数学建模——减肥计划(修改版)
数学建模——减肥计划(修改版)
•
C=(β+αγt)ω/α
• 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal；
• 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
• 节食加运动能有效减肥，节食时间周期长 ，在第一阶段就运动减肥会更快达到预期 目标。
• 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
减肥计划：
• 在节食加运动的情况下，分为三阶段 • 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐
渐减少，直至达到安全下限（10000Kcal） • 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续
运动，体重减至75Kg，减肥成功 • 第三阶段：保持减肥成果
• 基本模型： • K: 表示第几周； • ω(k):表示第k周的体重； • C(k):表示第k周吸收的热量； • α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; • β:表示代谢消耗系数（因人而异）
• 问题分析：
• 1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。
• 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。
3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，
减少体重不要过快来表达
• 模型假设：
1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；
2. 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异；
3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关；
4. 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal
数学建模之减肥计划-4
姓名身高（m ） 体重(kg) BIM 每天吸收热量（体重保持不变） 目标体重(kg) 张三 1.7 63.5 22 1300 50一、以张三为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每天减肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。
2）若要加快进程，第二阶段增加运动。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制定1)首先应确定某甲的代谢系数β。
根据他每天吸收c=1300kcal 热量，体重ω=63.5kg 不变，由（1）式得βωαωω-c += ，相当于每天每公斤体重消耗热量1300/63.5=20.47kcal 。
从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人。
第一阶段要求体重每天减少b=0.1429kg ，吸收热量减至下限,1429min kcal c =即bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω由基本模型（1）式可得)1()0(])([1)1(k b w b k w k c βααββα+-=-=+将b ,,βα的数值带入，并考虑下限m in c ，有c (k+1)=1713.8-4.081k 1429≥得70≤k 即第一阶段共70天第二阶段要求每天吸收热量保持下限m in c ，由基本模型（1）式可得min )()1()1(ac k k +-=+ωβω （3）为了得到体重减至75kg 所需的天数，将（3）式递推可得])1()1(1[)()1()(1--++-++-=+n m n C k w n k w ββαββαβαβm m n C C k w +--=])([)1( （4） 已知90)(=k ω，要求，）（75n k =+ω再以min c ，，βα的数值代入，（4）式给出得到n=131，即每天吸收热量保持下限1429kcal ，再有131天体重减至75kg 。
为了加快进程，第二阶段增加运动。
数学建模
若不运动，容易计算出c=15000kcal,若运 动，则c=16800kcal 此时 0
体重变化的影响因素
不仅和每天吃的食物有关，和所处环境也 有密切的关系，例如不同温度下人的代谢 消耗都不样，冬天人代谢的一般要比夏天 要多以些，含糖低的食物所含热量一般较 少一些，所以要达到理想的减肥状态，时 间的选择，以及所吃的食物，都应该加以 注意，当然了通过上面的计算也可以看出 运动也是一个比较重要的因素。
75 0.972 (94 44.6) 44.6
n
解得n=17.1,取整数得n=17,即增加运动后， 就可以将第二阶段22周的
时间缩短为17周。此外此模型中 若 0 ，则可以相应的分析出其结 果。
最简单的维持体重75kg的方案
寻求每周吸收热量保持某常数c，使w(k)不 变，则有 w w c ( et ) w
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安 排计划。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的提出
1.首先应确定某甲的代谢消耗系数 。根 据他每周吸收c=20000kcal热 量，体重 w=100kg不变，由（1）式得 w=w+ c - w - c / w / w 0.025 0.01 相当于每周每千克体重消耗热量 20000/100=200kcal.从假设（2）可以知道， 某甲属于代谢相当弱的人，他又吃的那么 多，难怪如此之胖
减肥计划——节食与运动
背景
体重指数定义为体重（单位kg）除以身高（单 位m）的平方，18.5<BMI<25 ~正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 大量事实表明，多数减肥食品达不到减肥的目的， 或者是即使减肥一时，也很难维持下去。许多医 生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的 运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体 重并维持下去的目的。本节主要是建立一个简单 的体重变化模型，并由此提供了一个通过节食和 运动的减肥计划。
mathematica建立减肥模型
减肥模型摘要本文讨论了关于减肥问题的模型建立与解决，共提出两种解决方案，分别通过节食来减少热量吸收，通过消耗大于吸收来达到减肥目的，另通过运动来增加热量的消耗，以加快减肥速度。
通过对两种方式所需时间的比较，选出较优方案。
将所用的Mathematica程序附于文末。
关键词：减肥体重吸收消耗减少增加热量运动问题提出对一个人是否肥胖，联合国世界卫生组织颁布所谓体重指数（简记BMI）。
BMI定义为体重（kg）除以身高（m）的平方。
并规定BMI在[18.5 , 25]为正常，超出25为超重，超出30为肥胖。
现某男子身高1.75m，体重120kg。
其BMI=39，该男子为肥胖。
目前该男子每周吸收的热量为25 000kcal。
该男子现欲进行减肥，使体重达到80kg，他该采取什么样的方法，可以尽快地实现减肥目标？问题分析每个人每天既要吃饭，吸收热量，使体重增加，同时又有新陈代谢，消耗热量，也可能还有比较剧烈的运动消耗热量。
我们的减肥可以通过控制饮食，减少人对热量的吸收，也可以通过运动，增大对热量的消耗达到目的。
模型假设根据人的生理资料，我们可以做以下假定：1．体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kca可增加1kg。
2．正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200~320kcal，因人而异。
