非线性系统中的混沌之美
非线性动力学系统的混沌现象研究
非线性动力学系统的混沌现象研究在当代科学领域中，非线性动力学系统的混沌现象一直是比较热门的话题。
这个话题不仅影响了自然科学领域，也对社会科学领域有一定的影响。
本文将探讨非线性动力学系统的混沌现象研究，旨在深入了解这一重要科学问题。
非线性动力学系统是一类包括非线性微分方程、差分方程、递归方程等在内的系统。
这类系统具有多种复杂行为，其中混沌现象是最为突出的表现之一。
混沌是指系统表现出的随机、无规则的运动行为，具有高度的敏感性和极大的不确定性，它在科学、工程、生物学、社会科学等众多领域具有重要应用。
大约在20世纪60年代左右，混沌现象被科学家所发现和研究。
受到混沌这个词本身含义的影响，混沌似乎不是好事情，但是，非线性动力学系统的混沌现象却有着广泛的实际应用。
例如在工程控制中，混沌现象可以为自适应控制、噪声降低、各向异性滤波等提供有效手段。
在社会科学领域，混沌理论也被广泛应用于敌我互动、经济波动、政治变化等方面的研究。
混沌现象的研究不仅扩展了人类对自然、社会的认识，也在一定程度上对人类行为和社会发展提供了重要的理论支持。
非线性动力学系统的混沌现象与线性系统有所不同。
线性系统的稳定性只与系统的本征值有关，而非线性系统的本征值是不确定的，系统的稳定性因此也显得不稳定。
此外，非线性动力学系统还存在着吸引子、周期解等现象，在不同的初始条件下，系统表现出不同的稳定性和动力学特征。
由此引发了混沌现象的相关研究。
针对非线性动力学系统的混沌现象，科学家们提出了一些定量分析方法。
其中最为常见的方法是用分形维数和李雅普诺夫指数来描述混沌现象。
分形维数是描述复杂几何结构的量度，可以用来衡量混沌吸引子的几何质量。
李雅普诺夫指数则是描述混沌轨迹敏感性的指标，它可以反映系统状态随时间演变的速率。
除此之外，还有一些相应的图像处理和非线性数据分析方法，如小波分析、自回归模型和谱分析等，它们在非线性动力学系统的混沌现象研究中也发挥了重要作用。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。
根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。
实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。
对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。
因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。
0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。
应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。
流体的非线性变形和混沌现象
流体的非线性变形和混沌现象流体是一种具有特殊性质的物质，它的变形和流动过程中存在着一些非线性现象和混沌行为。
这些现象在流体力学研究中具有重要的意义，对了解流体的行为和性质起着重要的作用。
本文将从流体的非线性变形和混沌现象两个方面进行探讨。
一、流体的非线性变形在流体的力学性质中，非线性变形是一种重要的现象。
传统的弹性体力学理论主要研究线性弹性体的变形行为，即物体在受力作用下的变形与所受力的关系呈线性关系。
但是，在某些情况下，流体的变形行为不遵循线性关系，就会出现非线性变形。
非线性变形的一个典型例子是黏弹性流体。
黏弹性流体是介于固体和流体之间的一种特殊物质，它在受力时既有像固体一样的弹性变形，又有像流体一样的黏性流动。
黏弹性流体的变形行为往往不符合线性弹性体力学的规律，而是表现为非线性的力学特性。
这种非线性变形的黏弹性流体在工程和生物领域有广泛应用，例如在高分子材料的合成加工和生物细胞的力学特性研究中。
此外，液滴的变形行为也是一种典型的非线性现象。
当一个液滴受到外部作用力时，其形状会发生变化，但这种变形不一定与作用力成线性关系。
液滴的变形行为受到表面张力、粘性阻力和物体间的相互作用等因素的影响，使得变形过程呈现出非线性特性。
这种非线性变形的液滴行为在微流体技术和液滴微操控领域具有重要应用，例如在微液体透镜的制备和微流控芯片的设计中。
二、流体的混沌现象混沌是一种看似无序却又有规律的行为，它在流体力学中也常常出现。
混沌现象指的是一种在非线性系统中非常敏感于初始条件的长期行为，即微小的扰动可能会引起系统的巨大变化。
流体作为一种复杂的非线性系统，在流动过程中常常表现出混沌的行为。
一个经典的流体混沌现象是雷诺数的变化引发的流动状态的转变。
雷诺数是描述流体流动性质的重要参数，当雷诺数超过一定的临界值时，流动状态会发生剧变，由层流变为湍流。
这种由层流到湍流的转变过程中，流体流动呈现出复杂、无规律的混沌行为。
混沌现象的出现导致了流体力学的难题，也为流体力学研究提供了新的视角和挑战。
混沌控制器在非线性系统中的应用研究
