命题的基本概念
当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派。
本章小结
只有陈述句才有可能是命题，但并不是所有的陈述句都能成为命题。 本小节的思维形式注记图：
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。 • 也可用数字表示此命题 例如：[12]：今天下雨 表示命题的符号称为命题标识符，P和[12]就是命题标识符。
1.1.3 命题标识符
命题常元
一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元。
命题变元
如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元。 因为命题变元可以表示任意简单命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。
命题
判断给定的句子是否为命题的基本步骤
首先应是陈述句； 其次要有唯一的真值。
68%
80%
Sed ut perspiciatis unde omnis.
Sed ut perspiciatis unde omnis.
180
175
案例
1）该吃早饭了！ 祈使句，不是命题。
2）多漂亮的花呀！ 感叹句，不是命题。
我正在说谎，二者也相矛盾。这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题。
5） x-y ＞2。
Sed ut perspiciatis
Sed ut perspiciatis
unde omnis.
unde omnis.
不是命题。因为x, y的值不确定，某些x, y使x−y＞2为真，某些x, y使x−y＞2为假，即
复合命题的基本性质是：其真值可以由其原子命题的真值以及它们复合成该复合
命题的联结方式确定。
1.1.3 命题标识符
命题标识符
• 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将命题符号化。 • 通常使用大写字母P, Q, R…或用带下标的大写字母或用数字，如Pi，[12]等表
示命题。 例如：P：今天下雨
3）明天你有什么安排吗？ 疑问句，不是命题。
68%
80%
Sed ut perspiciatis unde omnis.
Sed ut perspiciatis unde omnis.
180
175
案例
4）我正在说谎。
是命题。因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真， 即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话6，8%则意味着它的8反0%为假，
x−y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。因此x−y＞2的真假无法确定，1所80以x−y＞21不75是命
题。
案例
6）不在同一直线上的三点确定一个平面。
是命题。 7）郑州是河南省的省会。
68%
80%
是命题。
8）下一个星期天会下雪。
Sed ut perspiciatis
unde omnis.
是命题。因为它的真值虽然目前无法确定，但它是有唯一真值的。
Sed ut perspiciatis unde omnis.
180
175
1.1.2 命题的分类
命题可以分为两种类型： 一种命题是不能再分解为更简单命题的，称作原子命题，又可称为简单命题； 另一种命题是通过联结词、标点符号将原子命题联结而成，称作复合命题。
例如：
• 1）玫瑰是红的并且紫罗兰是蓝的。 • 2）如果明天是个好天气，我们就去野炊。
命题：具有真假意义的陈述句。
1.1.1 命题
什么是命题
推理是数理逻辑研究的中心问题，推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断 的陈述句构成了推理的基本单位，称具有真假意义的陈述句为命题。
真值
命题总是具有一个确定真或假的“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别记为True（真）和False（假），用1和0表示。 真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
第一章命题逻辑
引言
逻辑主要研究推理过程，而推理过程必须6依8%靠命题来表8述0%。
在命题逻辑中，“命题”被看作最小单位p。erSsepdicuitatis
unde omnis.
Sed ut perspiciatis unde omnis.
命题逻辑是数理逻辑中最基本、最简单的部分。180
175
命题逻辑部分知识逻辑概图
1.6 命题逻辑推理理论 命题演算推证
1.5 对偶与范式 主析/合取范式 析/合取范式
1.4 命题公式间的关系
逻辑蕴涵
逻辑等价
标准型
公式间关系
1.3 命题公式
1.2 联结词
1.1命题的基本概念
命题逻辑部分知识逻辑概图
程序设计 程序优化
命题逻辑
数字电路 电路设计与优化
计算机 逻辑运算
1.1.命题的基本概念
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
问题？
一、命题的定义
命题P——不关心其具体涵义，只关心其值的 真值
命题变元——定义域：真、假 命题常元——T和F 命题公式（也称命题，合式公式）——含命题变元
的断言，由以下规则生成： （1）单个原子公式是命题。 （2）若A、B是命题公式，┐A、A∧B、A∨B、
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
Hale Waihona Puke 111回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
1、合式公式的层次：
0层
1层
2层
3层
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
几个相关概念
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
命题的概念
(1)若f(x)是正弦函数,(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
思考一:命题(1)和命题(2)的条件和结论有什么内在联系？
1、命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
2、命题的形式
命题的基本形式为“若p,则q”.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
也就是说，把一个命题的条件和结论互换位置就是它的逆命题.
