4.8 复数和实数域上的多项式讲解

数学家的幽默
一名统计学家遇到一位数学家， 统计学家调 侃数学家说道： 你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ 吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女 孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？” 数学家来也没事吧！因为它 们平均不过是五十度而已！ ”
授课时数：2 学时 教学重点：实系数多项式的标准型，代数基本 定理和复数域上多项式的标准型，Vieta 定理及应用。
教学难点：代数基本定理和复数域上多项式的 标准型 ，Vieta定理。
教学过程:
思 考
问题 1 在解一元二次方程时， 有求根公式， 那么三次及以上方程也有吗？
问题 2 一元二次方程有 Vieta 定理，高次方程有吗？
4.8 复数和实数域上的多项式 授课题目： 4.8 复数和实数域上的多项式
教学目标：熟练实系数多项式的标准型，学习一些 解决实系数多项式问题的方法和技巧； 理解代 数基本定理和复数域上多项式的标准型， 熟练 掌握 Vieta 定理， 了解一元三次方程、 四次方 程的根式解法以及 Galois 在根式问题解的重 大贡献。
也是f ( x)的根。
设，的重数分别为 k , l , 且k l , h( x) C[ x], 使得
k l f ( x) （x ） （ x ） h( x), 其中x 不整除h( x), 且
x 也不整除h( x)，由于k l
k k l k f ( x) （x ） （ x ） （ x ） h( x )
思考 我们已解决了实数域、复数域上的多项式的可
约性问题 ，求根问题那么还有哪一个常见数域上的多 项式的可约性问题和求根问题没有解决呢？ 答 常见数域有复数域、实数域和有理数域。还有有理数域 上的多项式的可约性和求根问题尚未解决，同时有理数域
和整系数多项式的根的关系问题也尚未解决。
（3） （4) （5）
2 2 9
由（）与（ 1 3）知 3
例3
由（）与（ 1 5）知 1 2i, 1 2i f(x)=(x2 +2x+3)2
例4
三、实数域R上的多项式
1.实数域R上的多项式的性质
定理4.8.3 设f ( x) R[ x], 非实复数 是f ( x)的根，则也 是f ( x)的根，且 与有相同的重数。
证明 设 f ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an , ai R,由于 是f ( x)的根，于是 f ( ) a0 n a1 n 1 an 1 an 0 a0 n a1 n 1 an 1 an 0 a0 n a1 n 1 an 1 an 0
互素性质 （x ）|h( x)，矛盾， k l，同理k l k l 与有相同的重数。
定理4.8.4 实数域上不可约多项式，除了一次多项式 外，只含有非实共轭复数根的二次多项式。
证明 由代数基本定理和定理4.8.3知，定理成立。
定理4.8.5 每一个次数大于零实系数多项式都可以分 解为实系数的一次和二次不可约多项式的乘积。 证明 由代数基本定理和定理4.8.4知，定理成立。
2. 实数域上多项式f(x)的典型分解式（标准分解式）
l1 l2 lm 2(h1 h2 hr ) n
证明 （请同学们思考）
例5 设f(x) R[x],若f(X)恰有n个实根。证明若 是f(x)的 重根，则f( )=0.
作业 P 160 习题 4.8 1，1）；2；4；5；7.
3.应用
例1 求单根5，-2以及二重根3的四次多项式。 解 设 f(x)=a 0 x4 +a1x3 +a 2 x2 +a3 x+a 4(a 0 0), 由根与系数的关系有 a1 (5 2 3 3) 9 a0
a2 5 (2) 5 3 5 3 (2) 3 (2) 3 3 3 17 a0 a3 [5 (2) 3 5 (2) 3 5 3 3 (2) 3 3] 33 a0 a4 5 (2) 3 3 90 a0 f(x)=a 0 x4 +-9a 0 x3 +17a 0 x2 +33a 0 x-90a 0(a 0 0)
n
由于f ( x)与f1 ( x)有相同的根，所以 a1 (1 2 3 n ) a0 a2 1 2 1 3 1 4 n 1 n a0
a3 (1 2 3 1 2 4 1 2 5 n 2 n 1 n ) a0 an 1 (1) n 1 (1 2 n 1 1 3 n 2 3 n ) a0 an (1) n 1 2 n . a0

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（x ）(x ）=x2 ( ) x R[ x] [（x ）(x ）]k是f ( x)的因式
l k l k （x ） h( x) R[ x]，又l k 0 是（x ） h( x ) l k 的根，由前所证 = 也是（x ） h( x)的根 l k （x ）|（x ） h( x)，但（x ，x ） 1，由多项式
问题 3 一元二次方程的根和因式分解在实数域和复数 域上已有相应的方法和它们的标准形式，高次 方程的情形怎样呢？
思考
给定任意数域F上的一个n（n>0)次多项 式f(x),f(x)在F上一定有根吗？
解 考虑f(x)=x4 4在R和C上的根的情况，可 知根的情况随数域的变化而变化。
1.
4.8.1
根。
证明 若f ( x)在数域C中有n个根1 , 21 , 3 ,, n , 则 f ( x) （x 1 )( x 2 ) ( x n ) 将右端展开，合并同类项，利用多项式表法的唯一 性即得结论。
2.说明
若在数域F 上多项式 f ( x) a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x an (a0 0) 在数域C中有n个根1 , 2 , 3 , , n , 则 an 1 an a1 n 1 f ( x) a0 f1 ( x), f1 ( x) x x x (a0 0) a0 a0 a0
说明 代数基本定理只从理论上解决了n次多项式在复数域上恰
有n个根但并没有解决实际求根的方法。
2.定理的等价描述 任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根。
3.
4.
5.
4. 定理4.8.2
证明 对多项式的次数n用数学归纳法。 当n 1时，C[ x]中的任何一次多项式ax b显然在C中有 b 一个根即- , 故结论成立。 a 假设对任意n （ 1 n 1 0)次多项式在C中有n-1个根。现 设f(x)是n次多项式，f(x) C[x].由代数基本定理可知， f(x)在C中至少有一个根1，于是存在 f1 ( x) C[x], ( f1 ( x)) n 1, 使 f ( x) ( x 1 ) f1 ( x). 由归纳假设，f1 ( x)在C中有n-1个根 2 , 3 , , n , 因此， f(x)在C中有n个根1， 2 , 3 , , n。
例2 已知多项式f(x)=x4 +-4x3 +10x2 +12x+9有两个根相等， 另两个根也相等，试将f(x) 在实数域上分解因式。 解 设f(x)的四个根为 , , , 。由 Vieta 定理得 2 2 4 （） 1
2 2 4 10
（2）
2 2 2 2 12
推论1
任一个n(n>0)次多项式f(x)在C[x]中都能分
解成一次因式的乘积。
推论2
5.
C[x]中的不可约多项式只有一次因式。
1.
若在数域C上多项式 f ( x) x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x an 在数域C中有n个根1 , 2 , 3 , , n , 则 a1 (1 2 3 n ) a2 1 2 1 3 1 4 n 1 n a3 (1 2 3 1 2 4 1 2 5 n 2 n 1 n ) an 1 (1) n 1 (1 2 n 1 1 3 n 2 3 n ) an (1) n 1 2 n