3．运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。
4．为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不小于10 000kcal。
变量说明1．记第k周体重为w（k），第k周吸收的热量为c（k）。
2．人每天要吸收热量增加体重，同时又会有代谢使体重减少。
这里热量转换系数a=1/8 000 kg/kcal.3．代谢消耗指数为b，跟人有关。
4．当增加运动hi，可将b修改为b+r，r为跟运动有关的消耗指数5．运动每小时每千克消耗的体重记为u模型建立与求解我们根据是否采取运动减肥分为两种情况。
方案1：控制饮食减肥。
数学建模之减肥问题的数学模型
数学建模之减肥问题的数学模型东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告教师评语：减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号 5133117 姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩指导教师签字： 2021年01月09日数学与统计学院课程设计（实习）报告第 1 页摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[?(t??t)??(t)]D?[A?(B?R)?(t)]?t再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式?(t)??e?dt?a(1?e?dt) d然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字：微分方程模型能量守恒能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是数学与统计学院课程设计（实习）报告第 2 页从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
建模报告——减肥计划
⑴
8
模型建立
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
• 控制饮食和适当运动的体重变化 增加运动时只需将 改为 1 1 t 其中 γ：运动热消耗 t：运动时间
(k 1) (k ) c(k 1) ( 1 ) (k ) (k ) c(k 1) ( t ) (k )
Thanks
一、在基本上不运动情况下的减肥方案
第一阶段 将α, β,b的数值带入，并考虑下限cmin，有 c(k+1)=12000－200k≥ cmin =10000 求解得k≤10,即第一阶段共10周，按照 c(k+1)=12000－200k，(k=0，1，…，9) （2） 吸收热量，可使体重每周减少1kg，至第10周末达到 90kg。
• 举一个具体的实例，制定一个减肥计划来讨论减
肥模型。 • 某甲身高1.8m，体重100kg，BMI高达30.8。自述 目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试 为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至 75kg （此时BMI为23.15）并维持下去：
4
问题分析
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模型假设
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
• 根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假 设： • 假设该人身体状况正常，且肥胖不是遗传性的； • 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体 重1kg（kcal为非国际单位制单1kcal=4.2kj）； • 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体 重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而 异； • 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； • 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周 吸收热量不少于10000kcal。
减肥数学建模
减肥数学建模
在当今社会，减肥已经成为了很多人关注的话题。
人们希望通过科学的方法和
合理的方式来减肥，以达到健康和美丽的目的。
而数学建模作为一种科学的分析方法，可以帮助我们更好地理解减肥过程中的变化规律，从而找到更有效的减肥方案。
首先，我们可以通过数学建模来分析减肥的基本原理。
减肥的过程实际上是一
个能量平衡的问题，即摄入的能量和消耗的能量之间的关系。
我们可以用数学模型来描述这个过程，通过方程式来表示能量的变化和平衡，进而找到减肥的最佳方案。
其次，数学建模还可以帮助我们分析减肥过程中的身体变化。
比如，我们可以
通过建立数学模型来研究减肥对身体各项指标的影响，比如体重、体脂率、肌肉量等。
通过数学模型的分析，我们可以更好地了解减肥过程中身体的变化规律，从而找到更科学的减肥方法。
另外，数学建模还可以帮助我们优化减肥方案。
通过建立数学模型，我们可以
对不同的减肥方案进行模拟和比较，找到最适合自己的减肥方案。
比如，我们可以通过数学模型来分析不同饮食和运动方案对减肥效果的影响，从而找到最有效的减肥方案。
除此之外，数学建模还可以帮助我们预测减肥的效果。
通过建立数学模型，我
们可以根据自己的减肥计划和实际情况，预测未来的减肥效果，从而更好地调整和优化减肥方案，提高减肥的效果和成功率。
总的来说，数学建模在减肥过程中发挥着重要的作用。
通过数学建模，我们可
以更好地理解减肥的原理和规律，优化减肥方案，预测减肥效果，从而找到更有效的减肥方法。
因此，我们可以将数学建模应用到减肥过程中，以帮助我们更科学、更有效地减肥，达到健康和美丽的目标。
数学建模减肥模型
w w c ( t )w
c ( t ) w /
(8)
• 若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上)， 则c=16800kcal。 • 评注 人体体重的变化是有规律可循的，减肥也 应该科学化、定量化。这个模型虽然只考虑了一个非 常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚 至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。 • 体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别 是代谢系数 ，不仅因人而异，而且即使同一个人在 不同环境下也会有所改变。从上面的计算中我们看到， 当 由 0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所 需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应 用这个模型是要对 作仔细的 核对。
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通常，制订减肥计划以周为时间单位比较方便， 所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。 模型假设 根据上述分析，参考有关生理数据， 作出以下简化假设： 1。体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal 增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kJ）； 2。正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每 公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间，且因 人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至 3200kcal； 3。运动引起的体重减少正比于比重，且与运动形 式有关； 4。为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg， 每周吸收热量不要少于10000kcal。
