独立重复试验概率公式的全面阐述

独立重复试验概率公式的全面阐述
季　强
(常州高级中学数学组,江苏　213003)
中图分类号:G 633.6 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2003)13-0013-02
收稿日期:2003-04-14
作者简介:季强(1965—
),男,江苏徐州人,江苏常州高级中学高级教师,学士. 高中数学教科书第二册(下B )P132“独立重复试验”一节的概率公式,要作深入理解和全面阐述,否则学生处理这类问题时容易程式化,硬套公式,条件稍作变化便不知所措.
1　独立重复试验的概率公式有一定的局
限性1.1　概念的理解
一般地讲,独立重复试验应符合三个条件:①任两次试验之间是相互独立的;②每一次试验都有两个事件,且这两个事件是相互对立的;③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的.
这是判定是否为独立重复试验的三个条件.在判定一个概率问题是独立重复试验问题后,我们再用其公式求概率.
1.2　公式P n (k )=C k n P k (1-P )
n -k
的理解
独立重复试验概率公式P n (k )=C k n P k
(1
-P )
n -k
,用于计算一次试验中事件发生的
概率是P 时,n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率,这k 次是哪k 次呢?它
有C k n 种可能的情况,从而这个问题转化为C k
n
个互斥事件的和,每一个互斥事件又是n 个相互独立的事件的积,其中该事件发生k
次,其对立事件发生n -k 次,概率都为P k
(1-P )
n -k
,这样,n 次独立重复试验中这个
事件恰发生k 次的概率为P n (k )=C k
n P k
(1-P )
n -k
.
必须特别明确的是:C k
n 有特定的意义,
是具有相同概率P k (1-P )n -k
的互斥事件
发生k 次的所有可能数目.
例1　某人射击一次命中目标的概率是1
2
,求此人射击6次恰好3次命中目标的概率.
分析　这是独立重复试验问题,分为C 36
个互斥事件的和,每一事件的概率都是
(
12)3(1-12
)6-3
.
解　依题意,此人射击6次恰3次命中目标的概率为
P 6(3)=C 3
6(
12)3(1-12)6-3=5
16
.
1.3　公式P n (k )=C k n P k
(1-P )
n -k
的局限性
例2　某人射击一次命中目标的概率为1
2
,求此人射击6次3次命中且恰有两次连续命中的概率.
分析　这是独立重复试验问题,但是6次射击命中三次时又有了限制条件“恰有两
3
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数学通讯
次连续命中”,这样,这个问题就不是C36个互斥事件的和了,当然就不能用该公式计算概率了.
从该题可以看到,公式P n(k)=C k n P k(1 -P)n-k的应用有一定的局限性,C k n是这“k 次”不附带其他限制条件的互斥事件的个数,当这“k次”有附带的限制条件时,互斥事件的个数就不是C k n了,当然这个公式就不能用了,但每一个互斥事件的概率还是P k(1-P)n-k.
例2如何解决呢?我们要对这个问题进行一定的探讨.
2　附带限制条件的独立重复试验问题解决例2的概率问题,就必须求问题可以转化为多少个互斥事件的和,这两次连续命中与另一次命中是间隔排列问题,共有A24种可能情况,从而该问题可以转化为A24个互斥事件的和,故“6次射击三次命中且恰有两次连续命中”的概率为
A24(1
2
)3(1-
1
2
)3=
3
16.
由上可知,公式P n(k)=C k n P k(1-P)n-k只能用于计算不附带限制条件的独立重复试验问题,附带限制条件的独立重复试验问题关键是求出可以转化为互斥事件的个数,而每一个互斥事件的概率都还是P k(1-P)n-k.
3　独立重复试验问题概率的一般公式不论是无限制条件的概率问题,还是有限制条件的概率问题,都必须求出问题转化出来的互斥事件的个数,前者为C k n,后者不妨记为n(k),这样我们就有如下结论:一次试验中,某事件的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为P n(k)=n(k)P k(1-P)n-k.当这“k次”不附带限制条件时,n(k)=C k n否则n(k)≠C k n.
例3　某人射击一次命中目标的概率是1
2,
求此人射击6次三次命中目标且不连续命中的概率.
分析　这是独立重复试验问题,可转化
为C34个概率为(1
2
)3(1-
1
2
)3的互斥事件的和,此时n(k)=C34.
解　此人射击6次三次命中且不连续命中的概率为:
P6(3)=C34(
1
2
)3(1-
1
2
)3=
1
16.
例4　某产品的出厂要经过五个指标的抽检,有两项或两项以上指标的抽检不合格时,该产品不能出厂,每项指标不合格的概率
都为1
3,
试求该项产品经过五项指标的抽检,恰有连续三项不合格而不能出厂的概率.
分析　是独立重复试验问题,共有三种
可能的情况.
解　相邻三项为:1,2,3;2,3,4;3,4,5;
此时n(k)=3.故所求概率为:
P5(3)=3(
1
3
)3(1-
1
3
)2=
4
81.
综上所述,我们在解决n次独立重复试
验中某事件恰发生k次的概率问题,就要注
意“k次”有无限制条件,再求出这个问题转
化出来的互斥事件的个数n(k),切忌不理
解C k
n
或n(k)的意义而硬套公式,把问题程
式化.
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