福建省福州一中2014届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
【解析版】福建省福州市2014届高三上学期期末考试数学文试题
【解析版】福建省福州市2014届高三上学期期末考试数学文试题第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. 已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[2，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为A. {0，1，2}B. {0，1}，C. {1，2}D.｛1｝3. 设则a，b，c的大小关系为A. a＜c＜bB. b＜a＜cC. a＜b＜cD. b＜c＜a4. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填人的条件为A.i≤4B. i≤5`C. i≤6D. i≤75. 将参加夏令营的编号为：1，2，3,…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 A.3 B.12 C. 16 D.19一定的数抽取一人.考点：1.系统抽样的含义.2.归纳推理的思想.6、以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P （1，m ）到焦点的距离为3，则其方程是A.y ＝4x 2B. y ＝8x 2C. y 2＝4xD. y 2＝8x7. 已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l 与直线x 十3y ＋2＝0垂直，若数列的前n 项和为n S ，则2013S 的值为8. 若函数的最大值为，则函数的图象的一条对称轴方程为【答案】B 【解析】9. 如图，△ABC中，∠C =90°，且AC＝BC＝4，点M满足，则＝A.2B.3C.4D.610. 已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为11. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式f（1－x）<0的解集为A. （一∞，0）B. （0，＋∞）C. （一∞，1）D、（1，＋∞）12. 如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若方程的实根个数分别为a，b，则a＋b＝A.18B.21C.24D.27第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上）13、在边长为2的正方形ABCD内随机取一点M，则AM＜1的概率为＿＿＿【答案】16【解析】14、在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是＿＿＿＿．15. 在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q 两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿16. 给出下列命题：①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；②在△ABC中，已知;③函数的图象关于点（－1,1）对称；④若命题p是：对任意的，都有sinx≤1,则为：存在,使得sinx > 1.其中所有真命题的序号是＿＿＿＿三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）17. （本小题满分12分）已知，函数（I）求方程g(x)＝0的解集；（B）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区18. （本小题满分12分）在数列中，（I）证明是等比数列，并求的通项公式；（n）求的前n项和Sn19. （本小题满分12分）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有"A"型2件（I ）从该批电器中任选1件，求其为“B"型的概率；（II ）从重量在［80,85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A ”型的概率所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A ”型的概率为35.考点：1.概率的问题.2.通过列举分类的思想.3.审题能力的培养. 20. （本小题满分12分）某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收人r(x) 满足假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（I ）要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？（B ）工厂生产多少台产品时盈利最大？考点：1.分段函数的应用.2.函数的最值.3.实际问题的构建数学模型解决.21、（本小题满分14分）已知函数.对于任意实数x恒有（I）求实数a的最大值；（II）当a最大时，函数有三个零点，求实数k的取值范围。
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（D）240 元
x y 7 0
x
y 0
y
3
0
（D） 4OM
。若圆年高考真题文科数学（解析版） 卷
福建
只有一个正确，则100a 10b c 等于________。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
|| P1P2 ||| x1 x2 | | y1 y2 | ，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“ L 距离”之和
等于定值（大于 || F1F2 || ）的点的轨迹可以是（ ）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案写在答题卡相应位置上。
19．（本小题满分 12 分）如图 16 所示，三棱锥 A BCD 中，
M
AB ⊥平面 BCD ， CD ⊥ BD 。⑴求证： CD ⊥平面 ABD ；⑵若
AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体 B
D
积。 20．（本小题满分 12 分）根据世行 2013 年新标准，人均
17．（本小题满分 12 分）在等比数列an中， a2 = 3 ， a5 = 81 。⑴求 an ；⑵设
bn log3 an ，求数列bn的前 n 项和 Sn 。
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 cos x sin x cos x。⑴求 f 5 4的值；
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2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
下列函数正确的是（ ）
9．要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每
平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )
2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q = （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤ ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，3000x x +<，故选C ．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞． 所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）（A ）OM （B ）2OM （C ）3OM （D ）4OM【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM += ，2OB OD OM +=，所以4OA OB OC OD OM +++=，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于 12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -； 当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =．当0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故A B C D ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B = ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得A B B D ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==． 由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ==所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <． 解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
