减肥的数学模型

a A / D 表示由于能量的摄入而增加的体重，
分析四： 分析四 d • 由式(1.1) 0 即 a/d ,体重从 递 0 dt 减,这是减肥产生效果,另外由式(1.2)可以看到
时
t (t) a/d A/(B R) , 也 就 是 说 式 ( 1 . 1 ) 的 * 渐 a/d稳 定 解 进
，即体 肪的消耗而产生的，如此继续下去，有 lim （t） 0 t
Hale Waihona Puke 重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的。
分析三
a / d 是模型中的一个重要的参数，由于
d ( B R) / D 而 表示由于能量的消耗而失 a/d 掉的体重,于是 就表示摄取能量而获 t 得的补充量,综合以上的分析可知 时刻 的体重由两部分构成,一部分是初始体重中 由于能量消耗而被保存下来的部分.另一部 分是摄取能量而获得的补充部分,这一 解释从直观上理解也是合理的.
BR
A (t ) BR A
减肥，我来了！
：
分析二
在式（2）中假设 a 0 ，即假设停止 进食，无任何能量摄入。于是有 （t） dt -dt 或 • （t） 0 e e 0 •
这表明在 t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由
e dt
给出，
称为时间内的体重保存率，特别当 t 1 时，给出了单位时间内 体重的消耗率，它表明在时间内体重的消耗率，它表明在 (0, t ) 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂
有效的，它将危机人的身体健康，是危险的。
过量运动限制 无效减肥限制
人们为减肥所采用的各种体力活 动对能量的消耗也有一个人体所能 承受的范围， 这表明减肥的效果 是有控制饮食和增加消耗综合作用、 相互协调的结果。
模型评价
实际上，减肥的过程比模型所描述的要复杂得多， 这个模型只是为了总结出饮食和锻炼这两个主要因 素与减肥的关系，有助于人们走出盲目减肥的误区， 树立科学健康减肥的观念。至于对减肥的更深入的 分析还有赖于进一步构建更详细的模型。
组员：
1.问题提出 5.符号说明
2.知识背景
6.模型建立与求解 3.问题分析 7.模型分析
4.模型假设 8.模型评价
问题提出
你如何对待减 肥问题？试建 立模型，从数 学的角度对有 关的规律做进 一步的探讨和 分析。
知识背景
肥胖指数：是一个体重与身高的比率，它 被认为是大多数人身体脂肪的合理反映。
模型假设
1.假设以人体脂肪的重量作为体重的标志。
2.假设体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。 3.假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比。
4.假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A。
模型假设
5.假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间 的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影 响。 6.假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特 殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。
模型求解有
a dt t）=0e + （1-e ） （ d (2)
dt
A A (0 )e BR BR

B R t D
模型分析
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分析一
当 t 时， 。由于可以调节 A, B, R 使得 B R 等于任何常数， 即理论上 讲，你要减（增）肥到多重都是可以的，只要 你适当调整饮食、锻炼和新陈代谢，即调整A, B, R 就可以了。但是不吃东西、任意改变新陈代谢 和锻炼过度都不可取。 A 称为平衡体重
问题分析 问题分析
研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥 过程中我们要对人的体重进行持续的检测，可以 将人体的体重看成是时间t的函数w(t)。 不同的活动对能量的消耗不同。所以我们在 建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活 动消耗的人体能量。记r为某一种活动每小时所消 耗的能量，记b为1千克体重每小时所消耗的能量。
以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消 耗量应为 B 24b(kcal/ d ) ,由于人的某种运动一般不
会是全天候的,不妨假设每天运动
动所消耗的能量应为
R rh(kcal/ d )
h 小时,则每天由于运
2
按照假设2，体重随时 间的变化w(t)是连续而 且充分光滑的。我们可 以在任何一个时间段内 考虑由于能量的摄入与 消耗引起人的体重的变
M
• 设摄入与消耗的能量之差为 • • 根据能量平衡原理，有
，则有
M [ A ( B R) (t )]t
W M
即：
[(t t) - (t)]D [A （B R）（t） t ]
• 取 t 0 ,可得
d a d， dt （0）=0
总结
因素一

由于进食而摄取的能量
控制饮食
因素二

由于活动而消耗的能量
增加活动量
无效减肥限制
• 根据背景知识，我们知道 任何人通过饮食摄入
的能量不能低于用于维持人体正常生理 功能所需要的能量。 因此作为人体体重极限表
明能量的摄入过低并致使无法维持他本人正常的生 理功能的所需。这时减肥所得到的结果不能认为是
问题分析
要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需 要选定一个测量肥胖的标准量，因为人体的脂肪 是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥 的主要目标。因此，我们以人体脂肪的重量作为 体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100﹪， 每千克脂肪可以转换为4.2×10^7焦耳/千克，称 为脂肪的能量转换系数。
肥胖指数的计算：体重（公斤）比上身高 （米）的平方（kg/m2）。
（WHO的BMI参考标准为：低于18.5为轻体重，18.5-24.9 为正常体重，25-29.9为超重，大于30为肥胖。）
知识背景
适用人群：18至65岁的人士。儿童、发育中的 青少年、孕妇、乳母、老人及身型健硕的运动 员除外。
中国人的体重最佳值：应该在18.5—22.6 之间，BMI指数大于22.6就是超重。
符号说明
D：脂肪的能量转化系数 W（t）：人体的体重关于时间的t的函数。 A：每天摄入的能量 r：每千克体重每小时运动所消耗的能量（kcal/kg）/h b：每千克体重每小时所消耗的能量（kcal/kg）/h B：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
模型建立与求解
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前提条件
1
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*
于 因此不妨称
,它给出了减肥过程的最终结果, * 为减肥效果指标,由 * A/(B R) ，
因为B是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可 以认为它是一个常数（非常数，即通过调整新城 代谢的方法来减肥）
• 减肥的效果主要是由两个因素控制的，包 括由于进食而摄入的能量以及由于运动消 耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是 控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减 肥的认识。 • 人体体重的变化时有规律可循的，减肥也 应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭 示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的 关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区， 从事减肥活动有一定的参考价值。
（1）
• 其中, a A / D , d ( B R) / D ， t 0 (模型开始考察时刻),即减肥问题的数学模型
其中 a A / D 表示由于能量的摄入而增 加的体重，而 b ( B R) / D 表示由于能 量的消耗而失掉的百分数(每单位体重中由 于基础代谢和活动而消耗掉的那部分)。
3
按照能量的平衡原理，
任何时间段内由于体重
的改变所引起的人体内
能量的变化应该等于这
段时间内摄入的能量与
消耗的能量之差。
化。
• 我们选取某一段时间 (t , t t ) ，在 (t , t t ) 内 考虑能量的改变： • 设体重改变的能量变化为 W ,则有 •
W [ (t t ) (t )]D