混沌控制器在非线性系统中的应用研究一、引言非线性系统是一个相对复杂的系统，它的特点是系统的行为与输入之间不是简单的线性关系。
而混沌现象是非线性系统中常见的一种现象。
混沌控制器是控制混沌现象的一种方法，是将混沌系统转化为非线性系统，从而使得控制更易于实现。
本文将探讨混沌控制器在非线性系统中的应用研究。
二、混沌现象的产生与特点混沌现象指的是非线性系统中具有确定性的随机性质的行为。
这种行为通常表现为周期性和不规则的变化。
混沌现象的产生是由于非线性系统中的反馈作用导致了系统的不稳定性，使得系统运动的轨迹变得复杂多样。
混沌现象的特点有以下几点：1. 系统的反应具有不可预测性。
即使微小扰动也可能会导致系统的轨迹发生巨大变化。
2. 系统的异构性使得系统的行为难以分析。
3. 混沌现象是确定性的。
虽然系统的行为看起来随机，但是它并不是无规律的。
三、混沌控制器的原理混沌控制器是一种基于混沌现象的控制方法，它的原理是通过将混沌现象转化为非线性系统来控制系统。
混沌控制器的基本思想是在混沌系统中添加一个控制器，从而使得混沌系统的行为逐渐趋向于稳定。
混沌控制器的基本原理是通过反馈控制来实现。
假设系统的控制器为u，系统的状态为x，系统的目标状态为x*，则控制器的公式可以表示为u=f(x, x*)。
其中f(x, x*)表示控制器的反馈函数。
反馈函数的选择非常重要，不同的反馈函数可能会导致不同的控制效果。
四、混沌控制器的应用混沌控制器在非线性系统中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 混沌控制器在通信中的应用。
混沌通信是利用混沌现象来实现加密和解密的一种方法。
混沌控制器将混沌系统的轨迹与通信信号混合起来，从而实现了对通信信号的加密和解密。
2. 混沌控制器在电力系统中的应用。
电力系统是一个具有复杂非线性特性的系统，混沌控制器可以用来控制电力系统的电压和频率，并且可以实现电力系统的稳定运行。
3. 混沌控制器在机器人控制中的应用。
微分反馈法控制非线性系统混沌现象
微分反馈法控制非线性系统混沌现象随着现代科技的发展，非线性动力系统的研究成为控制理论领域的一个重要分支。
非线性系统的动态行为通常比线性系统更加复杂，其中就包括混沌现象。
混沌现象指的是一个系统在一定区域内的状态变化非常敏感，即使微小的扰动也会导致系统的行为发生剧变。
如何控制非线性系统的混沌现象，对于很多实际应用非常重要。
微分反馈法（Differential Feedback Control, DFC）是一种常用的非线性系统控制方法。
该方法基于一个关键观点，即通过在系统的状态变量上引入一个微小的扰动，可以改变系统的动态行为，从而实现控制。
微分反馈法的基本思想是在系统的输出和输入之间加上微小扰动的差分表达式，通过调整这个扰动的大小和方向，使系统的状态变化趋向于期望的轨道，从而实现控制。
需要通过数学模型的建立来描述非线性系统的动态行为。
通常，非线性系统的动态行为可以用一组微分方程或离散映射来描述。
通过分析系统的动态特性和行为，可以得到系统的混沌现象。
确定控制目标，即希望系统达到的状态变量轨道。
通过定义一个性能指标，可以量化目标轨道与实际轨道之间的差异。
控制目标通常是通过期望的状态变量轨道以及稳定性和快速性等因素来确定的。
通过仿真和实验验证方法的有效性和性能。
通常，可以通过计算机仿真和物理实验来验证微分反馈法控制非线性系统混沌现象的有效性和性能。
仿真实验可以通过使用数值方法来求解非线性动力系统的微分方程或离散映射，从而得到系统的状态变量轨道。
而物理实验可以通过使用实际的控制器来控制一个实验装置，从而观察和分析系统的动态行为。
微分反馈法是一种有效的控制非线性系统混沌现象的方法。
通过在系统状态变量上引入一个微小的扰动，通过调整扰动的大小和方向，可以实现对非线性系统动态行为的控制。
这种方法在实际应用中具有重要的意义，并且已经在许多领域取得了良好的控制效果。
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考-研究性实验报告
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考摘要本实验共分为4部分第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。
第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本小组在做实验过程中的经验与总结。
第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。
第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与讨论的结果。
关键词：混沌与秩序；蝴蝶效应；非线性电路；实验思考一、实验原理表述与探讨非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。
从数学上来说，非线性（non-linear），是指输出输入均不是正比例的情形。