福建省福州市高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}{}3,1,2,4,|28x A B x R =--=∈<，则AB =（ ）A ．{}3-B ．{}1,2-C ．{}3,1,2--D ．{}3,1,2,4-- 2. 已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z = （ ）A ．．10 D ．18 3. 若函数()21f x ax x=+，则下列结论正确的是 （ ） A ．a R ∀∈,函数()f x 是奇函数 B ．a R ∃∈,函数()f x 是偶函数C ．a R ∀∈,函数()f x 在()0,+∞上是增函数D ．a R ∃∈,函数()f x 在()0,+∞上是减函数4. 已知sin 2αα=，则 tan α=（ ）A ．B C.2 D 5. 在如图所示的程序框图中，若124231,log 2,log 3log 216a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则输出的x = （ ）A ．0.25B ．0.5 C. 1 D ．26. . 已知,A B 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点， P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为 （ ）A B 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．223π-B ．423π- C.53πD ．22π- 8. 已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()1,1,1,3,2,2A B C ，对于ABC ∆（含边界）内的任意一点(),,x y z ax y =+的最小值为2-，则a = （ ）A ．2-B ．3- C. 4- D ．5-9. 某商场销售A 型商品.已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售里的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件) 应为（ ）A ．4B ．5.5 C. 8.5 D ．1010. 已知三棱P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2,2AB AC BAC π==∠=，则棱PA 的长为（ ）A ．32B 3 D ．9 11. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 12. 已知函数()321132f x ax bx cx d =+++，其图象在点()()1,1f 处的切线斜率为0.若a b c <<，且函数()f x 的单调递增区间为(),m n ，则n m -的取值范围是（ ）A ． 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭ C. ()1,3 D ．()2,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两点()()1,1,5,4A B ，若向量(),4a x =与AB 垂直，则实数x = __________.14. 若函数()()2,1ln 1,1x a x f x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15. 已知抛物线2:4C x y =的焦点,F P 为抛物线C 上的动点，点()0,1Q -，则PFPQ的最小值为 _________.16. 已知抛物线列{}n a 满足111,cos3n n n a a a π+=-=，则2016a = _________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a B c b =-.（1）求A 的大小;（2）若2a =，4,b c +=求 ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且254,30a S ==,数列{}n b 满足122...n n b b nb a +++=.（1）求n a ;（2）设1n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.（1）求证: 1B C 平面 1A BD ;（2）若1160,,2,1A AB ACB AB BB AC BC ∠=∠====,求三棱锥1A ABD -的体积.20.（本小题满分12分）已知过点()0,2A 的直线l 与椭圆22:13x C y +=交于,P Q 两点. （1）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围.（2若以PQ 为直径的圆经过点()1,0E ，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()21,02xf x e x x x =--≥. （1）求()f x 的最小值;（2若()1f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,,,A B C D 是半径为1的O 上的点，1,BD DC O ==在点B 处的切线交AD 的延长线于点E .（1）求证:EBD CAD ∠=∠； （2） 若AD 为O 的直径，求BE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程; （2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数(),f x x a a R =-∈.（1）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集;（2）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-，求a 的取值范围.福建省福州市2016届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CADDC 6-10.BAACC 11-12.DB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 3- 14.[)2,+∞15. 216.0 三、解答题17.解：（1）因为2cos 2a B c b =-,由余弦定理得, 222222a c b ac b ac+-=-,即222b c a bc +-= ，根据18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由254,30a S ==,得114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得12,2a d ==,所以 ()2122,n a n n n N *=+-⨯=∈.（2）由（1）得,122...2n b b nb n +++=, ① 所以2n ≥时,()()1212...121n b b n b n -+++-=-, ②①-②得,()22,.n n nb b n ==* 又112b a == 也符合()*式 ,所以2,n b n N n*=∈,所以()1411411n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭,所以111111441...41223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19.解：（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 中点,D 是AC的中点, 1OD B C ∴.又OD ⊂平面11,A BD B C ⊄平面11,A BD B C ∴平面1A BD .（2）2222,1,60,2cos 3,3AC BC ACB AB AC BC AC BC ACB AB ==∠=∴=+-∠=∴=.取AB 中点M ,连结1111,,60A M AB BB AA A AB ==∠=,1ABA ∴∆为等边三角形,1A M AB ∴⊥, 且132A M =.又平面11AA B B ⊥平面ABC ,平面11AA B B 平面1,ABC AB A M =⊂平面111,AA B B A M ∴⊥平面ABC .111313,2438ABD ABC A ABD ABD S S V S A M ∆∆-∆==∴==. 20.解：（1）依题意，直线l 的方程为2y kx =+，由22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()22311290kx kx +++=,令()()221236310k k ∆=-+>,解得1k >或1k <-,所以 k的取值范围是()(),11,-∞-+∞.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =,则()()0,1,0,1P Q -,此时以PQ 为直径的圆过点()1,0E ，满足题意.直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2,y kx =+()()1122,,,P x y Q x y ,又()1,0E ,所以()()11221,,1,EP x y EQ x y =-=-.由（1）知，121222129,3131k x x x x k k +=-=++,所以 ()()()()()121212*********EP EQ x x y y x x x x kx kx =--+=-+++++ ()()()()()22121222911212152153131k k k x x k x x k k k +⎛⎫=++-++=+--+ ⎪++⎝⎭2121431k k +=+. 因为以PQ 直径的圆过点()1,0E ，所以0EP EQ =，即21214031k k +=+，解得76k =-，满足0∆>.故直线l 的方程为726y x =-+.综上，所求直线l 的方程为0x =或726y x =-+. 21.解：（1）因为()212xf x e x x =--, 所以()'1x f x e x =--,令()1xg x e x =--,则()'1x g x e =-,所以当0x >时，()'0g x >,故()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，即()'0f x >，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，故当0x =时，取得最小值1.