概率 独立重复试验练习
高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题
高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题1.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.【答案】（1）0.31 （2）3【解析】（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可.利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论.试题解析：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=.所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)= P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31.(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；若k=4，则P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.【考点】1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率.2.设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】∵E(X)＝n×＝2，∴n＝6.∴P(X＝2)＝24＝3.某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。
概率练习(一)(附答案)
11．1 概率 （一）[基础练习]1、有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ）A 、507 B 、1007 C 、487 D 、203 2、袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事 件中概率是98的是（ ） A 、颜色全同 B 、颜色不全同 C 、颜色全不同 D 、颜色无红色3、甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是41，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）A 、43B 、32C 、54D 、107 4、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ）A 、)1,6.0[B 、]6.0,0(C 、]4.0,0(D 、)1,4.0[ 5、5个同学任意站成一排，甲、乙两人恰好站在两端的概率是（ ）A 、81B 、91C 、101D 、111 6、某班有学生36人，按血型分类为：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O型6人，如果从这个班随机抽出2名学生，则这2名学生血型相同的概率是 7、2个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是（保留两位有效数字）8、有一道竞赛题，A 生解出它的概率为21，B 生解出它的概率为31，C 生解出它的概率为41，则A 、B 、C 三人独立解此题只有1人解出的概率为 ［典型例题］［例1］甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：甲、乙两人依次抽一题的结果有19110C C 个 （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有1416C C 个， 所求概率154)(191101416==C C C C A P （2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的结果有131419110C C C C -个， 所求概率1513)(19110131419110=-=C C C C C C B P ［例2］学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是2116，问该队有多少人？ 解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x 人，从而只会唱歌或只会跳舞的有)212(x -人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A ，则事件A 的对立事件A 是“只会唱歌或只会跳舞”2116)(1)(,)(3123212=-==--A P A P C C A P xx 又 21161)10)(11)(12()210)(21)(212(-=------∴x x x x x x 解得912,3=-∴=x x ，故该队共有9人［例3］在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅，计算：（1）5人中有2人借杂志的概率（2）5人中至多有2人借杂志的概率解：记“一位读者借杂志”为事件A ，则“此人借书”为A ，5位读者各借一次可看作n 次独立重复事件，因此：（1）5人中有2人借杂志的概率0512.0)2.0()8.0(3225==C P（2）5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志，5人中恰有1人借杂志，5人中恰有2人借杂志，因此所求概率05216.0)2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(322541155005=++=C C C P［例4］进入世界排名前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国人抽签平分为甲、乙两组进行比赛，求4名中国选手不都分在同一组的概率。
独立重复试验(1)
A 4 3 B A I的概率为： P4 (3) C3 p 3 (1 p) ; 4
I Y的概率为： P4 (1) C1 p1 (1 p) 41 4
那么棋子由A I Y 的概率为
P4 (3) P4 (1) C3 p3 (1 p) C1 p1 (1 p) 41 4 4
P(A1 A 2 A3 A 4 )
2 3 2 2 ( ) (1 ) 81 6 6
因为 4种情况彼此互斥，故4次中3次掷到1或6点， 1次掷到1或6以外点的概率为
2 8 4 81 81
2 3 2 4 3 C ( ) (1 ) 6 6
3 4
1、独立重复试验定义
C p (1 p) C p (1 p)
1
4 2
变式3：求棋子到达Q点的概率
4 1
变式4：求棋子到达U点的概率
0 C4 p 0 (1 p) 40
二项式[(1-p)+p]4展开式的各项
变式5：若棋子共走了n格其中向右走了k格 到达某点O’,求到O’的概率?
C p (1 p)
k n k
共C 4种情况
3 4
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) 2 2 2 2 2 (1 ) 81 6 6 6 6
同理: P( A A A3 A ) P( A A2 A A ) 1 3 4 1 2 4
4 0.9 0.1 0.29
3
某射手射击 4 次恰好击中 3 次的概率约是0.29
例2. 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算 （结果保留两个有效数字）： （1）5 次天气预报中恰有 4 次准确的概率； （2）5 次天气预报中至少有 4 次准确的概率。 解：（１）记 “预报 1 次，结果准确” 为事件 A. 则预报 5 次相当于作 5 次独立重复试验.