宇宙形成初的混沌状态即为非线性。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系现象则是近年来新出现的一个科学名词。
首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实. 混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象.对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。
目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面．本实验电路及原理如下：如图1 所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数．如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1 和C2的位相差，把C1 和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，会看到什么现象呢？。
非线性振动系统中的混沌现象及其特征
非线性振动系统中的混沌现象及其特征在自然界和人工系统中，存在着许多非线性振动系统，比如简单摆、双逆摆、电路振荡器等。
这些非线性振动系统中，由于系统的复杂性和动力学特征，可能会出现混沌现象。
混沌现象是指系统在长时间演化过程中，出现非周期性、随机性的运动状态。
本文将从混沌现象的定义、产生原因、特征以及应用等方面来探讨混沌现象在非线性振动系统中的表现及其特性。
I. 混沌现象的定义与起源混沌现象是指一种非周期性、高度随机化的动态现象，由于其高度随机化和复杂性，因而难以用常规的预测方法来描述其运动规律。
混沌现象早在19世纪末期即被研究学者发现，但直到20世纪才被正式命名为混沌现象。
混沌现象的起源可以追溯到非线性振动系统中的动力学方程。
非线性振动系统中，当重要参数经过一定范围的变化时，它的解会由周期性运动变成不规则的混沌运动。
这种变化是由小扰动逐渐放大而引起的，其过程是非线性的。
II. 混沌现象的特征混沌现象在非线性振动系统中表现出一些特殊的运动特征，下面列举几个典型的特征：a. 看似随机的运动状态：混沌运动的运动状态看似随机，但实际上，这种运动状态是在某种随机规律的控制下进行的。
比如，一些可控的晶体管电路中的混沌运动，看似不规则，但是经过分析，可以发现其具有一定的规律性。
b. 高灵敏度依赖于初始条件：混沌运动在初态条件下，存在着高度的灵敏度。
也就是说，初始条件稍稍有所不同，系统就会出现不同的运动模式。
这种灵敏度强化了混沌现象难以预测的特征。
c. 系统的长期稳定性不确定：在混沌运动状态下，系统的长期稳定性是不确定的。
尽管系统在某一时刻表现出某种稳定状态，但它的稳定性不一定会一直保持下去。
III. 混沌现象的应用尽管混沌现象看似随机性极高，但实际上它有着一定的应用价值。
在实际生产中，利用混沌现象，在制造高速钻床、麻花钻等工业设备中，可以实现重要参数的控制和改善；在医疗健康方面，混沌现象被运用在医学体检中，改进了疾病的预防和治疗；在信息加密方面，混沌现象被应用在密码学中，保障了信息的安全传输。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非线性科学中的混沌XXX中南大学物理与电子学院，湖南长沙，410083摘要：本文介绍了非线性科学中的混沌概念和混沌发展历史；论述了混沌在科学认识论中的重要地位；同时分析了混沌产生的基本原理及主要特征，指出混沌现象广泛存在于自然界中；最后综述了混沌在科学研究中的广泛应用，并展望了混沌理论未来的发展前景。
关键词：混沌；蝴蝶效应；非线性科学The chaos theory in nonlinear scienceXXXSchool of physics and electronics,Central South University,Changsha 410083,ChinaAbstract: The main conception and development of chaos are introduced in this paper; The important status of chaos in scientific epistemology is discussed.At the same time ,the basic principle of chaos and the main characteristics of chaos are analyzed.It is also pointed that the Chaos is a common phenomenon in the nature. In the end, the extensive application of chaos in scientific research is summarized and the prospect of chaos theory is discussed.Key words:chaos; Butterfly Effect; nonlinear science前言人类在认识自然规律的进程中，最初试图用“确定论”的观点来认识客观世界。
