第二章 一阶逻辑

非负整数 设N（x）：“x是负数”,E(x)：“ x是整数 ”
则复合命题函数
“x是负整数”
N（x）∧ E（x）表示：
┐N（x）∧ E（x）表示： “ x 是非负整数 ”
通常,对于一个命题函数 Q（x，y）
x 比 y 重 ”，当 x ， y 指人或物时，它是一个命题，但若x ，y 指 实数时， Q（x，y）就不是一个命题。
个体： y 谓词： x与· · · 的和等于z 谓词可以单个个体的性质，也可以表示二个个体词之
间的关系或性质，分别称为一元谓词和二元谓词。表示n 个个体间的关系或性质的谓词称为n元谓词
（4） 的平方是非负的。 解：个体： 谓词： · · · 的平方是非负的 个体： 的平方
谓词： · · · 是非负的
例2.4 用谓词(命题函数)将下列命题符号化： (1) 丘华和李兵都是学生； (2) 2既是偶数又是素数； (3) 如果张华比黎明高，黎明比王宏高，则张华比王 宏高。 解 (1) 设个体域是人的集合。 P(x)：:x是学生。 a：丘华 b：黎兵 该命题符号化为P(a)P(b)
(2) 2既是偶数又是素数； 设个体域为正整数集合N＋。 F(x)：x是偶数， G(x)：x是素数 a： 2 该命题符号化为F(a)G(a)
“某些”、“至少一个”等。
(2).全称量词：记作，表示“每个”、“任 何 一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、
考察下面两个例子 (它们均以整数作为其个体域)
①
②
(x+1)2=x2+2x+1
x+6=5
对于①任何整数代入后等式总是成立。用符号 “x”表示“对所有x”，则①可表示为 x((x+1)2=x2+2x+1)
2.1.4 论域(个体域) 定义：在命题函数中个体变项的取值范 围，称之为论域，也称之为个体域。 例如 S(x):x是大学生，论域是:人类。 G(x,y)：x>y， 论域是:实数。 论域是一个集合。 定义：由所有个体构成的论域，称之为 全总个体域。它是个“最大”的论域。 约定:对于一个命题函数，如果没有给定 论域，则假定该论域是全总个体域。
的平方是非负的。
所有的实数的平方都是非负的。
有一个比21000大的素数。
（1）是无理数。 解： 个体：（代表圆周率） 谓词：· · · 是无理数，表示“”的性质。 （2）张三与李四同在信息技术学院。 解：个体：张三，李四 谓词： · · · 与· · · 同在信息技术学院 表示“张三”与“李四”之间的关系。
§2.1 一阶逻辑的基本概念总结
（4）有些命题的符号化形式不止一种。 至此，下列推理即可解决： 凡是人都是 要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 设：M(x):x是人。D(x):x 是要死的。a:苏格拉 底。则符号化为： x(M(x)D(x)) ∧M(a) D(a)
例如: 给定简单命题函数： A(x)：x身体好， B(x)：x学习好， C(x)：x工作好， 复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作 都不会好。
再如，若L(x,y) 表示“x 小于y”， 那么L(2 ,3) 表示了一个真命题：“2小于3” 而 L(5,1) 表示了一个假命题：“5小于1”
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
1. 2. 3. 4. 5. 6.
是无理数。 张三与李四同在信息技术学院。 x与y的和等于z（x，y，z是确定的数）。
又如 A(x,y,z)表示一个关系“x 加上 y 等于z”
则 A(3,2,5）表示了真命题 “3+2=5”， 而A(1,2,4）表示了一个假命题“1+2=4”。
可以看出：
H(x),L(x,y),A(x,y,z)本身不是一个命题， 只有当变元 x，y，z等取特定的客体时，
才确定了一个命题。
例2.3 用谓词(命题函数)分别表示x是负整数及x 是
一般地 P(x1,x2,…,xn)
是n元谓词。
例2.2 用谓词表示下列命题 （1）张三是个大学生 解： 个体：张三 谓词：…是个大学生。 若 用 P 表示谓词： “ … 是个大学生 ” ; a 表示个体： “ 张三 ” 。 则上述命题可表示为P（a）。 同理：“李四是个大学生”， 若b表示个体“李 四”， 则该命题可表示为P（b）。 对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和 表示其谓词的大写字母来表示时，规定将小写字母写 在大写字母右侧的（ ）内。
（5）所有的实数的平方都是非负的。 个体：每一个实数 谓词： · · · 的平方是非负的 （6）有一个比21000大的素数。
“所有”是什么？ 量词：所有
个体：一个素数
谓词： · · · 比21000大
“有一个”是什么？ 量词：有一个
2.1.1 个体与个体变元基本概念
个体：能够独立存在的事物，称之为个体，也 称之为客体。它可以是具体的，也可以是抽象的 事物。通常用小写英文字母a、b、c、...表示。
可确定其值。
§2.1 一阶逻辑的基本概念总结
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分 别符号化为一元和n(n ≥ 2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用 或 。 （3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们 的顺 序不能随意调换。如： 在实数域上用L(x, y)表示x+y=10命题为： 对于任意的x, 都存在y使得 x+y=10。 可符号化为： xyL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后为： yxL(x,y) 真值为0。
（2）令 N（x）：x 是自然数， R（x）：x 是实数 x（N（x） R（x））
例2.6 试用量词、谓词表示下列命题
（1）有些人是聪明的。 （2）并非一切数都大于0。 解： （1）令M（x）：x是人， N（x）：x是聪明的 x（M（ x ）∧ N（ x ）） （2）令I（x） ：x 是数（实数域），
第二章 一阶逻辑
§2.1 一阶逻辑的基ຫໍສະໝຸດ 概念§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
§2.3 一阶逻辑等值式
§2.1
一阶逻辑的基本概念
在命题逻辑中,我们把原子命题作为基本
研究单位 , 对原子命题不再进行分解 , 只有复
合命题才可以分解 , 揭示了一些有效的推理
过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑
是无法把一些常见的推理形式包括进去.
可见,在谓词的括号内填入不同的内容,就得到不同 的命题，故谓词相当于一个函数， 称之为命题函数。 n元谓词P(x1,x2,…,xn)称之为简单命题函数。 规定：当命题函数P(x1,x2,…,xn)中 n=0 时，即0 元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是 一个命题变元。 将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起 来，构成的表达式，称之为复合命题函数。 简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。
(3) 如果张华比黎明高，黎明比王宏高，则张 华比王宏高。 设个体域是人的集合。 L(x,y)：x比y高。 a：张华 b：黎明 c：王宏 该命题符号化为L(a,b)L(b,c)L(a,c)
2.1.5 量词
例如：有些人是大学生。
所有事物都是发展变化的。 “有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。 量词：在命题中表示对客体数量化的词。 定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些”、“一 些”、
个体：张三 谓词：· · · 与李四同在信息技术学院， 表示“张三”的性质。 个体：李四 谓词：张三与 · · · 同在信息技术学院 表示“李四”的性质。
（3）x 与 y 的和等于 z （x，y，z是确定的数） 个体： x、 y、 z 谓词： · · · 与· · · 的和等于· · ·
个体： x、 z 谓词： · · · 与y的和等于· · ·
例如
形式逻辑

