单自由度非线性系统的混沌振动
第5章单自由度结构的非线性振动课件
1 3
0
计算得到解的一次近似为
y(t)2 0 F 2c o t s a co 3 ts () O ()
0
k1 0.04r5ad/s m
第一项为干扰谐波频率振动，第二项为3倍高次谐波振动项。
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12
干扰周期
干扰谐波 高次谐波
横荡响应时间历程图
横荡运动响应谱
0
k1 0.04r5ad/s m
第二段刚度值为：1m 0y2m 0 k233.8(t/m )
吨
运动方程：
单自由度分段线性系统符号模型
m y k1y0 m y k2yk1ek2e0
(aye)
(eyb)
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18
第一段恢复刚度的固有频率：
1
18 0.00(8r/5s) 250000
第二阶段运动的固有频率：
2
3.38 0.01(1r/6s) 250000
5.6.1 次谐波振动
具有n次方的非线性恢复力的系统承受简谐干扰力时，其响应除了与干 扰力频率相同的主谐波响应外，还可能有频率为（1/n）干扰频率的谐波。
例如：求系泊船的横荡运动响应。
m y c y k 1y k3y3p 0sitn
非线性恢复力为3次方，则振动响应中会出现
1 3
谐 波。
近似解析解：
5.1.2 辐射状系泊船的的非线性纵荡运动
m * y cdy 2F HF w (t)
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2
F HFsin ly [R 0AlE ll]
sin y l
ll 1(y l)2
FH R0(yl )2Al3Ey3
m * y cdy 2R l0yA l3 y E 3F w (t)
双稳态系统,单稳态系统,耦合振子系和混沌系统的随机共振现象
双稳态系统，单稳态系统，耦合振子系和混沌系统的随机共振现象随机共振是指系统在一个外部随机扰动的作用下，出现共振现象的现象。
它是一种非线性系统中常见的现象，也是一个重要的研究课题。
本文将介绍双稳态系统、单稳态系统、耦合振子系和混沌系统中的随机共振现象。
首先介绍双稳态系统。
双稳态系统是指系统具有两个稳定平衡点的系统。
在一个双稳态系统中，当外部随机扰动的幅度足够小时，系统将在一个稳定平衡点附近振荡，并且能够保持在该平衡点附近。
然而，当外部随机扰动的幅度达到一定阈值时，系统会突然跳跃到另一个稳定平衡点附近，并保持在该平衡点附近。
这种现象被称为双稳态系统的随机共振现象。
接下来介绍单稳态系统。
单稳态系统是指系统只具有一个稳定平衡点的系统。
在一个单稳态系统中，当外部随机扰动的幅度足够小时，系统将在稳定平衡点附近振荡，并能够保持在该平衡点附近。
然而，当外部随机扰动的幅度进一步增大时，系统将发生共振现象，振幅会突然增大，系统将不再保持在原来的稳定平衡点附近，而是在一个更大的范围内振荡。
这种现象被称为单稳态系统的随机共振现象。
然后介绍耦合振子系。
耦合振子系是指由多个振子组成的系统。
在一个耦合振子系中，当外部随机扰动的幅度较小时，每个振子将在自己的平衡位置附近振荡。
然而，当外部随机扰动的幅度逐渐增大时，系统中的振子将发生共振现象，振幅会突然增大，并且振子之间的相位关系可能会发生变化。
这种现象被称为耦合振子系的随机共振现象。
最后介绍混沌系统。
混沌系统是指具有确定性规律却表现出不可预测行为的系统。
在一个混沌系统中，当外部随机扰动的幅度很小时，系统将在一个局部的稳定状态中运动。
然而，当外部随机扰动的幅度增大时，系统将进入混沌状态，振幅和相位将变得非常不规则和难以预测。
这种现象被称为混沌系统的随机共振现象。
总之，双稳态系统、单稳态系统、耦合振子系和混沌系统中都存在着随机共振现象。
随机共振现象的发生与外部随机扰动的幅度密切相关，一定范围内的扰动可以引起系统的共振现象，但过大的扰动可能导致系统进入不稳定状态。
一类单自由度非光滑系统混沌运动的延迟反馈控制
( 8)
将式 ( 8 )代入方程 ( 4 )整理得 :
・ ・
x +
B 1 ( a) ・ A1 ( a ) 2 x + 1x = o (ε ) ω a a B 1 ( a)
( 9)
记 Ce ( a ) =
ω 2a
=
R1 ε ω τ) ω τ R2 ( 1 - cos sin ω 2 R1
ω=
・ ・ ・
・
・
第 1 期 张庆爽等 : 一类单自由度非光滑系统混沌运动的延迟反馈控制
157
力系统的动态响应 , 并研究系统的全局分岔问题 。用 符号 q = p / n 表示非光滑系统的周期运动 , n 表示力周 期数 , p表示碰撞次数 。
( a)
( b)
图 5 R 1 = 012 R 2 = 114 时对混沌控制效果图和相图
・
( 1) ( 2)
x + 2Ce ( a ) x + Ke ( a ) x = o (ε )
2
( 10 )
振子 M 的冲击方程为 :
x + = - R x - ( x = b)
・
式 ( 2 ) x - 和 x + 分别表示振子 M 与刚性约束 A 碰撞前 后的瞬时速度 。 213 等效线性化法 在系统运动微分方程 ( 1 ) 中加入延迟反馈控制项
图 1 控制混沌原理图
2 力学模型 、 系统运动微分方程及等效线性
化法
选择图 2 所示的单自由度非光滑系统为研究对
156
振 动 与 冲 击 2008 年第 27 卷
象 ,该模型可以作为一些机械系统机构的抽象 , 具有一 定的典型性 。
是小正数 。 这里用等效线性化法 , 对式 ( 4 ) 求解 。作为第一近 似 , 设方程的解为 : φ ( 5) x = a cos
非线性振动系统的分岔与混沌现象研究
非线性振动系统的分岔与混沌现象研究引言非线性系统是物理领域中一个重要而复杂的研究领域，其具有许多特殊的现象和行为。
其中分岔与混沌现象是非线性系统研究中非常引人注目的方面。
本文将从物理定律到实验准备、过程以及对实验的应用和其他专业性角度进行详细解读。
1. 物理定律的基础非线性振动系统的分岔与混沌现象研究的基础是几个重要的物理定律，包括但不限于以下几点：1.1 非线性定理非线性定理表明了在存在非线性项的情况下，振动系统的演化方程不再是线性的。
这导致了系统的行为变得更加复杂，可能会出现分岔和混沌现象。
1.2 余弦定律余弦定律描述了振动系统中的力和位移之间的关系。
对于非线性振动系统，该定律可以通过泰勒级数展开来表示非线性项。
1.3 哈密顿定律哈密顿定律是描述系统演化的基本定律，在非线性振动系统中也起到了重要作用。
它基于能量守恒和哈密顿函数，描述了系统的演化方程。
2. 实验准备为了研究非线性振动系统的分岔与混沌现象，我们需要准备一系列的实验设备和工具。
以下是主要的实验准备工作：2.1 实验装置搭建一个具有非线性特性的振动系统，如双摆、自激振荡器或混沌电路。