（2）①当0a ≤时，对于任意的0x ≥，恒有11ax +≤，又由（1）得()1f x ≥，故()1f x a x ≥+恒成立. ②当0a >时，令()2112xh x e x x ax =----，则()'1x h x e x a =---，由（1）知()1xg x e x =--在[)0,+∞上单调递增 所以()'1xh x e x a =---在[)0,+∞上单调递增，又()'00h a =-<，取x =1）得(2112e≥+，((221'11102h ea a a =--≥+--=>，所以函数()'h x 存在唯一的零点(00,x ∈，当()00,x x ∈时，()()'0,h x h x <在[)00,x 上单调递减 ，所以当()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意. 综上，a 的取值范围为(],0-∞. 22.解：（1）因为BE 是O 的切线，所以EBD BAD ∠=∠,因为BD DC =, 所以BD DC =,所以BAD CAD ∠=∠,所以EBD CAD ∠=∠.（2）若AD 为O 的直径（如图），连结OB ，则OB BE ⊥，由1OB OD BD ===，可得60BOE ∠=，在Rt OBE ∆中，因为tan BEBOE OB∠=，所以tan 603BE ==.23.解：（1）由2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩,所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=.把cos ,sin x y ρθρθ==, 代入()2211x y -+=,得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=,化简得，曲线2C 的极坐标方程2cos ρθ=. （2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=,将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同理将()06πθρ=>曲线2C的极坐标方程得2ρ=所以123AB ρρ=-=24.解：（1）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥, 当1x <-时，原不等式化为()()111x x -++≥,即21≥，此时，不等式的解集为{}|1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥,即12x ≤-，此时，不等式的的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥,即21-≥，此时，不等式的的解集为∅.综上,原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.（2）不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-,等价于30x a x -+≤,对(],1x ∈-∞-恒成立，即3x a x -≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，故a 的取值范围为[]4,2-.。
2014年全国高考福建省数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） ()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()() (2).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） .80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++ 等于 （ ）..2.3.4AOM B OMC OMD OM 11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） .5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于。
2014届福建福州一中高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014届福建福州一中高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：208分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是 （ ）A ．85B ．82C ．80D ．762、已知集合且={直线}，={平面}，，若，有四个命题①②③④其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．④3、已知点为坐标原点，动点满足，则点所构成的平面区域的面积是（ ）A ．12B ．16C ．32D ．644、已知某个几何体的三视图如右下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是 ( )A ．B ．C ．D ．5、执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A ．B ．C ．D ．6、设的内角所对边的长分别为若，则角（ ）A ．B ．C ．D ．7、若且命题，命题，则是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8、已知i为虚数单位，则（）A． B． C． D．9、设全集,，，则（）A． B． C． D．10、已知锐角满足,则的最大值为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的. 若,是的两个不相交的非空子集，且有有，有四个命题：①中至少有一个关于乘法是封闭的；②中至多有一个关于乘法是封闭的;③中有且只有一个关于乘法是封闭的；④中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .12、已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .13、在平面直角坐标系中，直线（）与曲线及轴所围成的封闭图形的面积为，则．14、某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取___名学生.三、解答题（题型注释）15、已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）已知都是正数，且，求证：16、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值； （2）若圆与直线相切，求的值.17、二阶矩阵M 有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M 对应的变换将点变换成点．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．18、已知函数（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；（2）设分别为的极大值和极小值，其中且求的取值范围．19、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，点是双曲线右支上相异两点，且满足为线段的中点，直线的斜率为（1）求双曲线的方程； （2）用表示点的坐标；（3）若，的中垂线交轴于点，直线交轴于点，求的面积的取值范围．20、已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域； （2）若，求数列的前100项和.21、平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案1、B2、D3、C4、B5、A6、B7、A8、B9、C10、D11、①12、13、114、4015、（1）2；（2）参考解析16、（1）2；（2）或17、（1）（2），18、（1）；（2）19、（1）；（2）；（3）20、（1）;（2）21、（1）参考解析；（2）【解析】1、试题分析：因为函数在上是单调函数，又因为也是单调函数.因为满足对任意，都有.所以必须满足为定值.否则的值跟着x的变化而变化，则又由于函数在上是单调函数，所以不可能使得成立.所以令.即.又因为.即，所以.所以.故选B.考点：1.函数的单调性.2.函数的图像的应用.3.知识超越方程的解法.2、试题分析：因为且={直线}，={平面}，..所以表示直线或平面.当表示平面时不成立，即直线可能在平面上，所以①不正确.若是直线则不成立，直线与直线还有另两种都关系都可以.所以②不正确.同样若为直线不成立.显然D是正确的.故选选D.考点：1.集合的定义.2.线面的位置关系.3.分类的数学思想.4.集合与空间知识的交汇.3、试题分析：由于点为坐标原点，所以设.所以.所以.由可得.所以可行域是一个对角线为8的正方形，所以面积为.故选C.考点：1.向量的数量积.2.线性规划.3.绝对值不等式的解法.4、试题分析：由三视图可得到原直观图是一个三棱锥，一个面垂直于底面，底面是一个底边为6，高为4的等腰三角形.所以底面积为.三棱锥的高为3.所以这个几何体的体积是.故选B.考点：1.三视图的知识.2.空间想象能力.3.三棱锥的体积公式.5、试题分析：有程序框图可得，当k=1时，进入程序框图运算得到.k=3.对k=3进行判断是否成立.接着又进入循环结构得到.在进行判断.接着得到.直到.在进行成立所以退出循环.所以输出的=.故选A.考点：1.程序框图的循环结构.2.递推列举的思想.3.等比数列求和.6、试题分析：由于的内角所对边的长分别为若.所以有正弦定理可得.又因为.所以.故选B.考点：1.正弦定理.2.三角函数的二倍角公式.3.解三角方程7、试题分析：因为且命题，所以可得，所以充分性成立.又因为由可得或.所以必要性不成立，故选A.本小题关键是要熟练掌握二次不等式的解法.考点：1.二次不等式的解法.2.对参数的正确理解.8、试题分析：.故选B.本题关键是考查复数的乘法与除法运算，其中是解题的关键，由此原来实数的平方差公式就变成了平方和公式，即.这也导致成为易错点.考点：1.复数的运算.2.复数的表示形式.9、试题分析：因为全集,，所以,又因为所以.故选C.