(新人教A版)2017-2018学年高中第一章坐标系一平面直角坐标系课件选修4-4(数学)
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高二数学人教A版选修4-4第一讲第一节《平面直角坐标系》课件(共65张PPT)
x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程
所对应的图形经过伸缩变换 (1)2x＋3y＝0；
x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
(2)变成椭圆 x2 y2 1. 49
【例4】求伸缩变换φ，使得曲线4x2＋9y2＝36 变成曲线x′2＋y′2＝4.
平面直角坐标系中任意一点，将横坐标缩短到原来的 1 ，
2
纵坐标伸长到原来的3倍，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，y
与y′的关系如何？
思考5：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线y＝sinx
得到曲线y＝3sin2x？ 图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标伸长
到原来的3倍.
2
思考6：这是一种伸缩变换，一般地，设点P(x，y)为
P的位置更方便？
P(680 5，680 5)
y
北
PC 东
B ГO l A x
位置：西北方向距离中心 680 10m 处.
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？
λ＞1，u＞1； λ＞1，u＝1； λ＞1，u＜1；
λ＜1，u＞1； λ＜1，u＝1； λ＜1，u＜1；
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-3-2空间向量运算的坐标表示课件
知识点1 空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下 表所示：
运算 加法 减法 数乘 数量积
坐标表示
a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2_＋__b_2，__a_3_＋__b_3_)
a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) λa＝__(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)__，λ∈R
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) C．(－2，0，－2)
√B．(－2，4，－2)
D．(2，1，－3)
B [b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)， 故选B．]
1234
√
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1．通过实例了解集合的含义．(数学抽象) 学习 2．掌握集合中元素的三个特性．(逻辑推理) 任务 3．体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用
数集的表示符号并会应用．(数学抽象)
01
必备知识·情境导学探新知
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
a⊥b⇔a·b＝0⇔___________________(a，b均为非零向量)
模
夹角公式
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
√ √
× ×
2．已知空间向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，则m＋n＝ _(－__1_，__－__1_，__1_)_，3m－n＝_(_5_，__－__1_1_，__1_9_) ，2m·(－3n)＝_1_6_8__． (－1，－1，1) (5，－11，19) 168 [m＋n＝(1，－3，5)＋(－2， 2，－4)＝(－1，－1，1)； 3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2， －4)＝(5，－11，19)； 2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋ 10×12＝168．]
高中物理 1.1质点、参考系和坐标系课件 新人教版必修1
判一判 (1)很小的物体一定能看成质点。 ( ) ) ) (2)同一物体有时可看成质点，有时则不能。( (3)质点与几何中心点一样，没有区别。(
提示：(1)错， (2)对， (3)错。 能够看成质点的条件是，当所研究的问题能够忽略物体的大小、形状时，才能看成质点，与物体 本身大小无关，因此(1)错，(2)对，几何中心点无质量，(3)错。
[典题探究] 例 2 如图所示，由于风，河岸上的旗帜向右飘，在河面上的两条船上的旗帜分别向右和向左飘，两 条船的运动状态是( )
A． A 船肯定是向左运动的 B．A 船肯定是静止的 C． B 船肯定是向右运动的 D． B 船可能是静止的
(1)河岸上的旗帜向右飘，说明风向哪个方向吹。
提示：向右吹。 (2)该问题除了考虑船的运动方向，还需要考虑什么？ 提示：还要考虑船与风的速度大小。
[解析] 甲车内同学看到乙车不动，说明甲车和乙车运动情况相同，乙车内同学看到树木向西运动， 说明乙车在向东运动。
考点三 建立坐标系的意义及方法 [重难突破] 1．意义 借助适当的坐标系，可定量地描述物体的位置及位置变化。 2．方法 直线坐 如果物体沿直线运动， 可以以这条直线为 x 轴，在直线上规定原点、 标系 二维坐 标系 三维坐 标系 即一维运动时 当物体在某一平面内做 曲线运动，即二维运动 时 当物体在空间内运动时 正方向和标度，建立直线坐标系 需用两个相互垂直的坐标确定它的位置，即二 维坐标(平面坐标) 需采用三个坐标确定它的位置， 即三维坐标(空 间坐标)