高二数学独立重复试验某事件发生的概率试题
高二数学独立重复试验某事件发生的概率试题1.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________.【答案】【解析】由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有，，，，，，∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是.【考点】次独立重复试验中恰好发生次的概率.2.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0.1,0＜p＜1)，则E(X)＝________.【答案】1－p【解析】X服从两点分布，∴E(X)＝1－p.3.已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝1)的值为________．【答案】【解析】∵X～B，∴P(X＝1)＝C13·＝.44.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．【答案】X的分布列为X012345【解析】解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，即X～B，k k5－k，k＝0,1,2,3,4,5，即有P(X＝k)＝C5从而X的分布列为X0123455.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.【答案】【解析】＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2，即(1－p)2＝，p＝.221＝.故P(Y＝2)＝C36.姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是．【答案】0.243【解析】∵姚明比赛时罚球命中率为90%，∴他在3次罚球中罚失1次的概率是【考点】本题考查了独立重复试验的概率点评：独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
独立重复试验概率经典例题
独立，对立，相互对立互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+ 对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 相互独立事件事件：A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互 独立事件。
1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、13、14，则此密码能译出的概率为 （ ）()A 35()B 25()C 5960()D 1602．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸出1个球，那么56等于 （ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？独立重复试验概率1. 定义2. 公式3. 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．4. 例题：例1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率。
概率统计综合练习及答案
北京科技大学远程教育学院《概率统计》综合练习(一)参考答案随机事件及其概率一、填空1、A 、B 、C 是三个事件，用A 、B 、C 的运算表示A 、B 、C 中至少发生两个的事件 AC BC AB ，用文字叙述C AB C B A BC A 表示的事件 三个事件中恰好发生两个事件 。
2、A 是试验E 的一个事件，每次试验A 出现的概率为p=0.25，独立重复做试验E 四次， A 是否必定出现一次？ 否3、A ⊆B ，P (A )=0.2，P (B )=0.6则 P (B －A ) = 0.4 ，P (A －B ) = 0 。
4、P (A )＞0，P (B )＞0，A 、B 相互独立与A 、B 互不相容能否同时成立？ 否 。
5、事件A 、B 独立，则A 、B 独立 。
6、P (A ∪B ∪C )的计算公式为)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 。
7、每次试验A 出现的概率为p ，独立重复做n 次试验，在n 次试验中，A 出现次数k 的可能取值为 0，1，3，…，n ，A 出现k 次的概率为 kn k k n q p C - 。
二、 以A ，B ，C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用A ，B ，C 表示 以下事件：(1)只订阅日报； (2)只订日报和晚报； (3)只订一种报； (4)正好订两种报； (5)至少订阅一种报； (6)不订阅任何报； (7)至多订阅一种报； (8)三种报纸都订阅； (9)三种报纸不全订阅。
解：(1)C B A ，(2)C AB ，(3)C B A C B A C B A ，(4)C B A BC A C AB ， (5)C B A ，(6)C B A ，(7)C B A C B A C B A C B A ，(8)ABC ， (9)C B A三、 从0，1，2，…，9中任意选出4个不同的数字，试求它们能组成一个4位偶 数的概率。
数学一轮复习课后限时集训67n次独立重复试验与二项分布含解析
课后限时集训（六十七） n 次独立重复试验与二项分布建议用时：40分钟一、选择题1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!B [设A ＝｛第一次拿到白球}，B ＝{第二次拿到红球｝，则P （AB )＝错误!×错误!,P (A )＝错误!。
所以P （B |A ）＝错误!＝错误!.］2．已知甲，乙,丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，错误!，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!B ［甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P 1＝错误!×错误!×错误!＝错误!，所以三人中至少有一人被录取的概率为P ＝1－P 1＝错误!,故选B。
］3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是() A．错误!B．错误!C．18125D．错误!D[袋中装有2个红球，3个黄球,有放回地抽取3次，每次抽取1球,每次取到黄球的概率P1＝错误!，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C错误!错误!2错误!＝错误!。
]4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。
75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(）A．0.8 B．0。
75C．0。
6 D．0.45A[令A＝“第一天空气质量优”，B＝“第二天空气质量优”，则P(AB）＝0.6，P(A)＝0.75，P（B|A）＝错误!＝0。
8.］5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为错误!和错误!,甲、乙两人各射击一次,有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋错误!;②目标恰好被命中两次的概率为错误!×错误!；③目标被命中的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!；④目标被命中的概率为1－错误!×错误!，以上说法正确的是（）A．②③B．①②③C．②④D．①③C[对于说法①,目标恰好被命中一次的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，所以①错误,结合选项可知，排除B、D；对于说法③,目标被命中的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!，所以③错误,排除A.故选C。
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布[基础巩固练]一、选择题1．从1,2,3,4,5中不放回地依次取两个数，事件A ＝{第一次取到的是奇数}，B ＝{第二次取到的是奇数}，则P (B |A )＝( )A.15 B ．310 C ．25D ．12[解析] 解法一：依题意P (A )＝35，P (AB )＝35×24，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×2435＝12.解法二：第一次取到奇数后，第二次取数时还有四个数可取，其中两个奇数，故在第一次取到奇数的条件下，第二次取到奇数的概率为24＝12.[答案] D2．(2019·内蒙古包头调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25 B ．1130 C ．715D ．16[解析] 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.[答案] C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B ．12 C ．712D ．34[解析] 用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生概率为 P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝12×C 15C 16＝512.则所求概率P ＝1－P (A －B －)＝712. [答案] C4．(2019·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.8192C ．0.8D ．0.75[解析] 因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率C 34(0.8)3(1－0.8)＋C 48(0.8)4＝0.8192，故选B.