关于减肥计划的数学模型
数学建模——减肥计划(修改版)
•
C=(β+αγt)ω/α
• 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal；
• 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
• 节食加运动能有效减肥，节食时间周期长 ，在第一阶段就运动减肥会更快达到预期 目标。
• 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
减肥计划：
• 在节食加运动的情况下，分为三阶段 • 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐
渐减少，直至达到安全下限（10000Kcal） • 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续
运动，体重减至75Kg，减肥成功 • 第三阶段：保持减肥成果
• 基本模型： • K: 表示第几周； • ω(k):表示第k周的体重； • C(k):表示第k周吸收的热量； • α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; • β:表示代谢消耗系数（因人而异）
• 问题分析：
• 1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。
• 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。
3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，
减少体重不要过快来表达
• 模型假设：
1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；
2. 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异；
3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关；
4. 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal
数学建模之减肥计划-4
姓名身高（m ） 体重(kg) BIM 每天吸收热量（体重保持不变） 目标体重(kg) 张三 1.7 63.5 22 1300 50一、以张三为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每天减肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。
2）若要加快进程，第二阶段增加运动。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制定1)首先应确定某甲的代谢系数β。
根据他每天吸收c=1300kcal 热量，体重ω=63.5kg 不变，由（1）式得βωαωω-c += ，相当于每天每公斤体重消耗热量1300/63.5=20.47kcal 。
从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人。
第一阶段要求体重每天减少b=0.1429kg ，吸收热量减至下限,1429min kcal c =即bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω由基本模型（1）式可得)1()0(])([1)1(k b w b k w k c βααββα+-=-=+将b ,,βα的数值带入，并考虑下限m in c ，有c (k+1)=1713.8-4.081k 1429≥得70≤k 即第一阶段共70天第二阶段要求每天吸收热量保持下限m in c ，由基本模型（1）式可得min )()1()1(ac k k +-=+ωβω （3）为了得到体重减至75kg 所需的天数，将（3）式递推可得])1()1(1[)()1()(1--++-++-=+n m n C k w n k w ββαββαβαβm m n C C k w +--=])([)1( （4） 已知90)(=k ω，要求，）（75n k =+ω再以min c ，，βα的数值代入，（4）式给出得到n=131，即每天吸收热量保持下限1429kcal ，再有131天体重减至75kg 。
为了加快进程，第二阶段增加运动。
小组展示：减肥问题的数学模型
w r / r
i 1 i i i 1 i
3
3
i 3
(1 10 10 i ) 4.2 10 / rii
3 i 1
4
(1 e ct )
80 e 2.210 80.9( kg )
30 60 24
1.78 107 2.210 4 30 60 24 (1 e ) 4 2.2 10
• 表明能量的摄取量是对能量消耗的一种补充。 • 综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。
a c
5.1.4模型的改进
(1) 改进一：以一天(24小时)为时间计量单位。于是以天为单 位的基础代谢的能量消耗量为
C 24c (焦耳/日) ( c 为1千克体重每小时所消耗的能量)
于是
dW a C R a dW , a , d , dt D D _
• 因为是人的体重转化为热量的一个系数, 所以恒不等于0 ,且是一个常 数。若a =0,则这说明如果不进食,人的体重只与人自身的代谢和体力活 动有关,这是完全合理的。 a c • 若a 增大,则w（t）增大,说明能量摄入越多 ,体重就不断增加; • 若c 增大,即 增大,则w(t)下降,这表明活动强度越大,消耗的能量越多。
体重斤378体重斤10千卡人体基本代谢癿最低热量体力活动所需要癿热量人体基本代谢癿需要癿本热量活动强度系数10活动强度系数表每小时每公斤活动跑步跳舞乒乓自行车中速游泳50mmin热量消耗kcal7030442579活动强度系数05040402053热量主要由3种物质即由脂肪蛋白质碳水化合物转化而得因此在减肥期间应当限制膳食癿总热量而丌仅是限制脂肪癿摄入