但是随着人类的认识深入，发现了现实世界中存在许多不能用“确定论”解释的随机事件。
而概率与统计的思想在物理学的引入，迫使人们从决定论的“经典科学缔造的神话”中走了出来，寻找新的观点来描述真实世界。
混沌理论基本思想的出现，给人类的研究提供了巨大的帮助，使人们在认识世界方法上得到了突破性的进展，对探索描述及研究客观世界的复杂性发挥了巨大的作用，因此混沌理论被认为是继相对论，量子力学后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性科学领域的第三次大革命。
随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术出现和普遍应用，混沌科学作为一门新兴交叉学科受到学术界的广泛重视。
混沌是一种貌似无规则的运动，是在确定性线性系统中不需附加任何随机因素就可以出现的类似随机的行为。
在现代的物质世界中,混沌现象无处不在,存在于大气中，海洋湍流中，野生动植物种群的涨落中，风中飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋窝中，心脏的跳动中，摆动的秋千中，气候的变化中等，大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配。
混沌的研究在数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中各个学科中均有涉及。
因此,在现代科学中普遍存在的混沌现象打破了不同科学间的界限,混沌科学是涉及系统总体本质的一门科学。
1 混沌的发展历史混沌通常用来描述混乱，乱七八糟，杂乱无章等状态。
在我国古代“混沌”也称“浑沌”，表示“世界形成以前的状态”，认为宇宙最初是天地不分、混沌一片，在经过演化逐渐成为现在的样子。
正所谓“混沌者，言万物相混而未分离”。
同时也表示人类在认识上处于浑浑噩噩的朦脓状态，“未有天地之时，混沌如鸡子，盘古生其中”或者“气似质具而未相离，谓之混沌”等都很好的表明了对混沌的认识。
在古希腊中，混沌的英文为“Chaos”，来源于希腊文。
是对传说中宇宙形成前模糊一团的景象描述，基本与中国古代对于混沌的认识比较相似。
早在19-20世纪之交,法国数学家庞加莱在研究天体力学中发现：能够解决地球绕太阳公转的二体问题的Newton万有定律在处理三体问题时遇到了困难。
他指出三体问题中，其解在一定范围内是随机的。
实际上这是一种保守系统中的混沌。
从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。
1963年，美国数学家E.N.Lorenz在气象预报的研究中，用计算机模拟天气情况发现了天气变化的非周期性和不可预言性之间的联系。
同时Lorenz发现了天气演变对初值的敏感依赖性[1]。
并提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。
”这个比喻称为“蝴蝶效应”，它形象了表示了混动系统中长期行为对初值的敏感依赖性。
1971年法国物理学家芦厄勒和荷兰数学家塔肯斯为耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念[2],发现了混沌现象,并且提出了一个新的湍流发生机制,以揭示湍流的本质。
1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克在美国《数学月刊》发表了题为“周期意味着混沌”的著名文章[3],深刻揭示了从有序到混沌的演化过程。
从此“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学词汇之中。
1976年美国数学生物学家MayR在《自然》杂志上发表的题为“具有极其复杂的动力学的简单数学模型”文章中,给出了著名的虫口方程Logistic模型[4]。
并指出,在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型具有极为复杂的动力学行为,提出了有关实际问题,为该领域的深入探索发挥了巨大的作用。
1978年，M.Feigenbaum 通过对R.May和York的Logistic模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了Feigenbaum 收敛常数和标度常数[5]。
M.Feigenbaum的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算，使混沌学的研究从此进入蓬勃发展的阶段。
1983年，美国人蔡少堂提出了“蔡氏电路”。
该电路结构简单，有丰富的非线性特征，提出后就震动了学术界。
