甘肃天水市2015届高三第二次联考数学文试题无答案
甘肃省天水市一中2015届高三下学期一模考试数学(文)试题Word版含答案
16【. 答案】【解析】0,12解析：解：设点 M 〔 x ，y 〕，由 MA=2MO ，知，x 2y 32y22 x25化简得： x 2+〔y+1〕2=4，∴点 M 的轨迹为以〔 0， -1 〕为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D ，又∵点 M 在圆 C 上，∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切，a22a 33 0a121 CD 3,CD a 22a 31225故答案为：0,12．517. 【答案解析】〔 1〕 40〔 2〕〔2〕815〔1 〕∵利用层抽样的方法抽取n 个人时，从“支持 A 方案〞的人中抽取了6 人，6n，解得 n=40 ，∴200 400 600 800 100 100100 200 =400〔2 〕从“支持 C 方案〞的人中，用分层抽样的方法抽取的6 人中，年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1， 2，3， 4，年龄在 20 岁以上〔含 20岁〕的有 2人，记为 a ， b 那么这 6 人中任意选取2人，共有 C 62=15种不同情况，分别为：〔 1，2〕，（ 1 ，3 〕，〔 1 ，4 〕，〔 1 ，a 〕，〔 1， b 〕，〔 2 ， 3〕，〔 2 ，4 〕，〔 2 ，a 〕，〔 2， b 〕，（ 3 ， 4 〕，〔 3 ， a 〕，〔 3 ， b 〕，〔 4 ，a 〕，〔 4 ， b 〕，〔 a ， b 〕，其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有：，〔 1 ， a 〕，〔 1 ，b 〕，〔 2， a 〕，〔 2 ，b 〕，〔3 ，a 〕，〔 3 ，b 〕，〔 4 ，a 〕，〔 4 ，b 〕共 8 种．故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= 8．15【思路点拨】〔 1〕根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合构造关于n 的方程，解 方程可得 n 值．〔2 〕计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有1 人在 20 岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案18.〔Ⅱ〕由题意b n22n 11，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n， c n22 n 1,c n 122( n1)1 4 ( n N* ) ，所以数列 {c n } 为以8为首项，以4为公比的等比数列 ,,c n22n19 分所以 T n 8(14n )n4n 18,,,,,,,,,,,,,,12 分14n.3考点： 1. 等差数列的通项公式； 2. 等比数列的通项公式； 3. 等差数列的前n 项和公式； 4.等比数列的前n 项和公式； 5.等比中项； 6. 分组求和法 .19. 【答案】〔 1〕证明见解析；〔 2〕5 5试题分析：〔1〕证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；〔 2〕在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算；〔 3〕证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直〞，是化归思想的表达，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键．试题解析：〔 1〕证明：连接A1B，设 A1B AB1E，连接 DE ．AA1AB ∴四边形 A1 ABB1是正方形，∴ E 是 A1B 的中点，又 D是BC的中点，DE // A1C．DE平面 AB1 D ， A1C平面 AB1D ，A1C // 平面 AB1D ．〔2〕由三棱柱为直三棱柱得AD3, S ABC113 3 ，22228VB1ADC 1S ASC BB11 3 13 33824又 AB12, B1D15,AD 3 ，22SABD 1AD B1D151285由体积法V C AB 1DV B 1ACDd5 ．考点： 1、直线与平面平行的判定； 2、求几何体的体积．20．〔本小题总分值 12 分〕解：〔 1〕由a2,ec 1 ， c 1, b 2 a 2 c 23a 2椭圆方程为x 2 y 2 1。
甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文
甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合 M={ x | x 2+3x+2<0} , 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 如此 M ∪N= 〔〕A ．{ x | x ≥-2}B ．{ x | x>-1}C ．{ x | x<-1}D ．{ x | x ≤ -2}2．下面是关于复数21z i =- 的四个命题:1p :2z =,2:p 22z i =3:p z 的共轭复数为1i -+4:p z的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p3．如下推断错误的答案是( )A. 命题“假设2320,x x -+=如此1x =〞的逆否命题为“假设1x ≠如此2320x x -+≠〞B. 命题p ：存在0x R∈，使得20010x x ++<，如此非p ：任意x ∈R ，都有210x x ++≥C. 假设p 且q 为假命题，如此p ，q 均为假命题D. “1x <〞是“2320x x -+>〞的充分不必要条件4.函数9()3x x af x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，如此=+b a A.1 B. 1- C.21-D. 215.某产品在某零售摊位的零售价x 〔单位：元〕与每天的销售量y 〔单位：个〕的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个6.如下说法正确的答案是 A ．命题“x ∀∈R ，0xe >〞的否认是“x ∃∈R ，0xe >〞B ．命题 “,x y ∈R ，假设3x y +≠，如此2x ≠或1y ≠〞是真命题C ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立〞⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立〞 D ．命题“假设1a =-，如此函数()221f x ax x =+-只有一个零点〞的逆命题为真命题7．在ABC 中,2AD DB =,且13CD CA CBλ=+,如此λ=( )A.23B.13C.13- D.23-8. 集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P(x,y)，如此点P 的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为〔 〕(A) 163π(B) 16π(C) 32π(D) 323π9. 函数()f x 的定义域为[1,4]-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示。
2014-2015学年甘肃省天水市甘谷一中高三(上)第二次段考数学试卷(理科)