本小题通过集合的列举法表示法，考查集合的补集，并集的知识，属于基础题型.考点：1.集合的补集的概念.2.集合的并集的概念.10、试题分析：由可得（*）.因为由锐角所以（*）式是一个关于的二次方程，且存在正实根.假设存在实根韦达定理可知，两根之和为.两根之积为.所以只需要判别式大于或等于零.即.故选D.本小题解题有一定的难度.是一道知识交汇较特殊的好题.考点：1.三角函数的恒等变换.2.二次函数的根的分布.3.构造二次函数模型解决最值问题.11、试题分析：因为关于乘法封闭的规定是.是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.如果代表负数集合，代表非负数集合，则成立, 且有有.但是.所以不是乘法封闭.所以④不正确. 如果代表奇数集合，代表偶数集合，则成立, 且有有.显然都是乘法封闭的，所以②③都不正确. 若都不满足乘法封闭，有.假设，若存在，则与题意矛盾.所以①正确.故填①考点：1.集合的概念.2.新定义的概念的理解.3.列举特值解题的思想.12、试题分析：左焦点为.连结可得四边形是矩形，所以.所以又所以. .又因为，.所以.即.因为所以.所以.故填.考点：1.直线与圆的位置关系.2.椭圆的性质.3.椭圆的定义.13、试题分析：因为在平面直角坐标系中，由定积分的知识可得直线（）与曲线及轴所围成的封闭图形的面积为.所以解得.故填1.本小题考查的是曲面面积转化为求定积分的知识.考点：1.定积分的几何意义.2.导数的逆运算问题.3.数形结合解题的思想.14、试题分析：由学校高一、高二、高三共有2400名学生，又由高一有820名学生，高二有780名学生，所以高三共有学生800名.由分层抽样调查的方法可知，高三抽取的人数为高三人数占总人数的比例乘以样本容量即相同高三所抽取的学生占.故填40.考点：1.分层抽样知识.2.样本容量的构成.15、试题分析：（1）含绝对值的不等式的解法主要通过两种方法解决，一是利用绝对值的几何意义，其二是通过平方来处理.由于函数，且的解集为，所以可得.即的值.本小题另外用三项的均值不等式来证明.（2）通过（1）可得的值，根据题意利用通过柯西不等式可证得结论.试题解析：（1）方法一：,,所以，且所以又不等式的解集为,故;方法二：即:，且，不等式的解集为,所以方程的两个根为，故;（2）证明一:，当且仅当时,等号成立.证明二：，当且仅当时,等号成立.考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.16、试题分析：（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或考点：1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.17、试题分析：（1）由于二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点.所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.（2）求矩阵M的特征值，根据特征多项式.即，可求得的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量.试题解析：（1）解：（1）设M=，则由=6得=，即a+b=c+d=6．由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，所以M=（2）由（1）知矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为6与．当时，故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为．考点：1.矩阵的变换.2.特征向量特征值的求法.3.线性问题模型化.18、试题分析：（1）因为函数，所以要求函数存在极大值和极小值即对函数的求导，要保证导函数的对应的方程有两个不相等的正实根.所以通过判别式大于零和韦达定理中根与系数的关系即可得到结论.（2）根据极大值与极小值的含义得到两个相应的方程，又由两个极值点的关系，将其中一个消去，由两个极值相加可得关于关于极大值点的等式从而通过基本不等式求最值即可.试题解析：（1）其中由题设知且关于的方程有两个不相等的正数根，记为满足化简得经检验满足题设，故为所求.（2）方法一：由题设结合知，且所以，因为，所以在区间是减函数，所以设且，所以在区间上是减函数，所以因此方法二：由题设结合知且所以，设，，所以在区间上是增函数，而，设，则在时是增函数，所以当时，，即，所以且因此方法三：由方法一知设，则所以在区间上是增函数，而所以方法四：前同方法二知，当时，关于的方程有两个不相等的正数根那么即解得，下同方法二.考点：1.利用导数求极值.2.利用基本不等式求极值.3.函数与不等式的关系.4.消元解方程的思想.19、试题分析：（1）求双曲线的标准方程只需找到两个关于的两个等式，通过解方程即可得到的值，从而得到双曲线方程.（2）由直线AB的方程与双曲线方程联立，消去y可得关于x的一个一元二次方程，判别式必须满足大于零，再由韦达定理可表示出点D的坐标，又根据即可用k表示点D的纵坐标.从而可求出点D的坐标.（3）的中垂线交轴于点，直线交轴于点求的面积.通过直线AB可以求出点N的坐标，又由线段AB的中垂线及中点D的坐标，可以写出中垂线的方程，再令y=0，即可求出点M.以MN长为底边，高为点D的纵坐标，即可求出面积的表达式.再用最值的求法可得结论.试题解析：（1）双曲线的方程为；（2）方法一：设直线的方程为代入方程得当时记两个实数根为则∴的方程为把代入得下求的取值范围：法一：由得即而所以化简得法二：在中令得即所以再结合得；方法二：两式相减得（3）由（2）可知方程中令得设点的坐标为由得∴考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3.三角形的面积的求法.4.最值的求法.20、试题分析：（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此考点：1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.21、试题分析：（1）直线与直线垂直的证明通过转化为证明直线与平面垂直，由于通过翻折为两个垂直的平面所以只需证明直线AB垂直与两个平面的交线BD即可，通过已知条件利用余弦定理即可得到直角.（2）求二面角的问题通常就是建立空间直角坐标系，根据BD与DC垂直来建立.通过写出相应点的坐标，以及相应的平面内的向量，确定两平面的法向量，并求出法向量的夹角，再判断法向量的夹角与二面角的大小是相等还是互补，即可得到结论.试题解析：（1）在中，所以所以，因为平面平面，所以平面，所以；…3分（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），A（，0，1）设平面ABC的法向量为，而由得：取再设平面DAC的法向量为而由得：取所以即二面角B-AC-D的余弦值是考点：1.线线垂直的判定.2.面面垂直性质.3.二面角的求法.4.空间坐标系的应用.5.法向量的求法.。
2014届福州市高三综合练习 数学(文)(140506)定稿
2014届福州市高三综合练习数学(文科)试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x|x 2－(a +3)x +3a =0},B ={x|x 2－5x +4=0},集合A ∪B 中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为( )A.{0}B.{0,3}C.{1,3,4}D.{0,1,3,4} 2.抛物线y =2x 2的准线方程为( )A.41-=yB.81-=yC.21=x D.41-=x 3.已知a ∈R,且a ≠0,则"11"<a是“a >1”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.函数y =ln(x +1)与xy 1=的图像交点的横坐标所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为815, 则判断框内应填入的条件是( ) A.k <3 B.k >3 C.k <4 D.k >46.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )7.函数)36sin(2ππ-=xy (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为( ).A.32-B.0C.－1D.31--8.如图,半径为R 的圆C 中,已知弦AB 的长为5,则⋅=( ) A.25 B.225 C.25R D.225R 9.已知直线a ,b 异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使α⊂b ;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点.则其中论断正确的是( )A.①④B.②③C.①②③D.②③④10.已知P (x ,y )为椭圆11625:22=+y x C 上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )512D.1 11.在△ABC 中,若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且cos2B +cos B +cos(A －C )=1,则有( ).A.a 、c 、b 成等比数列B.a 、c 、b 成等差数列C.a 、b 、c 成等差数列D.a 、b 、c 成等比数列12.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠,)()(')(')(x g x f x g x f >,且()()x f x a g x =（01a a >≠且）,25)1()1()1()1(=-+-+g g f f ,对于数列})()({n g n f (n=1,2,…,10),任取正整数k (1≤k ≤10),则其前k 项和大于1615的概率是( ). A.103 B.52 C.21 D.53第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2.则样本在(]10,50上的频率是 ．14.