c / w 20000/ 8000/ 100 0.025
• 相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以 知道，某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多， 难怪如此之胖。 • 第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减 至下限 cmin 10000 kcal ， 即
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基本模型： K: 表示第几周； ω(k):表示第k周的体重； C(k):表示第k周吸收的热量； α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; β:表示代谢消耗系数（因人而异）
体重变化基本方程
w(k + 1) = w(k ) + αc(k + 1) − β ' w(k )
其中β’= β+ β1 β1为增加运动时的代谢消耗系数， 由运动的形式和 增加运动时的代谢消耗系数， 增加运动时的代谢消耗系数 时间决定. 时间决定
再确定甲运动后的代谢消耗系数β1 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量： 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 记表中热量消耗γ，每周运动时间 ， 记表中热量消耗 ，每周运动时间t，利用增加运动 后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即 后的基本模型，其中 即 ， ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) 试取β 试取 1=αγt=0.003，即 γt=24 ， 则β’=0.028
αcmin αcmin = (1 − β ' ) [ w(k ) − ]+ β' β'
n
n −1
]
已知ω(k)=81, α, β’, cmin，求ω(k+n)=75，由上式得：
75=0.972n(90-45)+45 解得n=7,即每周吸收热量保持在下限，再过7 周就可减至75kg
第三阶段： 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出 每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由上式 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω
问题分析：
1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少， 减少体重不要过快来表达
1. 2.
3. 4.
模型假设： 体重增加正比于吸收的热量， 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加 增加1kg（1kcal=4.2kj）； 增加 （ ）； 正常代谢引起的体重减少正比于体重， 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异； ，且因人而异； 运动引起的体重减少正比于体重， 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关； 动形式有关； 为了安全与健康， 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于 每周吸收热量不少于10000kcal 每周吸收热量不少于
建立模型：
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡 千克，目前每周吸收 某甲体重 千克 千卡 热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克 千克。 热量，体重维持不变。现欲减肥至 千克。
减肥计划：
在节食加运动的情况下，分为三阶段 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐 减少，直至达到安全下限（10000Kcal） 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运 动，体重减至75Kg，减肥成功 第三阶段：保持减肥成果
第二阶段：要求每周吸收热量保持下限cmin，由基 本模型得 ω(k+1)=ω(k)+α cmin - β ’ω(k) =（1- β’）ω(k)+ α cmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得
w(k + n) = (1 − β ' ) w(k ) + αcmin [1 + (1 − β ' ) + K + (1 − β ' )
模型求解： 先确定甲不运动时的代谢消耗系数β。 根据已知条件c=20000kcal, α =1/8000,ω=100kg不变，由基本模型得 ω= ω+αc- βω 推出 β=0.025 这相当于每周每公斤体重消耗热量 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢 消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖
α
[ β ' w(k ) − b]
根据α,β’,b, cmin已知，取β1=0.03 β ’=0.028， 有 C(k+1)=14400-224k≥ cmin=10000 得 k ≤19.6,即第一重每 周减1kg，至第19周末可减至81kg
数学建模——减肥计划
数学三班 许小红 单厚荣 张茜佳 仙洋 冶青兰 罗静
问题描述： 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥 胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量 事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的， 或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许 多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和 运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减 轻体重并维持下去的目的。
C=(β+αγt)ω/α 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal； ， ； 若运动， 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
节食加运动能有效减肥，节食时间周期长， 在第一阶段就运动减肥会更快达到预期目标。 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
第一阶段： 第一阶段： 要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限 要求每周体重减少 吸收热量减至下限 cmin=10000kcal,即 即
ω(k)- ω(k+1)=1, ω(0)- ω(k)=bk
ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)- β ’ω(k)
c(k + 1) =
1
β' b = w(0) − (1 + β ' k ) α α