此后，混沌科学得到了迅猛的发展,基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,所以对混沌的研究不仅推动了其它科学的发展,而且其它科学的发展又促进了对混沌的深入研究，奠定混沌在现代科学技术中的重要地位。
2 混沌定义混沌是由非线性确定系统产生的随机行为，混沌现象根源于非线性交叉耦合的耦合作用。
1975年,李天岩和约克在“周期意味着混沌”的文章中第一次给出了混沌的一种数学定义[3]：连续映射或者点映射F ：[][]()()λλ,,,,,x F x b a R b a →→⨯称为混沌的，如果（1）存在一切周期的周期点：（2）存在不可数子集[]b a ,S ⊂，S 不含周期点，使得()()()()()()为周期点p S x p F x F yx S y x x y F y x F y x S y x x y F y x F n n n n n n n n n ,,0,,sup lim ,,,0,,sup lim ,,,0,,inf lim ∈>-≠∈>-≠∈=-∞→∞→∞→λλ 则称f 在S 上是混沌的。
根据李约克定义，一个混沌系统应该有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐进周期轨道。
（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
此外，对混沌的定理还有Sharkovskii 定理，Smale 马蹄，横截同宿点，拓扑混合及符号动力系统等定义[6]。
混沌现象的发现以及对混沌的定义，不仅是人们认识客观事物运动从定常周期或者准周期的运动扩展到了无序的混沌形式。
而且还发现了确定论与概率论这两套体系描述之间的由此及彼的桥梁。
混沌概念的提出，丰富了人类对远离平衡态现象的认识，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的有结构的行为，而非某种外来的偶然行为。
3 混沌的特征混沌现象的出现首先得保证这个系统是非线性的，线性系统是不可能发生混沌现象，它主要有以下几个特征：3.1 混沌对初值条件具有高度敏感性最著名的理论是Lorenz 蝴蝶效应，它是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性。
通常用Lyapunov 指数来刻画这种对初值敏感的依赖性，可以说明系统的混沌性。
3.2 有界性混沌的运动状态并不是没有边界的，其运动路线无论经过多少次迭代，都会固定在某个区域中，不会超出该区域，这个区域就是吸引域。
对于混沌系统而言，有界性表现出系统的整体稳定性。
3.3 遍历性遍历性是指混沌运动轨迹吸引子会遍历系统吸引域的每一个状态点，但是又不会停留在具体的某一个状态点。
3.4 内在的随机性内在随机性与外在随机性的不同在于，外在随机性是由于外部环境中的某些随机因素对系统造成的影响，而内在随机性是由于系统内部自发生成的，不需要存在随机因素，就会出现类似随机性的行为。
3.5 自相似性混沌具有自相似性。
所谓的自相似性，就是指把混纯吸引子相图的某一局部放大，放大后的相图与原混纯吸引子的相图是相似的。
4 通往混沌的道路系统是通过怎样的方式或者途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的重要问题。
以下为三种走向混沌的主要途径。
4.1 准周期道路这是由法国著名科学家D.Rulle和F.Takens在70年代首次提出。
混沌可以看作具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，其特点是平衡态→周期运动→准周期运动→混沌运动。
4.2 倍周期分叉道路倍周期分叉道路是由分形理论创始人 B.B.Mandelbrot和P.Myberg以及J.A.Yorke等一大批科学家共同努力而发现的。
即从周期不断加倍而产生的混沌。
→ 无限倍周期凝聚点→奇怪吸引其特点为不动点→两周期点→四周期点→子。
4.3 间歇道路间歇混沌模型也称为Pomeau-Manneville途径，它是由Pomeau和Man-neville 与1980年所提出的一条途径。
这条途径是一种规则的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇状态转变为混沌运动状态的。
5 混沌在自然科学中的应用5.1 生物医学随着混沌理论的普及，人们发现人体的心率，脑电波都是混沌的。
真正周期的心率或是脑电波则是致病因素。
因此，人们开始用混沌理论来研究心脏的动力学问题，试图用混沌控制来减少或者消除心脏的“致命混沌”，控制心律不齐的发生。
例如利用混沌系统对初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动去控制心脏的混沌状态，就能使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。
不仅如此，在治疗神经疾病方面，运用混沌控制理论将其所表现的“周期态”变为“混沌态”，进行混沌反控制，从而治疗这种所谓的“动态病”。