中考数学复习题比例式、等积式的常见证明方法
等积式、比例式的证明
等积式、比例式的证明等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。
因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。
但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。
（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。
等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。
例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE·DF 。
分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：CD DE DF CD ，由等式左边得到△CDF ，由等式右边得到△EDC ，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。
因为∠CDE 是公共角，只需证明∠DCE=∠F 就可证明两个三角形相似。
证明略（请同学们证明）提示:D 为直角三角形斜边AB 的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。
有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。
例2．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。
求证：BP 2=PE·PF 。
分析：因为BP 、PE 、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC ，D 是BC 中点，由等腰三角形的性质知AD 是BC 的垂直平分线，如果我们连结PC ，由线段垂直平分线的性质知PB=PC ，只需证明△PEC ∽△PCF ，问题就能解决了。
证明：连结PC在△ABC 中，∵AB=AC ，D 为BC 中点，∴AD 垂直平分BC ，∴PB=PC ， ∴∠1=∠2，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，∴∠3=∠4，∵CF ∥AB ，∴∠3=∠F ，∴∠4=∠F ，又∵∠EPC=∠CPF ，∴△PCE ∽△PFC ，∴PC PF PE PC ，∴PC 2=PE·PF ，∵PC=PB ， ∴PB 2=PE·PF 。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
【最新】九年级数学-9.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法--精选练习
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AEAD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：ABAE ＝AC AD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q.求证：PD·EQ ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD. 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC .∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD .2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴ABAE＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQEQ ＝CDAE.∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BDAE .∵点D为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .。
15.比例式、等积式的常见证明方法
典例精解
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC 的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
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比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学 生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人 眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许 多等积式的证明也是有规律可循的。
典例精解
F
∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
变式题
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∴∠D＝∠B＝90°－∠C
∵∠BAC＝90°，
中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法
F DCB A中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法1、添加平行线证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。
（1） 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。
在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。
例1：如图，已知AD 是A B C 的外角平分线，AD 与BC 的延长线交于D 。
求证：BD:CD=AB:AC例2：如图，点D 在A B C 的AC 边上，且AD=BE 。
求证:E F A C F DB C=.例3：如图，已知BD:DC=5:3,E 为AD 的中点，求BE:EF 的值.(2)添加三角形外的平行线 添加的方法是过端点作平行线 例4：如图，已知在A B C中，AD 平分B A C ∠，求证：A B B D A CD C=.FDCBEA FEDCBA DCBAE FD CB A例5：已知在A B C 中，AD 是中线，直线CEF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE:ED=2AF:BF.例6：已知A B C 中，AD 为中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE=AF,EF 交AD 于G ，求证：G E A C G FA B=.2、利用三角形相似的性质。
例7：如图，已知A B C中，090A C B∠=，D 是AB 的中点，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2D C DE D F=.例8：如图，在A B C 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 边上的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H.求证：2D F G F H F=.2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．HGFEDCBAFE DCBA FECBDA例9：在A B C中，090A∠=，A DB C⊥于D ，D EA B⊥于点E ，求证：22A B B E A CA E=.例10：如图，已知P 是平行四边形的对角线BD 上一点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于F ，交CD 于E ，求证：2P A P E P F=⋅.例11：如图，已知ABCD 是平行四边形，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA 、BC 的 延长线于Q 、R ，交CD 、AD 于点S 、T.求证：P Q P T P R P S⋅=⋅.例12:已知在A B C 中，AD 是角平分线，AE 是外角平分线，交BC 的延长线于点E ，T 为DE 的中点.求证：2T EB TC T=⋅.E DCBA PFEDCB A TSPR QDCBAFETDCBA练一练1、如图，在A B C中，A C B ∠=090，C DA B⊥于D ，AB=13，AD=4，那么CD=2、如图，在Rt A B C 中，CD 是斜边AB 上的高，且BD=2，求AD 的长.3、如图，已知A B C中，90,A A D B C∠=⊥于D ，D EA B⊥于E ，求证：22A BB E A CA E=.DCBAEDCBADCBA。
(贵州版)北师大版2020年中考数学专题9.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝ACAD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三 找中间比利用等积式代换 4．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q.求证：PD·EQ ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD. 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC .∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE ＝ACAB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQEQ＝CDAE.∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BDAE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .。
人教版九年级数学下册复习类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .。
初中数学中考类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法
证明：(1)∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC. ∵∠BAC＝2∠B， ∴∠B＝∠DAB. ∵DF∥AB， ∴∠ADF＝∠BAD.
∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD. ∴△FAD∽△DAB. ∴ FA = AD .
AD AB ∴AD2＝AF·AB.
(2)AD·BE＝DE·AB. (2)∵∠B＝∠DAB， ∴DA＝DB. ∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B， ∴△CAD≌△EBD. ∴AC＝BE.
∴ BD = AD . BC BD
∴R t △A DB ∽R t △DB C. ∴∠ADB＝∠DBC. ∴AD∥BC.
(2)过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E.请完善图 形并求证：CD2＝BE·BC.
(2)如图所示，∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形 ADCE 是平行四边形，∠AEB＝ ∠BCD.
∵∠E＝∠C，∠B＝∠B， ∴△EBD∽△CBA. ∴ DE = BD .
AC AB ∵BD＝AD，AC＝BE， ∴AD·BE＝DE·AB.
◆类型二 利用等线段代换 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 DB 延长线上的一点，且 EA＝EC，分别延长 AD、EC 交于点 F，且∠AEC ＝2∠BAC.求证： EC·CF＝AF·AD.
证明：如图，过点 C 作 CG∥AB 交 DE 于点 G.
∵CG∥AB， ∴△DCG∽△DAE. ∴ DC CG .
AD AE
又∵CG∥AB， ∴△CFG∽△BFE. ∴ CG CF .
BE BF ∵AE＝BE，
∴ DC CF . AD BF
∴DC·BF＝CF·AD.
证明：∵BD∥直线 m，
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类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法
——直接法、间接法一网搜罗
◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明
1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)若FD＝2FB，求
FD
FC的值；
(2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．
◆类型二利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB
＝∠ACB.求证：
AB
AE ＝
AC
AD.
◆类型三找中间比利用等积式代换
4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.
参考答案与解析
1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F
＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧
AD＝CD，
∠ADG＝∠CDG，
DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝
∠DCG，AG＝CG.
(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴
AG
FG＝
EG
AG，∴AG
2＝GE·GF.
2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.
(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝15∶215＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝53，∴
S△BDC
S△BCA
＝
BC2
AB2＝
1
5，∴S△BDC＝
1
5×
1
2×215×15＝3.∵△BDF∽△DCF，∴
S△FBD
S△FDC
＝⎝⎛⎭⎫
BD
CD
2
＝
1
4，即
S△BDC
S△FDC
＝
3
4.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4.
3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴
AB
AE＝
AC
AB.又∵AB＝AD，∴
AB
AE＝
AC
AD.
4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴
CE
BE＝
AE
CE，∴CE
2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴
PE
BE＝
AE
DE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE
2＝PE·DE.。