已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是 .15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .16.已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<< 且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论: ①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ; ③0)3()0(>⋅f f ;④;0)3()0(<⋅f f ;⑤()f x 的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=. (I)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式:123232222n n nb b b b a =+++⋅⋅⋅+(n 为正整数) 求数列{}n b 的前n 项和n S 18. (本小题满分12分)如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ,AC ,根据 规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ,分别在两条公 路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A ),要求PM ＝PN ＝MN＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．19.(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b .试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩(※) 解答下列问题:(Ⅰ)求方程组没有解的概率;(Ⅱ) 求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率.. 20.(本小题满分12分)已知正△ABC 的边长为a , CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ,如图所示.(Ⅰ)试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关 系,并说明理由;(Ⅱ)若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值; (Ⅲ)在线段AC 上是否存在一点P ,使BP ⊥DF ？如果存在,求出ACAP的值;如果不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线C 1经过点P (2,2),以C 1上一点C 2为圆心的圆过定点A (0,1),记N M 、为圆2C 与x 轴的两个交点. (1)求抛物线1C 的方程;(2)当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论; (3)当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mnn m +的最大值． 22.(本题满分14分)已知函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且). (Ⅰ)若2,1a b ==,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)设()(1)()xg x a x e f x =--．② 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值; ② 设()()g x g x '为的导函数.若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求ba的取值范围.2014届福州市高三综合练习数学(文科)参考答案1-6 DBBBCC 7-12 ABDADD13.710 14. )322sin(2)(π+=x x f15 . 1/2 16 . ②③17. (I) {a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=..2,115,0,16,55636363=⎩⎨⎧==>⎩⎨⎧=+=∴d a a d a a a a 故又公差a n =2n －1----------------------4分 (Ⅱ)n ≥2时,2,12,2,2)32(1221111=====---=+b a b b n n b n n nn 又 ∴⎩⎨⎧≥==+2,21,21n n b n n ------------------8分 n ≥2时,S n =(4+8+…+2n+1)－2=62221)21(42-=---+n n n =1时也符合,故S n =2n +2－6----------------------------12分18.解法一:设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2,所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ).…………………4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°θ) cos(60°＋θ) ………………………………6分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． ………………………10分 当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值23.答:设计∠AMN 为60︒时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 解法二(构造直角三角形): 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ.……………2分APM NBC第17题D在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴MN sin60°＝AMsin θ,AM ＝433sin θ,∴AD ＝433sin θ＋2cos θ,(θ≥π2时,结论也正确).……………4分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………6分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203 ＝203＋163sin(2θ－π6),θ∈(0,2π3).…………………………10分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° …………………………12分 解法三:设AM ＝x ,AN ＝y ,∠AMN ＝α.在△AMN 中,因为MN ＝2,∠MAN ＝60°, 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ,即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4.…………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α,即2sin60°＝ysin α,所以sin α＝34y ,cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4.………………………4分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4.…6分在△AMP 中,AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP , 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy .……………………10分因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ,即xy ≤4. 所以AP 2≤12,即AP ≤23.当且仅当x ＝y ＝2时,AP 取得最大值23.答:设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分 解法四(坐标法):以AB 所在的直线为x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设M (x 1,0),N (x 2,3x 2),P (x 0,y 0).∵MN ＝2, ∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4.…………………………2分MN 的中点K (x 1＋x 22,32x 2)．∵△MNP 为正三角形,且MN ＝2,∴PK ＝3,PK ⊥MN , ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3, k MN ·k PK ＝－1,即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1,………………4分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22),∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3,即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3,∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2,∴x 0＝12x 1＋2x 2,∴y 0＝32x 1． …………………6分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12,……………………10分 即AP ≤23.答:设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……… 12分 解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN 不动,点A 在运动.