托盘天平的左右盘中，调节天平中的液体使天平重新平衡．利用刻度尺比较这两杯等质量液体的体积，体积小的那杯所装液体的密度大．点评：此题用不同的器材要比较出两种液体的密度大小，学生要对密度的测量非常熟练，同时还要用到浮力知识来比较．难度较大．考查了学生的综合分析能力和实验能力．五、图象法利用图象这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图象法。