形式逻辑的一般格式就是三段论。 例：苏格拉底三段论：
所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
苏格拉底三段论 （1）凡人都是要死的； （前提） （2）苏格拉底是人； （前提） （3）所以苏格拉底是要死的。 （结论） p：凡人都是要死的； q：苏格拉底是人; r：所以苏格拉底是要死的。 (p∧q)r

学生，则R（x）是永假式。

如果 x 的讨论范围为一个剧院中的观众，观众中有
大学生也有非大学生，那么对于某些观众，R（x）
为真，对于另一些观众，R（x）为假。 命题函数确定为命题，与个体变元的论述范围 有关。
再如 令G(x，y)： “x高于y”， 于是，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”， 则G(张三，李四)就是命题： “张三高于李 四”。随便将x，y代以确定的个体，由G(x， y)都能得到一个命题。 可见，G(x，y)不是命题，而是一个命题函数 即谓词。
例如，小张、小李、8、a、杭州、社会主义等等
都是个体。
个体变项：用小写英文字母x、y、z...表示任何个
体词，则称这些字母为个体变项。
注意：个体变项本身不是个体。
2.1.2 谓词
定义：一个大写英文字母后边有括号， 括号内是若干个个体变项，用以表示个 体的属性或者个体之间的关系，称之为 谓词。如果括号内有n个个体变项，称该 谓词为n元谓词。