确保实验装置具备调节参数和监测系统状态的能力。
2.2 测量设备使用合适的测量设备来精确测量实验过程中的振动幅度、频率和相位等关键参数。
常用的测量设备包括振动传感器、频谱分析仪和示波器等。
2.3 数据采集与记录选择适当的数据采集与记录系统，以记录实验过程中得到的数据。
使用计算机或数据采集卡等设备，能够高频率、高精度地采集数据并存储。
3. 实验过程在实验过程中，我们将通过对振动系统的参数进行调节和测量，观察和分析系统的行为以及分岔与混沌现象。
以下是实验过程的主要步骤：3.1 参数调节与测量首先，通过调节振动系统的参数（如频率、振幅、阻尼等），使得系统处于不同的运动状态。
通过测量系统的参数，如振幅和频率，可以获取实验数据。
3.2 观察分岔现象通过在一定范围内改变系统的某一参数（如驱动频率或振幅），观察并记录系统的运动状态。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
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引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
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◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
04非线性振动与混沌简介
非线性系统（描述系统运动状态 的方程为非线性方程），当其非线 性程度足够高时，系统将出现混沌 状态。
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二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
d g sin 2 dt l
2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
l
m
N
令
d 0 , , ， ，以及 t 0 0 dt
则上式变为
2 g 2 2 2 c o s 1 c o s 0 0 l 2
2
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O
自治系统的相空间与相轨线 ●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二 维 ( ) 相平面上相轨线有相交情况。
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4. 彭加勒截面图
若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的 性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。 因 ，若以2 为周长，将相空间弯成 t 2 n 一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。
相轨线
相轨线
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2 n
2
三 维 相 空 间
2 ( n 1 )
非线性振动力学中的混沌分析
非线性振动力学中的混沌分析近年来，混沌理论被广泛应用于非线性动力学领域，并在科学研究以及实际应用中发挥了重要作用。
在非线性振动力学中，混沌分析是一种非常有效的方法，旨在研究非线性动力学系统中的混沌现象。
1. 混沌现象简介混沌现象是指那些表现出一定规律性却又极其复杂、几乎无法预测的动态系统。
不像线性系统那样稳定、可预测和规律可循，混沌现象总是会呈现出一定的随机性。
具体而言，混沌现象常会出现于非线性振动力学系统中，这类系统的特征是运动既有局部稳定性，也存在不稳定性。
因此，很难用传统的数学方法来对这些非线性系统进行分析，在这种情况下，混沌分析成为了一种解决方案。
2. 混沌分析的基本原理混沌分析的基本原理是对非线性动力学系统的演变行为进行分析，从而揭示其混沌现象的本质规律。
具体而言，混沌分析常用的方法包括洛伦茨方程、延迟反馈系统、相空间重构等，其中相空间重构也是混沌分析的核心。
该方法将系统的多维状态空间重构成一个简化的流形空间，并进一步将这个流形空间划分成若干个相空间。
这样做的目的在于，将复杂的系统状态转化为易于分析的几何结构，从而分析系统的演变特征以及混沌行为。
3. 混沌分析的实际应用混沌分析的实际应用范围非常广泛，包括通信、控制、金融、生态、化学以及物理等领域。
在通信领域，混沌分析可以用于实现安全的数据传输。
由于混沌系统的不可预测性，使得数据传输更加安全可靠。
在控制领域，混沌分析可以用于实现高效的控制系统。
通过对一些复杂的控制系统进行混沌分析，可以有效地提高控制效率，进而优化生产效益。
在金融领域，混沌分析可以用于预测股市变化。
通过混沌分析，可以揭示出股市变化的本质规律，帮助投资者更好地做出投资决策。
在生态领域，混沌分析可以用于研究气候、生态系统的变化机理。
通过混沌分析，可以揭示出这些生态系统背后的混沌规律，从而采取更加合理的保护措施。
在化学领域，混沌分析可以用于研究化学反应动力学。
通过混沌分析，可以揭示出化学反应背后的混沌规律，有助于优化化学反应过程。
第二章单自由度无阻尼系统的振动
第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。
单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。
图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。
现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。
取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，δk mg =，故有静位移δ=mg/k （a ）当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx xm -= 即 0=+kx xm （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。
由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
将（2-1）式改写成 0=+x m k x，令2p mk= 则得 02=+x p x （2-2）这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。