3、根据与活动强度系数表的比较，及我们的讨论， 定此操的活动强度热量为2.5，活动强度系数为 0.2
数学建模——减肥计划(修改版)-PPT
13
❖ 75=0.972n(90-45)+45 ❖ 解得n=7,即每周吸收热量保持在下限，再过7
周就可减至75kg
14
❖ 第三阶段：
❖ 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出 每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。
❖ 由上式 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)
则β’=0.028
10
❖ 第一阶段：
❖ 要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限
cmin=10000kcal,即
❖
ω(k)- ω(k+1)=1, ω(0)- ω(k)=bk
❖ ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)- β ’ω(k)
c(k1)1['w(k)b]
'w(0)b(1'k)
11
❖ 根据α,β’,b, cmin已知，取β1=0.03 β ’=0.028， 有
6
❖ 基本模型： ❖ K: 表示第几周； ❖ ω(k):表示第k周的体重； ❖ C(k):表示第k周吸收的热量； ❖ α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; ❖ β:表示代谢消耗系数（因人而异）
7
体重变化基本方程 w(k 1) w(k)c(k 1)'w(k)
其中β’= β+ β1 β1为增加运动时的代谢消耗系数， 由运动的形式和
2
❖ 问题分析：
❖ 1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。
❖ 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少， 减少体重不要过快来表达
减肥计划的数学模型
关键字：体重 、吸收热量、消耗热量、体重指数
问题重述
我们知道肥胖与热量吸收有直接关系， 我们将通过调整饮食和增减运动来降低 某同学对热量的吸收，帮他制定减肥计 划，看他在一个月内能否减肥成功。
背景与问题的分析
背景分析：1.体重指数BIM=W(kg)/L2 (m2)， 18.5<BIM<25~ 正 常 ； BIM>25~ 超 重 ； BIM>30~肥胖2.通过控制饮食和适当的运动， 在不伤害身体的情况下，达到减肥目标 问题分析：饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型评价
此模型有利于看出减肥的趋势，合理分配生活时间起到了双赢的 效果，而且计算较小。但是此模型考虑的因素不会很全面，所以 会有一定的误差
现欲减肥至60公斤3为了安全与健康每周体重不宜超过15公斤每周吸收的热量不要小于10000千卡每小时每千克运动消耗的热量模型的建立每周吸收20000千卡w80公斤不变qm10000wk1wkaqk1bartwk模型求解qk1baw1a1bk8000200kqm10000取art0007即rt56bbart0032n12模型检验一个月内无法减肥成功经科学研究一周不要减肥超过15公斤再经模型求解计算出需要22周才能达到减肥目标值也就是说平均每周减肥091公斤这个数值比较符合事实又不会影响身体的健康
模型假设
减肥计划：某同学体重80公斤，身高1.6m，目前每周吸收20000 千卡热量。现欲减肥至60公斤 1）体重增加正比于吸收的热量，每8000千卡增加体重1千克 2）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关 3）为了安全与健康，每周体重不宜超过1.5公斤，每周吸收的热 量不要小于10000千卡
数学建模减肥计划 (2)
作业数学建模——减肥计划王亮2013201208_朱小光2013201166_李林俊2013201145数学建模——减肥计划论文题目减肥计划数学模型专业数学与应用数学小组成员王亮2013201208朱小光2013201166李林俊2013201145摘要：随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。
由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。
很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，因而减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥。
这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。
各种假药或对身体有害的药品，夸大疗效的虚假广告等等也就应应运而生理念，对老百姓造成了不必要的伤害。
所以，如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。
于是了解减肥的机理成为关键。
关键词：减肥饮食合理运动一、问题重述联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。
据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。
在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。
可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。
许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。
数学建模减肥减肥计划
（2）
利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数。
5.模型的建立