[典题探究] 例 3 从一深 4 m 的井中用水桶提水，出井口后再往上提升 1 m，选井口处为原点，水桶竖直向上提升
－4 m ，最后水桶的位置坐标为________ 1m 的路线为 x 轴，向上为正方向，则水桶在水面时的位置坐标为________ 。 0 5m 。 如果选水面为坐标原点，那么水桶在水面时的位置坐标为________ ，最后水桶的位置坐标为________
高中数学选择性必修第一册(人教A版)1、3、1 空间直角坐标系(课件PPT)
1．点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y 轴上
B．坐标平面 Oxy 上
C．坐标平面 Ozx 上
D．坐标平面 Oyz 上
答案 C
解析 因为点 P 的坐标中纵坐标为 0，横坐标和竖坐标都不
为 0，所以点 P 在坐标平面 Ozx 上．故选 C 项．
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【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
2．在空间直角坐标系中，点 P(－1,2,3)关于坐标平面 Oxy 对
称的点的坐标是( )
A．(1，－2，－3)
B．(－1,2，－3)
C．(1，－2,3)
D．(－1，－2,3)
答案 B
解析 由题意可得对称点的横坐标和纵坐标与点 P 的相同，
竖坐标与点 P 的互为相反数，故对称点的坐标为(－1,2，－3)．故
1．点的坐标表示：在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐 标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量O→A，且点 A 的位置由 向量O→A唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 O→A对应的_________有__序__实__数__组__(_x_，__y_，__z)__________叫做点 A 在空 间直角坐标系中的坐标，记作_______A__(x_，__y_，__z_)________，其中 __x_叫做点 A 的横坐标，__y_叫做点 A 的纵坐标，__z_叫做点 A 的竖 坐标．
高中数学第一章坐标系第4节第2课时球坐标系课件新人教a选修4_4
x＝rsin φ cos θ ， y＝rsin φ sin θ ， 求出r、θ、φ z＝rcos φ
代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，
tan
θ
＝
y x
，cos
φ
＝
z r
.特别注意由直角坐标求球坐标
时，θ 和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取
值，才能无误．
2．设点M的直角坐标为 42， 46，－ 22，求它的球坐标． 解：由变换公式得
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝π3 .
π 故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为 3 R.
我们根据A、B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞 机沿着过A、B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行 的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离．
3.
用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，
A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R，
π 4
，
π 6
)，
B(R，
π 4
，
2π 3
)，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最
短，求最短的路程．
[精讲详析] 本题考查球坐标系的应用以及球面上 的最短距离问题．解答本题需要搞清球的大圆的圆心 角及求法．
如图所示，因为A(R，π4 ，π6 )，B(R，π4 ，2π3 )，
π
π
轴，φ0＜ 2 时它在上半空间，φ0＞ 2 时它在下半空
间，φ0＝π2 时它是xOy平面(如图所示)．
已知点M的球坐标为5，5π6 ，43π ，求它的直角坐标．
[精讲详析] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关
系，解答本题需要先搞清球坐标(5，
5π 6
人教A版高中数学选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示课件
规律与方法
(1)在空间直角坐标系中，已知点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则―A→B ＝(x2 －x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. (2)两点间的距离公式：若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|―A→B |＝ ―A→B 2＝
跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和 A1C1的中点. 证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD.
证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0 )，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解 如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系， 则 B(1,0,0)，C(0， 3，0)，D(－1,0,0)，A(0，－ 3，0)，P(0,0， 3).