[答案] B5．(2019·河南濮阳模拟)如图，已知电路中4个开头闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B．3 4C．1316D．14[解析]灯泡不亮包括4个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316，故选C.[答案] C二、填空题6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．[解析]由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. [答案] 127．(2019·扬州一模)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．[解析] 解法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.解法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. [答案] 138．(2020·江西抚州一中月考)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．[解析] 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件C ，则P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.[答案] 881 三、解答题9．(2019·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为10.(2019·石家庄模拟)1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵7281<90%≤8081，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为11．(2019·郑州模拟)某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X (单位：mm)对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：) A ．0.7 B ．0.5 C ．0.3D ．0.2[解析] 设事件A 为“年降水量X 至少是100”，事件B 为“工期延误小于30天”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.2＋0.10.2＋0.1＋0.3＝0.5，故选B.[答案] B12．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，若在三次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B ．34 C ．964D ．2764[解析] 假设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，所以事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. [答案] C13．(2019·浙江模拟)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．[解析] 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为24×24＝14.[答案] 13 1414．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p＝14时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，求丙投资两种方案的获利金额的分布列．[解](1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p＋13＋q＝1.又p＝14，∴q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A B－∪A－B∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，∴P(C)＝P(A B－)＋P(A－B)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝12＋12p.∵P(C)＝12＋12p>45，∴p>35.又p＋13＋q＝1，q≥0，∴p≤23.∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为假设丙选择“购买基金”(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为[拓展延伸练]15．(2019·河南郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是( )A.1127B ．1124C．1627D．38[解析]解法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知P(B)＝46＝23，P(B－)＝1－23＝1 3；由条件概率公式知P(A|B)＝49，P(A|B－)＝39＝13.从而P(A)＝P(AB)＋P(A B－)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B－)·P(B－)＝1127.故选A.解法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.故从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.故选A.[答案] A16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入甲袋或乙袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入甲袋中的概率为__________．[解析] 记“小球落入甲袋中”为事件A ，“小球落入乙袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入乙袋中，则小球必须一直向左或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.[答案] 34。
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概率（独立重复试验）练习（三）
1.判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币.
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次
（3）口袋内装有5个白球、3个黑球、2个红球，依次从中抽取5个球. 2.某产品的次品率P=0.05，进行重复抽样检查，选取3个样品，求其中恰有两个
次品的概率和其中至少有两个次品的概率.
3．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率．
4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1
4
，求1小时内5台
机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？
5．保险公司为了估计公司的利润，需要计算各种各样的概率。
有一种人寿保险，现有1000人参加，如果一年中参加这种保险的每个人的死亡概率为0．002 ，试求未来一年中恰有2个人死亡的概率。
（只列式子，不计算）
6．（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为80
81
，试求在
一次试验中事件A发生的概率
（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1
3
，
求在第n次才击中目标的概率
概率（n 次独立重复试验）练习（四）
1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成
功后3次都成功的概率为（ ）
()A 33710
(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有
一人中奖的概率为（ ）
()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 12
30.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好
逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）
()A 33351A A - ()B 211232323355
A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555
C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能
正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33
C
5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得
到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）
6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球
数不少于9个的概率为 ．
7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081
，则此射手的命中率为 ．
8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为3
1，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率
9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4。