几何概型及基本题型

几何概型及基本题型几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理。

一 重点知识剖析1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。

二 常见题型梳理（一）. 与长度有关的几何概型例1、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。

也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

[解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦，直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。

依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。

[解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。

设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是R , 解不等式，得x 2R ≤所以()22A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与图1-2图1-181cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)=9612-=14小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习 1.在等腰Rt △ABC 中，C=900，在直角边BC 上任取一点M ，求030CAM ∠≤的概率（答案：3）2.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A 3．已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：16（二）、圆弧之比类型 例1、 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。

解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周例2．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12. 例3、 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求∆ABC 是锐角三角形的概率。

解法1：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当∆ABC 为锐角三角形，记为事件A 。

则当C 点在劣弧C C 12上运动时，∆ABC 即为锐角三角形，即事件A 发生，所以P A ()=⨯=142214ππ 解法2：记∆ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“∆ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。

因为∆ABC 是锐角三角形的条件是02<<αβπ,且αβπ+>2所以事件A 构成集合A =+><<{(,)|,,}αβαβπαβπ202由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积Ω==122121422()ππ。

解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

（三）.面积之比类型例1在三角形ABC 中任取一点P ，证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于1n n-的概率为21n。

思考方法 本题的随机点是ABP 的顶点P ，它等可能的分布在ABC 中，因此，与样本空间对应的平面区域是ABC ，注意到ABP 于ABC 有公共边AB ，所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

解 设ABP 与ABC 的面积之比为1n n-，ABC 的高CD 为h ，ABP 的高PG 为h1，公共底边AB 的长为c ，（图2）则1111212ABP ABCch Sh n Sh n ch -=== 11n h h n -= 过点P 作EF//AB,交CD 于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF .于是所求概率为EFC ABCS P S=注意到EF//AB ，EFC ABC ,且 CH=h -h1 = h-1n n -h=1h n ，2221EFC ABCh s np S h n⎛⎫⎪⎝⎭∴=== 由此，原题得证。

评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形ABC 于三角形ABP 有公共底边AB ，所以，实际变化着的量只有一个(即点P 于AB 的距离)，问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

[例2]将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率． 解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|． 由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即12x y +>； ()x L x y y +-->，即2Ly <；()y L x y x +-->，即2L x <．图2HPG FED CBA故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩⎭，，，． 如图1所示，可知所求概率为221122()42L M P M L ⎛⎫⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积． 例3．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝932.答案：932练习 1.(2009·辽宁高考)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B2．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( )A.12B.14C.18D.116 解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2－4b 2≥0，作平面区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积， 故概率为14.答案：B3、已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( )A.13B.23C.19D.29 解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界．容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点．则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为418＝29.答案：D4．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率( )A.π2B.π8C.π6D.π4 解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.答案：D5．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 相交出三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符合要求． ∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π6．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(－12－a －b )(12＋a －b )<0，则(12＋a ＋b )(12＋a －b )>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <0，12＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78。