由于∠MAN ＝60°,∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上,………4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知:AP 的最大值为PF ＋R .……6分 在△AMN 中,由正弦定理知:MNsin60°＝2R ,∴R ＝23,…………8分∴FM ＝FN ＝R ＝23,又PM ＝PN ,∴PF 是线段MN 的垂直平分线.设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3.………10 ∴PF ＝43,∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23.答:设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 19.解:(Ⅰ)由题意知,总的样本空间有36组 ……1分APMNB C F E方法1:若方程没有解,则12a b=,即2b a = ……3分 (方法2:带入消元得(2)32b a y a -=-,因为320a -≠,所以当 2b a =时方程组无解) 所以符合条件的数组为(1,2),(2,4),(3,6), ……4分 所以313612p ==,故方程组没有解的概率为112……5分 (Ⅱ)由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩得26023202b x b aa yb a -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩……6分若2b a >,则有332b a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 即2,3,4,5,6,4,5,6a b ==符合条件的数组有(2,5),(2,6)共有2个 ……8分若2b a <,则有332b a <⎧⎪⎨<⎪⎩ 即1,2,1b a ==符合条件的数组有(1,1)共1个 ……10分∴所以概率为1213612p +== , 即点P 落在第四象限且P 的坐标满足方程组(※)的概率为112. ……12分 20.解(1)AB //平面DEF ,如图.在△ABC 中,∵E ,F 分别是AC ,BC 的中点,故EF //AB , 又AB ⊄平面DEF ,∴AB //平面DEF , ……4分(2)∵AD ⊥CD ,BD ⊥CD , 将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B∴AD ⊥BD ,AD ⊥平面BCD ,取CD 中点M ,则EM //AD ,∴EM ⊥平面BCD ,且EM=a /22431634312=⨯⨯=a a V ,a =2. ……8分(3)存在满足条件的点P .做法:因为三角形BDF 为正三角形,过B 做BK ⊥DF ,延长BK 交DC 于K ,过K 做KP //DA ,交AC 于P .则点P 即为所求.证明:∵AD ⊥平面BCD , KP //DA ,∴PK ⊥平面BCD ,PK ⊥DF ,又 BK ⊥DF ,PK ∩BK=K ,∴DF ⊥平面PKB ,DF ⊥PB .又∠DBK =∠KBC =∠BCK =30°,∴DK=KF=KC /2.故AP :OC =1:2,AP :AC =1:3 ……12分21.(1)由已知,设抛物线方程为x 2=2py ,22=2p ×2,解得p =1. 所求抛物线C 1的方程为x 2=2y .-------3分(2)法1:设圆心C 2(a ,a 2/2),则圆C 2的半径r =222)12(-+a a圆C 2的方程为222222)12()2()(-+=-+-a a a y a x . 令y =0,得x 2－2ax+a 2－1=0,得x 1=a －1,x 2=a +1. |MN |=|x 1－x 2|=2(定值).------7分法2:设圆心C 2(a ,b ),因为圆过A (0,1),所以半径r=22)1(-+b a ,,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长|MN|=2122)1(22222222=+-=--+=-b a b b a b r (定值)---7分(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),22202;0,m n m n m n n m mn m n m n a a n m n m =====++====+=≠+=≤时时,m na n m=+故当且仅当取得最大值----------------------12分 22.解: (Ⅰ)当a ＝2,b ＝1时,f (x )＝(2＋1x )e x ,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x.…………………2分 令f ′(x )＝0,得x 1＝－1,x 2＝12,列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1,f (x )的极小值是f (12)＝4e .………4分 (Ⅱ)① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x , 当a ＝1时,g (x )＝(x －bx －2)e x . 因为g (x )≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立,所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈(0,＋∞)上恒成立． ………………7分 记h (x )＝x 2－2x －xe x (x ＞0),则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x. 当0＜x ＜1时,h ′(x )＜0,h (x )在(0,1)上是减函数; 当x ＞1时,h ′(x )＞0,h (x )在(1,＋∞)上是增函数; 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1;所以b 的最大值为－1－e －1. …………9分解法二:因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x , 当a ＝1时,g (x )＝(x －bx －2)e x . 因为g (x )≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立， 所以g (2)＝－b2e 2＞0,因此b ＜0.………………5分g ′(x )＝(1＋b x 2)e x ＋(x －b x －2)e x ＝(x －1)(x 2－b )e xx 2． 因为b ＜0,所以:当0＜x ＜1时,g ′(x )＜0,g (x )在(0,1)上是减函数；当x ＞1时,g ′(x )＞0,g (x )在(1,＋∞)上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝(－1－b )e－1………………………………7分因为g (x )≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立， 所以(－1－b )e －1≥1,解得b ≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1.…………………9分②解法一:因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ,所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x . 由g (x )＋g ′(x )＝0,得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －b x －a )e x ＝0, 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.11 存在x ＞1,使g (x )＋g ′(x )＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． ……………………11分 因为a ＞0,所以b a ＝2x 3－3x 22x －1.设u (x )＝2x 3－3x22x －1(x ＞1),则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1,u ′(x )＞0恒成立,所以u (x )在(1,＋∞)是增函数,所以u (x )＞u (1)＝－1, 所以b a ＞－1,即b a 的取值范围为(－1,＋∞).…………………14分解法二:因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ,所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －b x －a )e x .由g (x )＋g ′(x )＝0,得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －b x －a )e x ＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1,使g (x )＋g ′(x )＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立.……11分设u (x )＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b (x ≥1)u ′(x )＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax (x －1)－2b ≥-2b 当b ≤0时,u ′(x ) ≥0此时u (x )在[1,＋∞)上单调递增,因此u (x )≥u (1)＝－a －b因为存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立所以只要－a －b ＜0即可,此时－1＜b a ≤0 ………………………………12分当b ＞0时,令x 0＝3a ＋9a 2＋16ab 4a ＞3a ＋9a 24a ＝32＞1,得u (x 0)＝b ＞0,又u (1)＝－a －b ＜0于是u (x )＝0,在(1,x 0)上必有零点即存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立,此时ba ＞0…………………………13分综上有ba 的取值范围为(－1,+∞)------14分。