思考二:命题(1)和命题(3)的条件和结论有什么内在联系？
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
命题的基本概念
命题的基本概念1. 概念的定义命题是逻辑学和数理逻辑中的一个基本概念，指的是能够陈述一个明确的陈述句或者陈述句的复合句。
一个命题要么是真的，要么是假的，不存在其他可能性。
命题可以用来表达事实、判断、推理等。
命题可以用符号来表示，常用的符号有大写字母P、Q、R等表示命题，命题的真值用T（true）表示真命题，用F（false）表示假命题。
2. 重要性命题是逻辑学和数理逻辑的基础，它的重要性体现在以下几个方面：2.1 逻辑推理命题是逻辑推理的基础，逻辑推理是通过对命题的合理组合和推理得出结论的过程。
在逻辑推理中，命题可以作为前提、假设或者结论，通过命题之间的逻辑关系进行推理和证明。
2.2 真值表命题的真值表是一种列举出命题在不同情况下的真值的表格。
通过真值表，可以清晰地展示出命题的真值情况，从而帮助我们理解命题之间的逻辑关系和推理规律。
2.3 谓词逻辑在谓词逻辑中，命题可以作为谓词的参数，通过对命题的量化和连接得出更复杂的命题。
谓词逻辑是现代逻辑的基础，广泛应用于数学、计算机科学等领域。
2.4 知识表示命题可以用来表示知识，通过对命题的组合和推理，可以构建出复杂的知识表示体系。
知识表示是人工智能、专家系统等领域的重要研究内容。
3. 应用命题的应用非常广泛，涉及到多个学科和领域，以下介绍几个常见的应用：3.1 数学推理在数学中，命题是数学推理的基础。
通过对命题的逻辑关系进行推理，可以得到数学定理和证明。
3.2 计算机科学在计算机科学中，命题逻辑是形式化方法的基础，用于描述和分析算法和程序的正确性。
命题逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，包括程序验证、模型检测、人工智能等领域。
3.3 自然语言处理在自然语言处理中，命题可以用来表示句子的含义和逻辑关系，通过对命题的推理和计算，可以进行机器翻译、信息检索、问答系统等任务。
3.4 人工智能在人工智能领域，命题逻辑是知识表示和推理的基础。
通过对命题的组合和推理，可以构建出复杂的知识表示体系，用于解决问题和推理。
第2章_1节-命题逻辑基本概念
定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
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2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
2
命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。
命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。
一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。
命题通常用字母表示，如p、q、r等。
下面是一些例子：1. p：今天是晴天。
2. q：明天会下雨。
3. r：1+1=2。
二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。
常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。
1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。
例如，¬p表示命题p的否定。
2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。
例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。
3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。
例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。
4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。
例如，p→q表示命题p蕴含命题q。
5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。
即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。
例如，p↔q表示命题p和命题q等价。
三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。
复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。
例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。
2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。