于是 E12，0， 23，∴―D→E ＝32，0， 23，―P→A ＝0，－
解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12. 所以―E→F ＝12，12，－12，―C→F ＝12，－12，0，―C→G ＝1，0，12， ―C→E ＝0，－1，12. (1)证明 因为―E→F ·―C→F ＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0， 所以―E→F ⊥―C→F ，即 EF⊥CF. (2)因为―E→F ·―C→G＝12×1＋12×0＋(－12)×12＝14，
3，－
高中数学第一章坐标系第1节平面直角坐标系课件新人教A版选修4_42
的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系． 设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC的方程为 h y＝－ax＋h，即：hx＋ay－ah＝0. h 直线AB的方程为y＝ax＋h，即：hx－ay＋ah＝0. 由点到直线的距离公式：|BD|＝ |2ah| 2 2， a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE. |2ah| a2＋h2 ，|CE|＝
∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2] ＝ [x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2]. 化简，得y2－x2＋6＝0. ∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上 的高．求证：BD＝CE.
[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应 用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证 明问题转化为代数运算问题．
1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点M的轨 迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直 角坐标系， 则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)． 设M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ （x＋4）2＋y2，|MB|＝ （x－4）2＋y2， |MC|＝ x2＋（y－2）2，|MD|＝ x2＋（y＋2）2，
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为 解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形” 中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握． (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例 如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点； 轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直 角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．
∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2] ＝ [x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2]. 化简，得y2－x2＋6＝0. ∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上 的高．求证：BD＝CE.
[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应 用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证 明问题转化为代数运算问题．
1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点M的轨 迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直 角坐标系， 则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)． 设M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ （x＋4）2＋y2，|MB|＝ （x－4）2＋y2， |MC|＝ x2＋（y－2）2，|MD|＝ x2＋（y＋2）2，
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为 解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形” 中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握． (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例 如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点； 轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直 角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．
高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4
则E
������ 2
,0
,F
������+������ 2
,
������ 2
,G
������+������ 2
,
������+������ 2
,H
������ 2
,
������ 2
,M
������ 2
,
������ 2
,N
������+������ 2
,
������ 2
.
由中点坐标公式求得线段EG,FH,MN的中点坐标都是
= =
������������,������ > 0, ������������,������ > 0,
将其代入方程 2x'-y'=4,得 2λx-μy=4.
将其与 x-2y=2,即 2x-4y=4 比较,可得 λ=1,μ=4.
故满足条件的伸缩变换为
������' ������'
= =
������, 4������.
一 平面直角坐标系
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求轨迹的常用方法
1.直接法.如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某 个等量关系,那么可用求曲线方程的步骤直接求解.
2.定义法.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可依据 定义写出轨迹方程.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
������' = ������������,������ > 0, ������' = ������������,������ > 0 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
人教版高中数学选择性必修1《空间直角坐标系》PPT课件
又GD＝34，故G点坐标为0，34，0. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 故HK＝12，CK＝18， ∴DK＝78， 故H点坐标为0，78，12.
[方法技巧] 求某点P的坐标的方法
(1)找到点P在x，y，z轴上的射影； (2)确定射影在相应坐标轴上的坐标； (3)求出点P的坐标．
[对点练清] 已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2，侧棱长为 13， 建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
解：因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为 P(0,0,12)， A52 2，－52 2，0，B5 2 2，52 2，0， C－52 2，52 2，0，D－522，－522，0.