（1） 首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 B, 因为没有运动，所以有 R = 0， 根据公式 （2）式，
得到：
B A W
从而得到没人每千克体重基础代谢的能量消耗。
从假设（5）可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人， 加上吃得比较多，没有运动，所以会长胖，进一步，由
自行车 2330.200 2016.400 2135.600 2217.000
游泳 2735.300 2448.400 2567.600 2676.000
2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800
（2） 在 h = 2 的情况下运动所消耗的能量，如下表：
（4）
由式（1.1）
dw dt
0即
a/d
<
w，体重从w0
递减，这
是减肥产生的效果，另外由式 （1.2）可以看到 t 时
w(t) w* a / d A /(B R) ，也就是说式（1.1）的解渐进
稳定于 w* a / d ，它给出了减肥过程的最终结果，因此不
妨称 w*为减肥效果指标，由 w* A /(B R) ，因为 B 是基础
代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数（非常数，即
通过调整新陈代谢的方法来减肥） ，于是就有如下结论：减
肥效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能
量以及由于运动消耗的能量，
从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量， 这恰是人们对减肥的认识。
数学建模减肥计划
减肥计划——节食与运动摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。
之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。
数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。
关键词：减肥饮食合理运动一、问题重述联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。
据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。
在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。
可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。
许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。
很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。
各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。
情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。
但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。
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2011第一学期数学建模选修课期末作业
名称：减肥计划
学号：1008054311
系别：计算机系
姓名：宛笛
上课时间：周四晚上
是否下学期上课：是
减肥计划
摘要:近年来,随着人们生活水平的提高,肥胖现象也日趋普遍,越来越多的人开始关注和解决肥胖问题,与此同时,各类减肥食品充斥市场,却达不到好的效果,或者不能维持,有的还会对消费者的身体带来一定损害.
本文中,我们建立了节食与运动的模型,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标.
关键字:肥胖节食运动不伤害减轻体重
1问题重述
当今社会,人们对于健康越来越重视,而肥胖也成为困扰很多人的健康问题,肥胖者通过各种方式减肥,但很多人收效甚微,本文通过制定合理的节食和运动计划科学的直到肥胖者减肥.
2 问题分析
(1) 体重变化由体内能量守恒破坏引起;
(2)人体通过饮食（吸收热量）引起体重增加;
(3)代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
3符号说明
1）K: 表示第几周；
2）ω(k):表示第k周的体重；
3）C(k):表示第k周吸收的热量；
4）α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)];
5）β:表示代谢消耗系数（因人而异）;
6) β’:表示通过运动代谢消耗系数在原有的基础上增加,即可表为β’=β+β1, β1有运动形式和时间决定.
4模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；
2)代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
5 减肥计划
事例：某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。
现欲减肥至75千克。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；
第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
6模型建立
1、不运动情况下：计算第k周体重公式
W(k+1)=w(k)+ αc(k+1)- βw(k)
2、增加运动情况下：计算第k周体重公式
W(k+1)=w(k)+ αc(k+1)- β’w(k)
一、不运动情况的两阶段减肥计划
确定某甲的代谢消耗系数
每周吸收20000千卡w=100千克不变
W=w+ αc- βw;