福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学文试题
福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测数学(文科)试卷 参考答案与评分标准第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. D2.D3. B 4．A 5. D 6. D 7. D 8. B 9. C. 10．C 11. C 12. A第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．16π14．9 15． 16.．②④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→- ······················································· 2分 由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π······················· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ···· 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ········································· 9分∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ···················································· 10分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （ 开区间也可以）···································································································· 12分18. （本小题满分12分）解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>Q ks5u 1111==n 13n 13n n a aa +∴+g Q ，又 ······················································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ····································· 4分n 1n 11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ····························································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++L ……① ················································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++L ……② ········································ 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++-L ·························· 9分1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ······································· 10分3114323n nn n S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nn S +--∴=⨯ ··························································· 12分19. （本小题满分12分）. 解：(Ⅰ)设“从该批电器中任选1件，其为”B ”型”为事件1A ， ············· 1分则15059()5010P A -== ································································· 3分 所以从该批电器中任选1件，求其为”B ”型的概率为910. ·················· 4分 (Ⅱ)设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A ”型”为事件2A ,记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中”A ”型为a ，b .从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种．······································································································ 8分 其中恰有1件为”A ”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种． ········ 10分 所以263()105P A ==. 所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A ”型的概率为35. ······································································································· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ·································· 2分 （I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ····························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<p ， ·················································· 6分 即3x 10.5<p . ··································································· 7分 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ······················································ 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ·········································· 12分 21. （本小题满分12分）解：（1）32f x =2x x ax +-Q （） '2f x =34x x a ∴+-（） ············ 2分对于x R ∈恒有2'()224f x x x ≥+-，即2240x x a ++-≥对于x R ∈恒成立····································································································· 4分44(4)0a ∴∆=--≤ 3a ⇒≤······················································· 5分 max 3a ∴= ··················································································· 6分（2）a=3F x =()f x k x --Q 当时（）有三个零点3224k x x x ∴=+-有三个不同的实根··············································· 7分 32()24g x x x x =+-令，则2'()=3x 4x 4g x +- ···························· 8分令'()0g x =解得1222,3x x =-= ,'(),()x g x g x 情况如下表：········ 由上表知，当2x =-时()g x 取得极大值(2)8g -=，当23x =时()g x 取得极小值240()327g =- 数形结合可知，实数k 的取值范围为40(,8)27-········································· 12分22. （本小题满分14分）解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ························ 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，······························································· 3分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，········································································· 