数学建模之减肥问题的数学模型

东北大学秦皇岛分校

数学模型课程设计报告

减肥问题的数学建模

学院数学与统计学院

专业信息与计算科学

学号5133117

姓名楚文玉

指导教师张尚国刘超

成绩

教师评语：

指导教师签字：

2016年01月09日

摘要

肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.

本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.

本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式

[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+?-=-+?

再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式

()(1)dt dt a

t e e d

ωω--=+

- 然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.

关键字： 微分方程模型 能量守恒 能量转换系数

1 问题重述

1.1 课题的背景

随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是

从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.

根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω，当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足，这种减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称1ω为减肥的临界指标.另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为10

现有五个人，身高、体重和BMI 指数分别如下表1.1所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：

表1.1 身高，体重和BMI 指数表

人数编号 1 2 3 4 5 身高 1.7 1.68 1.64 1.72 1.71 体重 100 112 113 114 124 BMI 34.6 33.5 35.2 34.8 35.6 理想目标 75 80 80 85 90 每天摄 入能量 2857

2543

2734

2689

2776

题目具体要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量如下表1.2所示：

表1.2 每小时每kg 体重的热量消耗

运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 （中速） 游泳

（50m/min ）

热量消耗

7.0

3.0

4.4

2.5 7.9

（3）给出达到目标后维持体重的方案.

2 模型假设与符号说明

2.1 问题分析

本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量. 因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标. 因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志. 已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为8000kcal，称D为脂肪的能量转换系数.

肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，可以将人体的体重ω.

看成是时间t的函数()t

在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程,ω是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的，而不同所以认定()t

的活动对能量的消耗是不同的. 所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量. 记r为某一种活动每小时所消耗的能量，记b为1kg体重每小时所消耗的能量.

2.2 模型假设

1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.

ω是连续而且充分光滑的.

2．假设体重随时间的变化()t

3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.

4．假设人体每天摄入的能量是一定的.记为A.

5．正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为

28.75~45.71kcal，且因人而异.

6．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异对减肥的影响.

7．人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal.

8．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.

2.3 符号说明

D ： 脂肪的能量转化系数.

()t ω：人体的体重关于时间t 的的函数..

r ： 每千克体重每小时运动所消耗的能量(/)/kcal kg h .

b ： 每千克体重每小时所消耗的能量(/)/kcal kg h .

0A ： 每天摄入的能量.

1W ： 五个人理想的体重目标向量.

A ： 五个人每天分别摄入的能量..

W ： 五个人减肥前的体重.

B ： 每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.

3 模型建立与求解

3.1 一般模型建立

如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应=24(/)B b kcal d ，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动h 小时，则每天由于运动所消耗的能量应为=(/)R rh kcal d . 按照假设2， 体重随时间的变化()t ω是连续而且充分光滑的，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化. 按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差. 我们选取某一段时间(, )t t t +?，在时间段(, )t t t +?内考虑能量的改变: 设体重改变的能量变化为W ?,则有

=[(+)()]W t t t D ωω??- （3.1）

设摄入与消耗的能量之差为M ?，则有

[()()]M A B R t t ω?=-+? （3.2）

根据能量平衡原理有

M W ?=? （3.3）

得：

[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+?-=-+? （3.4）

取0t ?→，可得

d d (0) a d t ω

ωωω?=-????= （3.5） 其中/a A D =，()/d B R D =+，0t =（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型 模型求解得

()(1)dt dt a

t e e d

ωω--=+

- （3.6）

/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而

失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）. 3.2 针对实际问题的模型建立

1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.

首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B ，因为没有运动，所以有0R =，根据式（3.6）式，得

A

B W

=

（3.7）

从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗

从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由()t ω (五人的理想体重)，W （五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg （脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有

001/ln ln

/a d D B A

t d a d B B A

ωωωω--=-=--- （3.8） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示

表3.1 达到理想体重所需天数表

人

1 2 3 4 5 天数 194 372 313 266 298

Matlab 源程序： R = 0;

D = 8000; %能量转换系数

W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标

A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length( W );

B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:n

t(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end

2. 为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表2，再结合假设3，取1h h =，R rh r ==，根据式（4.6）有

001/()ln ln

/()a d D B R A

t d a d B R B R A

ωωωω-+-=-

=--++- （3.9） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的r ，得到一组数据， 在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：

表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数

运动

跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 时间/天

122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154

Matlab 源程序： h = 1;

r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h.*r; n1 = length(R);

D = 8000; %能量转换系数

W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标

A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length(W);

B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n1 for i = 1:n

t = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j)) -

A0))); %减肥所需要的时间

end end

3. 要使体重稳定在一个定值，则有

*A

B R

ω=

+ （3.10） 根据自己的不同理想目标和B （每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：

（1）在1h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.3

表3.3 1h =的情况下运动所消耗的能量

运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳

消耗能量(kcal) 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2448.400 2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800

（2）在2h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.4

表3.4 2h =的情况下运动所消耗的能量

运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量(kcal) 3198.00 2592.800 2802.800 2517.700 3327.800 2936.400 2296.400 2520.400 2216.400 3080.400 3055.600 2415.600 2639.600 2335.600 3199.600 3195.000 2515.000 2753.000 2430.000 3348.000 3274.800 2554.800 2806.800 2464.800 3436.800

Matlab 源程序： h = [1

2];

r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h*r;

D = 8000; %能量转换系数

W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标

A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n1 = length(W);

B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n for I = 1:n1

A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量 end end

4 模型的分析与讨论

4.1 针对一般减肥模型

在式（3.6）中假设0a =，即假设停止进食，无任何能量摄入，于是有

0()dt t e ωω-= （4.1）

这表明在t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由dt e -给出，特别当1t =时，e d -给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由lim 0t t ω→∞

=()，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危

险的.

a/d 是模型中的一个重要的参数，由于/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，

而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是/a d 就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t 时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直

观上理解也是合理的. 由式（3.5）

0dt

d <ω

即/a d ω<,体重从0ω递减, 这是减肥产生效果,另外由式（3.6）可以看到t →∞时*()//()t a d A B R ωω→==+,也就是说式（3.5）的解渐进稳定于

*a/d ω=,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*ω为减肥效果指标,由

*/()A B R ω=+，因为B 是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意

愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数，于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识.

人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值. 4.2 针对具体问题

从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图4.1表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的. Matlab 源程序： x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; y = [ 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.400

2016.400

2448.400

2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.800

2284.800

2410.800 2239.800 2725.800 ];

subplot( 3, 2, 1 ); plot( x, y(1,:),' g* '); title(' 第一个人 '); subplot( 3, 2, 2); plot( x, y(2,:),' ro '); title(' 第二个人 ');

subplot( 3, 2, 3);

plot( x, y(3,:),' g. ');

title(' 第三个人');

subplot( 3, 2, 4);

plot( x, y(4,:),' c+ ');

title('第四个人');

subplot( 3, 2, 5);

plot( x ,y(5,:),' go ');

title(' 第五个人');

图4.1 每个人的能量消耗图

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年.

[2]王敏生，王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年.

[3]罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年.

[4]胡良剑，孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.