实系数多项式
复系数,实系数,有理系数多项式
复系数、实系数、 有理系数多项式
一、多项式函数
在这一节， 我们将从函数的观点来考察多项式. 设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (1) 是 F[x] 中的多项式，α 是 F 中的数，在 (1) 中用 α 代 x 所得的数 anα n + an-1α n-1 + … + a1α + a0 称为 f (x) 当 x = α 时的值，记为 f (α ) . 时的值 此时，多项式 f (x) 就定义了一个数域 F上的函数. 我们称为数域F 上的多项式函数. 当F是实数域时，就是数学分析中讨论的多项式函数.
每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x ) = an ( x − α 1 ) ( x − α 2 )
l1
l2
( x − αs ) ,
ls
其中 α1 , α2 , … , αs 是不同的复数，l1 , l2 , …, ls 是正整数. 标准分解式说明了每个 n 次复系数多
二、复系数多项式
以上我们讨论了在一般数域上多项式, 下面 考察在复数域与实数域上多项式. 复数域与实数域既然都是数域，因此前面所 得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有 它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域，我们有下面重要的定理：
定理 4.4(代数基本定理) 每个次数 ≥ 1 的复系数多项
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α )
如果 f (x) 在 x = α 的函数值 f (α ) = 0，那么α 就称为 f (x) 的一个根或零点. 由余数定理： 零点 f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α ) , 得到根与一次因式的关系：
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
复系数和实系数多项式
定理 实系数不可约多项式或为一次或为形如ax2 bx c
的二次多项式, 其中b2 4ac 0.
所以 上一元多项式的标准分解式为
m
r
f ( x) d ( x ai )li ( x2 bj x c j )hj
其中ai
i 1
且两两互异,
li
j1
是正整数(i
1,2,, m);
bj ,cj
的多项式.
解
因0
f
(ci )
ancin
an1cin1
ac 1i
a 且c
0
i
0,
所以
0
cn i
f
(ci
)
an
a c1 n1 i
a c( n1) 1i
a cn 0i
,
令 g(x)
a0 xn
a xn1 1
an1 x an ,
则
g(
1 ci
)
0.
又 c1,c2 ,,cn 非零且两两互异,所以 g(x)为所求.
,
hj
是正整数,
b
2 j
4c
j
0
且x2 bjx cj
两
两互素( j 1,2,,r)
l m
i1 i
2
h r
j1 j
deg
f
( x).
5.6 复系数和实系数多项式
例1
设f
(
x
)
an
x
n
an1
x
n1
a 1
x
a 0
的n个互
异的非零根为 c1,c2 ,,cn ,
求以
1 c1
,
1 c2
实系数多项式虚根成对定理
实系数多项式虚根成对定理实系数多项式虚根成对定理，这名字听起来就有点吓人，不过咱们可以把它说得简单点。
想象一下，你有一个多项式，这个多项式的系数全是实数，比如说你喜欢的那种简单的方程。
比如，y = ax² + bx + c，系数a、b、c都是实数。
现在，问题来了，咱们在找这个方程的根，特别是那些虚根，嘿，别慌，这里就有个定理能帮你理清头绪。
这个定理说，如果你有虚根，它们是成对出现的。
就像吃饭时，左手一个叉子，右手一个刀子，缺一不可，明白吗？说到虚根，它们可不是鬼故事里的幽灵，虽然听起来有点神秘。
虚根就是那些不能在实数线上找到的根，比如说像√1这样的数。
你可能想，“这东西有什么用？”好吧，咱们就来聊聊。
想象一下，你在开派对，结果发现来了两个朋友，一个叫2+3i，一个叫23i。
嘿，这两位是绝配！一个出现，另一个也跟着来，就像好兄弟一样。
就像说“有你有我”，缺了谁都不成。
再往深处聊聊，假设你有一个多项式，比如x² + 1 = 0。
你会发现它的根是i和i，这不就是成对出现吗？要是你在实数轴上找找，嘿，什么也找不到！不过，数学就是这么奇妙，这种虚根的成对出现就保证了多项式的平衡和完整性。
想象一下，一边是阳光明媚的世界，另一边却是阴云密布的天气。
咱们需要这两者来构成一个完整的故事。
这个定理不仅在数学界流传广泛，也影响了很多其他领域。
你可别小看这些虚根，它们在信号处理、控制理论，甚至在量子力学中都扮演着重要角色。
就像一个好故事里，总得有反派，才能让英雄更加闪耀，对吧？你可能会问，“为什么要搞这么复杂？”这背后是数学的美妙与深邃，真是让人心潮澎湃。
再来点轻松的，想象一下你在游乐园，过山车的上下翻滚。
那虚根就像是过山车上的那些颠簸，让整个旅程更加刺激！你不知道接下来会发生什么，就像你根本无法预测虚根的存在，然而它们总是会一出现，伴着美丽的复杂曲线。
咱们再深入一点。
虚根的成对现象其实还有个深意，那就是对称。
大学 高等代数 线性代数
复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 0 , 证：设 ai R
若 为根，则
f ( ) a n n a n 1 n 1 a 0 0
k 1 , , k s , l1 , , l s Z ,
p 2 4q 0, i 1, 2 r ，即 x 2 pi x qi 为 且
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
若 不为实数，则 也是 f ( x ) 的复根，于是
f ( x ) ( x )( x ) f 2 ( x ) ( x 2 ( ) x ) f 2 ( x )
设 a bi ，则
a bi ,
2a R , a 2 b 2 R
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t
15 4
0,
即 t 15 , 4
1 2
则
f ( x ), f ( x )
x
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的二重根． 2
例3
举例说明下面命题是不对的．
" 是 f ' ( x )的 n重根 是 f ( x )的 n 1重根 "
1 3 解：令 f ( x ) x x 2 x 5, 则 3
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法
一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法
一元实系数多项式的集合是指由一元实系数多项式所组成的集合，其中每个多项式都可以表示为以下形式之一：
f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0均为实数，n为多项式的次数。
在这个集合中，存在两个基本的运算：加法和乘法。
其中加法定义为多项式的对应系数相加，而乘法则是通过将每个多项式的各项系数相乘再相加得到的。
在多项式乘法方面，我们可以观察到以下的性质：
