一般形式的柯西不等式9·27
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一般形式的柯西不等式
当a1 , a2 , , an中至少有一个不为 0, 则
f x a a a x 2a1b1 a2b2 anbn x
2 2 . b12 b2 bn 2 1 2 2 2 n 2
a a a 0, 考虑二次函数
2 2 b12 b22 bn2 0 . 4 a12 a2 an
2 2 2 b12 b22 bn2 于是得 a1 a2 an 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当 f x 有唯一 零点时 , 判别式 0, 以上不等式取等号 .
这里构造的函数考虑到 了配方,出现了后面的平 方和,由此再利用判式.
通过以上证明 , 得知猜想成立 ,于是有
定理 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是实数, 则 a a a
2 1 2 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当bi 0(i 1,
2 1 2 2 2 n
因为对于任意实数 x , f x a1 x b1 a2 x b1 an x bn 0,
2 2 2
所以二次函数 f x 的判别式 0, 即 2 4 a1b1 a2b2 an bn
2
1 1
2
2
a
2 1
a a
2 2 2
2 n
2
1 a1 1 a2 1 an ,
n个
所以 n a a a a1 a2 an , 1 2 2 2 2 即 a1 a2 an a1 a2 an . n
f x a a a x 2a1b1 a2b2 anbn x
2 2 . b12 b2 bn 2 1 2 2 2 n 2
a a a 0, 考虑二次函数
2 2 b12 b22 bn2 0 . 4 a12 a2 an
2 2 2 b12 b22 bn2 于是得 a1 a2 an 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当 f x 有唯一 零点时 , 判别式 0, 以上不等式取等号 .
这里构造的函数考虑到 了配方,出现了后面的平 方和,由此再利用判式.
通过以上证明 , 得知猜想成立 ,于是有
定理 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是实数, 则 a a a
2 1 2 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当bi 0(i 1,
2 1 2 2 2 n
因为对于任意实数 x , f x a1 x b1 a2 x b1 an x bn 0,
2 2 2
所以二次函数 f x 的判别式 0, 即 2 4 a1b1 a2b2 an bn
2
1 1
2
2
a
2 1
a a
2 2 2
2 n
2
1 a1 1 a2 1 an ,
n个
所以 n a a a a1 a2 an , 1 2 2 2 2 即 a1 a2 an a1 a2 an . n
一般形式的柯西不等式
4 .设 a , b , c R , 且满足 abc 1, 试证明 : 1 a (b c )
3
1 b (a c)
3
1 c (a b)
3
3 2
定理 ( 一般形式的柯西不等式
)
设 a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b 2 , b 3 , , b n 是实数 , 则 当且仅当 b i 0 ( i 1, 2 , , n ) 或存在一个数 k , 使得 a i kb i ( i 1, 2 , , n )时 , 等号成立 。
新课程 新思想 新理念
从平面向量的几何背景 将平面向量的坐标代入 的柯西不等式 当且仅当 :
2
能得到 ，
， 化简后得二维形式
(a1 a2 ) (b1 b2 ) (a1b1 a2b2 )
2 2 2 2
a 1 b 2 a 2 b1时 , 等号成立 .
类似地 , 从空间向量的几何背景
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 A sin 1
2
R,
2
1 sin
2
B sin
1
2
) 36 R C
2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1, 求证 : ( a 1 a ) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
2 2 2 2 2 2 2
x y z
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__(_a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__…_＋__a_n_b_n)_2___________， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共__线__时，等号成
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
一般形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
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教师多媒体展示，
回答，老师
通过复习，巩固前面知识，为本节学习
铺
体会转化和数形结和思想，培养学生的形象思维能力，训练训练了学生的数形结合一，复习引入
提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式、几何意义
(二维形式的柯西不等式)
若d
c
b
a,
,
,都是实数,
则)
(
)
(2
2
2
2d
c
b
a+
⋅
+2
)
(bd
ac+
≥.
当且仅当bc
ad=时,等号成立。
二维形式的柯西不等式的变式:
bd
ac
d
c
b
a+
≥
+
⋅
+2
2
2
2
)
1
(
bd
ac
d
c
b
a+
≥
+
⋅
+2
2
2
2
)
2
(
(柯西不等式的向量形式)
若,
αβ是两个向量,则αβαβ⋅
≥
.当且仅当
β
是零向量或存在实数k，使k
αβ
=时,等号成立。
二维形式的三角不等式：
设1122
,,,,
x y x y R
∈
那么
222222
11221212
()()()()
x y x y x x y y
+++-+-
≥
.当且仅当1221
x y x y
=
时,等号成立.
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
)
(
)
(y
y
x
x
y
x
y
x-
+
-
≥
+
+
+
二维形式的三角不等式
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
-
+
-
+
-
≥
+
+
+
+
+
三维形式的三角不等式
二，讲解新课：
我们知道，平面上向量的坐标（）是二维的形式，空间向量的坐标（）是三维的形式
思考：联系前一节的内容，从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论？
αβαβ
≥,,当且仅当αβαβ
≥,探究：对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一构造二次函数()222222212
12)4()()0n n n n a b a a a b b b +-++⋅+++≤
2222122
1)()
(111)n n a a a a a a +++++⨯+⨯++⨯≥22
212) (n a a a a ++++++≥12)n n a a a a +++++≤
是不全相等的正数，证明：。