题型二 空间向量的坐标表示 [学透用活]
[典例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD 所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求 向量―M→N 的坐标．
中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它 的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为 0，0，12.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝12，FN＝12， 故F点坐标为12，12，0. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通
1．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， A1C1 与 B1D1 相交于点 P，建立适当的空间直角坐标系，求出 点 C，B1，P 的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． 以下是两名同学的解法．
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
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2．已知△ABC 中，BD＝CD， 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直 线为 x 轴，建立平面直角坐系 xOy， 则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2
2 2 2 2 a ＋ b a － b c c 1 2 2 2 所以 AD ＋BD ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ (a ＋b2＋c2)， 4 4 4 4 2
3．已知 B 村位于 A 村的正西方向 1 千米处，原计划经过 B 村 沿着北偏东 60° 的方向埋设一条地下管线 m， 但 A 村的西北 方向 400 米处，发现一古代文物遗址 W.根据初步勘察的结 果，文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区．试 问：埋设地下管线 m 的计划需要修改吗？
[思路点拨]
由题意可知，点 P 所在的位置满足两个条件：
(1)在线段 BC 的垂直平分线上； (2)在以 A， B 为焦点的双曲线上．
[解]Байду номын сангаас
设点 P 的坐标为(x， y)， 则 A(3,0)， B(－3,0)， C(－5,2 3)．
因为|PB|＝|PC|，所以点 P 在 BC 的中垂线上． 因为 kBC＝－ 3，BC 的中点 D(－4， 3)， 1 所以直线 PD 的方程为 y－ 3＝ (x＋4)． 3 ①
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面 直角坐标系中任意一点，在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
的作用下，
φ － 平面直角坐标系中 点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称为___
的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
用坐标法解决几何问题
[例 1]
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点 P 必在以 A，B 为焦点的双曲 线的右支上，
x2 y2 双曲线方程为 － ＝1(x≥2)． 4 5 32 联立①②，解得 x＝8 或 x＝－ (舍去)， 11 所以 y＝5 3. 所以点 P 的坐标为(8,5 3)．
②
运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系——建立平面直角坐标系． 建系原则是利于运用 已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已 知点和已知直线作为原点和坐标轴． (2)设点——选取一组基本量， 用字母表示出题目涉及的 点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
直角坐标系中的伸缩变换
[例 3]
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 x2＋y2
x′2 y′2 ＝1 变成曲线 ＋ ＝1. 9 4 [思路点拨] 伸缩变换． 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出
已知△ABC 中，AB＝AC，BD、CE 分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE. [思路点拨] 由于△ABC 为等腰三角形，故可以 BC 为 x
轴， 以 BC 中点为坐标原点建立直角坐标系， 在坐标系中解决 问题．
[证明]
如图， 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y
轴建立平面直角坐标系． 设 B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． h 则直线 AC 的方程为 y＝－ax＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝ax＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2，|CE|＝ 2 2. a ＋h a ＋h
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由 W 位于 A 的西北方向及 |AW|＝400，得 W(－200 2，200 2)． 由直线 m 过 B 点且倾斜角为 90° －60° ＝30° ，得直线 m 的方程是 x－ 3y＋1 000＝0. 于是，点 W 到直线 m 的距离为 |－200 2－ 3×200 2＋1 000| 2 ＝100×(5－ 2－ 6)≈113.6＞100. 所以，埋设地下管线 m 的计划可以不修改．
几何 元素，将几 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_____ 代数 问题；第二步：通过代数运算解决代数问 何问题转化为_____ 几何 结论． 题；第三步：把代数运算结果翻译成_____
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形， 那么平面图形的伸缩变
坐标 伸缩变换， 换就可归纳为_____ 这就是用代数方法 ________研究几何 ____变换．
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴， 线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2，|BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
用平面直角坐标系解决实际问题
[例 2]
如图所示，A，B，C 是三
个观察站， A 在 B 的正东， 两地相距 6 km，C 在 B 的北偏西 30° ，两地相距 4 km，在某一时刻，A 观察站发现某 种信号，并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后 B，C 两个 观察站同时发现这种信号，在以过 A，B 两点的直线为 x 轴， 以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立的平面直角坐标系中， 指出发 出这种信号的 P 的坐标．
∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
建立平面直角坐标系的原则 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规 则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果 图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特 殊点尽可能多地在坐标轴上．
1．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形 ABCD.求证：AC＝BD.
一 平 面 直 角 坐 标 系
理解教材新知
考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
第 一 讲
一
平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
坐标 、曲 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 ______
方程 建立联系，从而实现________ 数与形 的结合． 线与______
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适