3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。
在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。
命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。
总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。
基本概念命题
极小项 极小项
极小项
～P∧～Ｑ∧Ｒ ～P∧Ｑ∧Ｒ
P∧Ｑ∧Ｒ
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计算机学院
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将极小项全部进行析取后，可得到相应的主析 取范式：
G=（Ｐ→Ｑ）Ｒ = （ ～ P∧ ～ Ｑ ∧ Ｒ ） ∨ （ ～ P∧ Ｑ ∧ Ｒ ） ∨
（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）
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例2
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二、基本要求
能准确地将给定命题符号化 深刻理解全称量词、存在量词及量词的辖域、
全总个体域的概念 能准确理解约束变元(量)和自由变元的概念 掌握约束变元的改名规则和自由变元的代入
规则 能熟练地运用US、ES、UG、EG规则进行推理
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二、基本要求
1、熟练掌握关系的性质和运算 2、熟练运用Warshall算法计算关系的传递闭包 3、熟练掌握偏序关系的哈斯图的画法以及由哈斯
图给出相应的偏序关系 4、熟练掌握求偏序集中子集的最大元 、最小元 、
极大元、极小元、上界、下界、最小上界、最 大下界的方法 5、熟练掌握利用关系的性质和定义进行证明
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第一章
一、基本概念 命题、命题常元、命题变元、命题的解释或
赋值、原子命题(简单命题)、复合命题、否定 联结词、合取、析取、可兼或、不可兼或、条 件、双条件、常值命题、命题变量、命题公式、 命题公式的解释、真值表、永真公式(重言式)、 永假公式(矛盾式，不可满足公式)、可满足公 式、公式的等价、对偶（公）式、对偶原理、 子句、短语、析取范式、合取范式、主析取 （主合取）范式、极小项、极大项
命题的通俗解释
命题的通俗解释摘要：1.命题的定义2.命题的分类3.命题的通俗解释4.命题的逻辑关系5.命题的重要性正文：1.命题的定义命题是逻辑学中的一个基本概念，它是一种对事情的陈述或判断。
在数学、物理、化学等学科中，命题常常用来描述一个事实或者表达一个观点。
简单来说，命题就是一个陈述句，它可以是真或假，可以通过推理和证明来确定其真假性。
2.命题的分类根据命题的内容和形式，我们可以将命题分为两类：肯定命题和否定命题。
肯定命题是对某件事情的肯定判断，例如“太阳从东方升起”；否定命题则是对某件事情的否定判断，例如“月亮不是地球的卫星”。
3.命题的通俗解释要理解命题的通俗解释，我们可以从日常生活中的例子入手。
比如，我们可以用命题来描述一个人的身高、体重、年龄等属性。
假设有一个人叫张三，我们可以用命题来表达关于张三的信息，如“张三身高170 厘米”、“张三体重60 公斤”等。
这些命题都是对张三属性的陈述，我们可以通过观察和测量来验证这些命题的真假。
4.命题的逻辑关系在逻辑学中，命题之间存在一定的逻辑关系。
主要包括以下几种关系：且（∧）、或（∨）、非（）、蕴含（→）等。
这些逻辑关系可以帮助我们更好地理解和分析命题，判断它们之间的逻辑联系。
5.命题的重要性命题在人类认识世界的过程中具有重要意义。
通过命题，我们可以表达观点、陈述事实、进行推理和论证。
在科学研究中，命题是构建理论体系的基础，它们帮助我们揭示自然规律、探索未知领域。
此外，在日常生活和交流中，命题也起着关键作用，它们帮助我们表达思想、传递信息、解决争端等。
总之，命题是一种对事情的陈述或判断，它在逻辑学、科学研究以及日常生活中具有重要意义。
命题的概念和例子
要点三
真值与逻辑值的关系
真值是命题本身的属性，而逻辑值是 命题在逻辑运算中的取值。因此，一 个命题的真值决定了它在逻辑运算中 的逻辑值。例如，在二值逻辑中，如 果一个命题是真的，那么它的逻辑值 为“1”，否则为“0”。
02
CATALOGUE
简单命题及例子
原子命题
定义：原子命题是逻 辑中最基本的命题单 位，它不能再被进一 步分解为更简单的命 题。原子命题通常表 示一个具体的陈述或 事实。
推理规则在复合命题中应用
析取推理
对于复合命题“P或Q”，如果已知其中一个命题是假的， 则可以推出另一个命题是真的。
合取推理
对于复合命题“P且Q”，如果已知其中一个命题是真的，则 不能推出另一个命题的真假；但如果已知其中一个命题是假的
，则可以推出整个复合命题是假的。