5分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ··········································· 6分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ····································· 8分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ························································· 9分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-， ······················· 10分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，·· 1分 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得22199********km m k k =--g ，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································· 12分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，·································· 13分 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >，所以k的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝U U U∞，，，，∞． ·····14分ks5u。
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福州一中2013—2014学年第二学期开学初试卷
高三数学文科 试卷
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的）
1. 设1i z =-（i 是虚数单位），则复数
2
3i z
+的实部是 ( )
A ．
32 B C ．12- D ．12
3. 已知函数3
2
2
()3(1)1(0)f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是(0, 4), 则
m =( )
A. 3
B. 13
C. 2
D. 1
2
【答案】B
【解析】
5. 如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计
图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 ( ) A． 85，84 B． 84，85
C． 86，84 D． 84，86
图1
6. 在△ABC 中，BC=1，∠B=
3
π
,△ABC 的面积S=3，则sinC= （ ）
A.
13
13 B.
5
3
C.
5
4
D.
13
39
2
7. 若函数tan ,0()2
(1)1,0x x f x a x x π⎧
-<<⎪
=⎨⎪-+≥⎩
在(,)2π-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A.(0,1]
B.(0,1)
C.[1,)+∞
D. (0,
)+∞
8. 将函数sin 2y x =的图像向右平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应
的
解
析
式
为 ( )
A.sin(2)14
y x π
=-+ B.22cos y x = C.22sin y x = D.cos 2y x =-
【答案】C 【解析】
10. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是
(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的
共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2
，S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃中，则函数()u f a =的图象大致是（ ）
的图像是递减的，故选C.
考点：1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法.
11. 已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，
满足212PF F F =，直线1PF
与圆222
x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.
32 B.43 C.5
3
D. 2
12. 已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =； ③()sin cos f x x x =+；
④2()1
x
f x x x =++； ⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均
有
1212
()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为
（ ）
A ．①②④
B ．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
考点：1.新定义的问题.2.不等式恒成立问题.3.函数的最值.4.假命题的证明方法.5.特值法的思想.
二．填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13. 已知4
sin ,(,0)5
2
x x π
=-∈-
，则tan 2x = .
15. 已知实数,x y满足约束条件
20
250
20
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则
x y
z
x
+
=
的最小值是____________.
16. 对于集合},,,{21n a a a A = (n ∈N*，n ≥3)，定义集合{|,1i j S x x a a i ==+≤
}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝______.
（2）若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ _____ (用含n 的代数式表示).
三. 解答题: (本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤)
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，770S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设248
n n S b n
+=
，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值．
18. （本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴的交点为()0,1， 它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()
()0,022,2.x x π+-和 （I ）求()f x 的解析式及0x 的值；
（II ）若锐角θ满足()1cos 43
f θθ=，求的值.
【答案】（I ）1
()2sin()2
6
f x x π
=+
，024()3x k k z ππ=
+∈；（II
19. （本小题满分12分）
甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（Ⅰ）求甲赢且编号和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（I ）
1
5
；（II ）不公平.理由参考解析
【解析】
试题分析：（I ）因为游戏规则是编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，
20. （本小题满分12分）
如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面,ABCD F 是DC 的中点，2AE EP =.（Ⅰ）试判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，并予以证明；
（Ⅱ）若四棱锥P ABCD -体积为8
3
， CD =，2PC BC ==，求证：平面BDE PBC ⊥面.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知点P 的坐标为P(－4,0), 过P 点的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点,当线段MN 的中点G 落在正方形内(包含边界)时,求直线L 的斜率的取值范围.
【答案】（I ）22184x y +=；（II ）11[,]22
-
22. (本小题满分14分）
已知函数2()ln f x x a x =+的图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10.
(I)求实数a 的值;
(II)判断方程()2f x x =根的个数,并证明你的结论;
(III)探究: 是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x 在该点附近的左、右两部分
分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.
部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
考点：1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.。