1. 乘法具有结合律，即f(x) * (g(x) * h(x)) = (f(x) * g(x)) * h(x)。
2. 同样地，乘法也具有分配律，即f(x) * (g(x) + h(x)) = (f(x) * g(x)) + (f(x) * h(x))。
3. 注意到对于任意两个多项式f(x)和g(x)，它们的乘积h(x) = f(x) * g(x)的次数为两者次数之和，即deg(h(x)) = deg(f(x)) +
deg(g(x))。
4. 如果f(x)和g(x)是实系数多项式，那么它们的乘积h(x)也一定是实系数多项式。
5. 如果f(x)和g(x)的次数分别为n和m，那么它们的乘积h(x)的最高次项系数为a_na_m，即h(x)的次数为n+m且h(x)的系数为a_na_m 的项为其最高次项。
在实系数多项式的集合中，多项式的乘法是一种非常重要的运算。
它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学等领域也有着重要的地位。
因此，对于实系数多项式的乘法性质的深入理解和熟练掌握，是非常有必要的。
一元实系数多项式的集合关于多项式的加法
一元实系数多项式的集合关于多项式的加法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元实系数多项式是由实数系数所组成的多项式。
在代数学中，多项式是一个在变量x上的表达式，由系数是实数的项相加而成。
一元实系数多项式的集合即由所有这样的多项式组成的集合。
在数学中，多项式的加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式的过程。
一元实系数多项式的加法是通过将各项的系数相加来实现的。
在进行多项式加法时，需要首先将同类项进行合并，然后将各项的系数相加来得到新的多项式。
一元实系数多项式的集合关于多项式的加法具有以下性质：1. 封闭性：对于一元实系数多项式集合中的任意两个多项式，它们的和仍然是一个一元实系数多项式。
2. 结合律：多项式的加法满足结合律，即对于任意三个一元实系数多项式P、Q和R，有(P+Q)+R = P+(Q+R)。
4. 零元素：对于一元实系数多项式集合中的任意多项式P，存在一个零元素0，使得P+0 = P。
通过多项式的加法，可以实现多项式的简化、化简和求和等操作。
在数学分析、线性代数以及工程领域中，一元实系数多项式集合关于多项式的加法都具有重要的应用价值。
一元实系数多项式的集合关于多项式的加法是一个具有良好性质和深刻意义的数学概念，对于推动数学领域的研究和应用具有重要意义。
希望通过我们的文章，读者能对一元实系数多项式的集合关于多项式的加法有更深入的理解和认识。
第二篇示例：一元实系数多项式是指系数都属于实数集合的多项式。
多项式是代数学中重要的概念，是由常数和各个变量的幂次相乘得到的表达式。
关于一元实系数多项式的集合，可以进行加法运算。
在进行多项式的加法运算时，需要对同类项进行合并，从而得到一个新的多项式。
假设我们有两个一元实系数多项式：f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1g(x) = -x^2 + 4x - 2我们可以对这两个多项式进行加法运算，具体步骤如下：2. 对应项相加，得到新的多项式：f(x) + g(x) = 2x^3 +5x^2 -3x +1-1x^2 +4x -2-------------------2x^3 +4x^2 +1x -1通过两个一元实系数多项式的加法运算，我们得到了一个新的多项式：2x^3 +4x^2 +1x -1。
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第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
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命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ．
若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
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x4 3x2 9 x4 6x2 9 9x2 ( x2 3)2 9x2 ( x2 3x 3)( x2 3x 3)
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第一章 多项式
x2 3x 3 (x 3
44
实系数多项式因式分解定理
第一章 多项式
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳．
① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立.
② 假设对次数<n的多项式结论成立．
使 (x a) | f ( x) . 即， f ( x) 在复数域上必有一个一次因式．
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推论2
第一章 多项式
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f ( x) C[x], ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可约．
3i )( x 3
3i )
2
2
x2 3x 3 ( x 3 3i )( x 3 3i )
L L ( x2 pr x qr )lr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, ,ls Z ,
且 pi2 4qi 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0
∴ 也是为 f ( x)复根．
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R上的不可约多项式.
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推论2
第一章 多项式
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
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第一章 多项式
例1 分别在实数域与复数域上分解因式
(1) f ( x) x6 27; (2) f ( x) x4 2x2 25. 解 (1) f ( x) x6 27 ( x2 )3 33
( x2 3)( x4 3x2 9)
x2 3 ( x 3i)( x 3i)
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x) C[x], 若( f ( x)) 1, 则 f ( x)在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
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推论1
第一章 多项式
f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C 上具有标准分解式