假言推理
对于复合命题“如果P，则Q”，如果已知P是真的且Q是假的 ，则可以推出整个复合命题是假的；如果已知Q是真的，则不
判断步骤
根据联结词的性质，计算复合命 题在每个组合下的真值。
真值表定义：真值表是一种列出 命题逻辑中所有可能的真值组合 ，并根据这些组合确定复合命题 真值的表格。
列出所有原子命题的所有可能真 值组合。
将结果填入真值表中，得出复合 命题的真值。
实例分析
实一
考虑命题“P：今天下雨”和“Q：我去散步”。复合命题“P并且Q”表示“今天下雨并且我去散步 ”。根据真值表，当P和Q都为真时，“P并且Q”才为真。
语句可以是陈述句、疑问句、感叹句 等，而命题只能是陈述句。此外，语 句的真假值可能因人而异或随时间变 化，而命题的真假值是确定的。
真值与逻辑值
要点一
真值概念
真值是指命题的真假值，即命题所表 达的陈述是否为真。在数学逻辑中， 真值通常用“真”和“假”或“1” 和“0”来表示。
01命题基本概念及联接词
解：这9个句子中，（7）～（9）都不是陈述句， 因而都不是命题。 （1）是真命题，（2）是假命题。 （3）的真值虽然现在还不能判断，到2100年就能 判断了，因而是命题。 （4）在十进制中为假，在二进制中为真，当确定 了进位制时其真值就确定了，因而是命题。 （5）是命题，真值视具体情况惟一确定（不是真 就是假）。 （6）是陈述句，但无法给出真假值。这种自相矛 盾的判断称为悖论，以后再讲。
1.2.2 合取联结词∧
定义1.2.2 设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或 “ P 与 Q” ）称为 P 与 Q 的合取式，记作 P∧Q ，符号 “∧” 称为合取联结词 . P属于二元 ∧Q为真当且仅当 P和Q同时为真 . 说明：1、“∧” (binary)运算符 . 2、联结词“∧”的定义真值表如下：
从上述例子可以看出，原命题与逆否命题意思相同, 即等价：
P Q Q P
逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有时按原命题进 行推导比较困难，而用逆否命题却可收到事半功倍 的效果。
1.2.5 双条件联结词（等价联结词）
定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作P iff Q或PQ，符号 称为双条件（等价）联结词。PQ为真当且仅当
Q:今天天下雨。
定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题，则 称该命题标识符为命题变元（命题变项）.如果一 个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元类似
常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元
代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个
数值。
例如，x+y≥ 5 这是一个代数表达式，其中x和y是 变量，不是命题变元，但该表达式也可以作为一 个命题变元。假设代表该表达式的命题变元为z， 当变量x和y的值确定后，表达式成为一个命题常 元，命题变元z被该命题常元所取代成为命题，且 命题的真值随变量x和y不同取值而变化。 当用确定的命题代入命题变元时称为对命题 变元的代入。
第3章--命题(一)
由此可知：全称命题的主项周延，特称命题的主项不周延；肯 定命题的谓项不周延，否定命题的谓项周延。
整个地，我们有：
A命题的主项周延，谓项不周延；
E命题的主项周延，谓项也周延； I命题的主项不周延，谓项也不周延；
O命题的主项不周延，谓项周延。
单称肯定命题单称否定命题的主、谓项周延情况分别同于A 命题、E命题的主、渭项周延情况。因此，在考虑周延惰况及以 周延性为基础的逻辑理论时，形式逻辑中常把单称命题作为全称 命题来处理。
在这些命题中，被断定的思维对象分别是概念“商品”、“人”、“玫 瑰花”、“科学家”、“郭沫若”、“鲁迅”所反映的对象（即这些概 念的外延）。我们把性质命题中反映被断定的思维对象的概念称作性质 命题的主项。主项通常以大写字母S来表示。这些命题中断定思维对象 所具有的性质是分别由概念“有价值的”、“长生不老的”、“红色 的”、“大学毕业的”、“考古学家”、“医学家”来反映的（即这些 概念的内涵）。我们把性质命题中反映断定思维对象所具有的性质的概 念称作牲质命题的渭项。谓项通常以大写字母P来表示。
各种命题形式都由常项和变项两个部分组成。命题形式中的常项是 命题形式中固定不变的东西，它决定了该命题形式的种类，将该命题形 式与其他种类的命题形式区别开来；命题形式中的变项是命题形式中的 可变部分，其变化不会引起命题形式的改变。例如，在上述命题形式中， “所有的…是…”是常项，“S”、“P”是变项。
第七页，编辑于星期日：五点 三十七分。
性质命题在结构上由主项（S）、谓项（P）、联项和量项组成。
联项分为肯定联项和否定联项。肯定联项为“是”，否定联项为
“不是”。量项分为全称量项、特称量项和单称量项。全称量项通
常用“所有的”、“一切”、“凡”等来表示。特称量项通常用