β=αc/ w=20000/(8000*100)=0.025;
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡
1、第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
基本模型：w(k)- W(k+1)=1 W(k+1)= w(k)+ αc(k+1)-βw(k)
=>c(k+1)=1/α[βw(k)-1] w(k)=w(0)-k
代入α=1/8000 β=0.025
c(k+1)= (β/α)w(0)- 1/α(1+βk)=12000-200k>=Cm=10000 k<=10 =>第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克
吸收热量为c(k+1)= 12000-200k k=0,1,…,9
2、第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
基本模型：W(k+1)=w(k)+ αc(k+1)- βw(k)
W(k+1)=（1-β）w(k)+ αCm
W(k+n)= （1-β）n w(k)+ αCm[1+(1-β)+…+(1+β)n-1]
=（1-β）n[w(k)- αCm/β]+ αCm/β
代入α=1/8000 β=0.025 Cm=10000得
W(k+n)=0.975n[w(k)-50]+50
第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
已知w(k)=90,要求W(k+n)=75，求n
75=0.975n(90-50)+50
n=lg(25/40)/lg0.975=19
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
W(n)=40x0.975n+50(n=1,2,…19)减少至75千克。
二、为加快进程，第二阶段增加运动。
经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：
β+β1，β1=αγt,即
ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)
试取αγt=0.003，即γt=24，则β’=0.028
所以由上式带入已知条件
得n=14,即若增加γt=24的运动（每周跳舞8小时或自行车10小时），就可将第二阶段时间缩短为14周。
三、达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变
ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)
ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω
C=(β+αγt)ω/α
若不运动得c=8000*0.025*75=15000kcal；
若运动，则c=8000*0.028*75=16800kcal
7减肥建议
一、不运动情况的两阶段减肥计划
第一阶段：w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
每日食谱：
早餐：豆汁一碗，豆沙包一个，鸡蛋一个
午餐：西红柿炒鸡蛋，木耳拌芹菜，清炒油麦菜
晚餐：素炒西胡芦、虾米烧冬瓜、腐竹拌黄瓜，豆腐脑一小碗
第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
每日食谱：
早餐：牛奶一杯，鸡蛋一个，花卷一个
午餐：炒土豆丝，凉拌白菜心，青椒冬笋丁
晚餐：牛肉面，西红柿鸡蛋汤
食物所含热量参照
豆汁(生)100克 10大卡豆沙包一个 215大卡
鸡蛋1个（58克，较大）86大卡（蛋清16大卡，蛋黄59大卡）油煎的相比水煮和荷包蛋就增加很多卡。
番茄100g19千卡芹菜100g 10千卡
冬瓜100g 7千卡黄瓜 6片 28g 5千卡
冬瓜 100g 40千卡木耳 100g 21千卡
油麦菜100g 5千卡腐竹100g 459千卡
豆腐脑(带卤)100克47千卡冬笋100g 40千卡
白菜100g 72千卡牛奶 100g 54千卡
花卷100g 217千卡牛肉面 540千卡
青椒100g 99千卡土豆100g 67千卡
二、为加快进程，第二阶段增加运动。
每日食谱：参照第一阶段，第二阶段食物食谱
三、达到目标体重75千克后维持不变的方案
1）不运动：
每日食谱：
早餐：苹果馒头
午餐：炒青菜猪肉(瘦) 麻婆豆腐
晚餐：白粥大饼卤牛肉
加餐：火腿肠绿茶
食物所含热量参照
苹果 100.0 克52千卡馒头 100.0 克 221千卡
白粥 100.0 克 32千卡大饼 100.0 克215千卡
卤牛肉 100.0 克 106千卡炒青菜 100.0 克 45千卡
猪肉(瘦) 100.0 克143千卡麻婆豆腐 100.0 克144千卡
火腿肠 100.0 克212千卡绿茶 100.0 克296千卡
2）运动
每日食谱：
早餐：酸奶熟鸡蛋白菜包子
午餐：烧茄子冬瓜汤炒鸡肉
晚餐：鸡蛋饼玉米粥卤牛肉豆腐干
食物所含热量参照
酸奶100.0克72千卡熟鸡蛋100.0克151千卡
白菜包子100.0克120千卡炒茄子100.0克111千卡
冬瓜汤100.0克2千卡炒鸡肉100.0克239千卡
鸡蛋饼100.0克130千卡玉米粥100.0克40千卡
卤牛肉100.0克106千卡豆腐干100.0克140千卡
八参考文献
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袁震东：洪渊等.数学建模[M].华东师范大学出版社 1997
李尚志等：数学建模竞赛教程[M].江苏教育出版社 1996
李明振.数学建模的认知机制及其教学策略研究[N].2007-05-08.
戴朝寿等，数学建模简明教程，北京，高等教育出版社，2007年。
秦小龙.利用“数学建模兴趣小组”培养学生数学应用能力的实践研究
[N].2006-10. 姜启源数学建模，北京，高等教育出版社
叶其孝：大学生数学建模竞赛辅导教材(四)[M].湖南出版社 2001。