数学建模减肥计划

减肥计划——节食与运动
摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。

关键词：减肥饮食合理运动
一、问题重述
联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。

据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。

在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。

可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。

许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。

很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。

各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

二、模型分析
通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。

人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。

只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。

减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。

当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。

每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。

(每天膳食提供的热量不少于5000—7500J这是维持正常命活动的最少热量)通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来谈论。

三、模型假设
根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：
1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；
2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal~3200kcal；
3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。

四、基本模型
记第k 周末体重为ω（k ），第k 周吸收热量为c （k ），热量转换系数α=1/8000（kg/kcal ），代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为
ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－βω(k),k=0，1，2，…
（1）
增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

五、减肥计划的提出
某甲身高1.7m ，体重100kg ，BMI 高达34.6。

自述目前每周吸收20000kcal 热量，体重长期不变。

试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75kg 并维持下去：
1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg ，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal ）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。

3）给出达到目标后维持体重的方案。

六、减肥计划的制订
1）首先应确定某甲的代谢消耗系数β。

根据他每周吸收c=20000kcal 热量，体重ω=100kg 不变，由（1）式得
ω=ω+αc －βω， β=αc/ω=20000/8000/100=0.025
相当每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal 。

从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人，他又吃得那么多，难怪如此之胖。

●第一阶段要求体重每周减少b=1kg ，吸收热量减至下限c min =10000kcal ，即
ω(k)－ω(k+1)=b ，ω(k)= ω(0)－bk 由基本模型（1）式可得 c(k+1)=
α1
[ βω(k)－b]= αβω(0)－α
b (1+βk)
将α，β，b 的数值代入，并考虑下限c min ，有 c(k+1)=12000－200k ≥c min =10000 得k ≤10，即第一阶段共10周，按照 c(k+1)=12000－200k ，k=0，1，…，9
（2）
吸收热量，可使体重每周减少1kg ，至10周末达到90kg 。

●第二阶段要求每周吸收热量保持下限c min ，由基本模型（1）式可得 ω(k+1)=(1－β) ω(k)+ αc min
（3）
为了得到体重减至75kg所需的周数，将（3）式递推可得
ω(k+n)=(1－β)nω(k)+ αc min[1+(1－β) +…+(1－β)n-1]= (1－β)n[ω(k)－αc min/β]+ αc min/β
已知ω(k)=90，要求ω(k+n)=75，再以α，β，c min的数值代入，（4）式给出75=0.975n(90－50)+50 （5）得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg。

●配餐方案：
2）为加快进程，第二阶段增加运动。

经过调查资料得到以下各项运动每小
记表中热量消耗γ，每周运动时间t，为利用基本模型（1）式，只需将β改为β+αγt，即
ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－(β+αγt) ω(k) （6）试取αγt=0.003，即γt=24，则（4）式中的β=0.025应改成β+αγt=0.028，（5）式为
75=0.0972n(90－44.6)+44.6 （7）得到n=14，即若增加γt=24的运动，就可将第二阶段的时间缩短为14周。

3）最简单的维持体重75kg的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数c，使ω(k)不变。

由（6）式得
ω=ω+αc－(β+αγt) ω
c=(β+αγt) ω/α（8）若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上），则c=16800kcal。

七、评注
人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。

这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。

体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢消耗系数β，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所改变。

从上面的计算中我们看到，当β由0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应用这个模型时要对β作仔细的核对。

参考文献：
[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版）
[2]卢向南、李俊杰、寿涌毅，应用运筹学
[3]百度搜索，热量表。