2014-2015学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共14小题，共70.0分)1.设集合M={0，1}，N={x∈Z|y=}，则（）A.M∩N=∅B.M∩N={0}C.M∩N={1}D.M∩N=M【答案】D【解析】解：由得，x≥-1，∴N={x∈Z|x≥-1}，显然0，1∈N；∴M∩N=M．故选D．根据得x≥-1，这样集合N={x∈Z|x≥-1}，所以便可得到M∩N=M．考查描述法表示集合，交集的概念．2.已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：∀x∈R，x2＞0下面结论正确的是（）A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧¬q”是假命题C.命题“¬p∨q”是真命题D.命题“¬p∧¬q”是假命题【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，使tanx=1，为真命题，¬p为假命题∵x2≥0命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，则非q为真命题A：命题“p∧q”为假命题B：p∧¬q为真命题C：“¬p∨q”为假命题D：“¬p∧¬q”假命题故选D由正切函数的性质可知命题p：∃x∈R，使tanx=1，为真命题，¬p为假命题；由x2≥0可得命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，则非q为真命题，故可判断本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题3.下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B.命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C.“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D.命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题【答案】A【解析】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=-1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多．4.已知a=，b=log2，c=，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a【答案】C【解析】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．5.已知函数f（x）=，＞，，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）的值域为[-1，+∞）D.f（x）是周期函数【答案】C【解析】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[-1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[-1，+∞），故c正确．故选：C．由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．6.曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A.2-ln2B.4-21n2C.4-ln2D.21n2【答案】B【解析】解：令x=4，代入直线y=x-1得A（4，3），同理得C（4，）由=x-1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x-1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF-S BCEF而S BCEF==（2lnx+C），（其中C是常数）=2ln4-2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形-S BCEF=4-2ln2故选BABEF作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF 的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．7.曲线f（x）=x3+x-2在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（）A.（1，0）B.（1，0））或（-1，-4）C.（1，8）D.（1，8）或（-1，-4）【答案】B【解析】解：设切点的坐标为P（a，b），则由y=f（x）=x3+x-2，可得y′=3x2+1，∵曲线f（x）=x3+x-2在点P处的切线的斜率为4，∴3a2+1=4，∴a=±1，∴b=a3+a-2=0或-4．∴P点的坐标为（-1，-4）或（1，0）故选：B．利用导数的几何意义，结合曲线f（x）=x3+x-2在点P处的切线的斜率为4，求出导数，求得切线的斜率，建立方程，即可求得P点的坐标．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log0.54）=-3，则a的值为（）A. B.3 C.9 D.【答案】A【解析】解：∵log0.54=-2，∴f（log0.54）=f（-2）=-3，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（2）=3，即a2=3，由a＞0，a≠1得：a=，故选：A根据对数的运算性质及奇函数的特点，可得f（2）=3，结合当x＞0时，f（x）=a x，构造关于a的方程，解方程可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的解析式，其中由已知分析出f（2）=3，是解答的关键．9.已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（2）=0，则不等式（x-1）•f（x-1）＞0的解集是（）A.（-1，3）B.（-∞-1）C.（-∞-1）∪（3，+∞）D.（-1，1）∪（1，3）【答案】C【解析】解：∵函数f（x）为奇函数且在（-∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，∴（x-1）f（x-1）＞0可变形为＞＞①或＜＜②又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0∴不等式组①的解为＞＞即x＞3；不等式组②的解为＜＜，即x＜-1．∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）．故选：C．先根据函数f（x）的奇偶性以及函数在区间（-∞，0）上的单调性，判断函数在区间（0，+∞）的单调性，再把不等式（x-1）f（x-1）＞0变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集即可．本题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，研究此类题最好作出函数图象辅助判断．10.函数y=2x-x2的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：y=2x-x2，令y=0，则2x-x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x-x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC，当x＜-1时，y＜0，故排除D故选：A．分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜-1时，y＜0，故排除BCD，问题得以解决．本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．11.若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．12.已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A.1-log20132012 B.-1C.-log20132012D.1【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==-1，故选B．先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．13.函数f（x）=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则a等于（）A.0B.1C.-1D.±1【答案】B【解析】解：∵函数是奇函数∴f（-x）=-f（x）∴=-[]∴1-a2=0∴a=±1a=1时，，f′（x）=1+＞0，∴函数在（0，+∞）上单调递增，a=-1时，，f′（x）=1-，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，综上知，a=1故选B．利用函数是奇函数，可得f（-x）=-f（x），结合在（0，+∞）上单调递增，即可求得a的值．本题考查函数的奇偶性与单调性的结合，考查奇函数的定义，属于中档题．14.对于任意的实数a、b，记max{a，b}=＜．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中函数y=f（x）（x∈R）是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g（x）（x∈R）是正比例函数，其图象与x≥0时的函数y=f（x）的图象如图所示，则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A.y=F（x）为奇函数B.y=F（x）有极大值F（-1）C.y=F（x）的最小值为-2，最大值为2D.y=F（x）在（-3，0）上为增函数【答案】B【解析】解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（-1）且有极小值F（0）；故B正确y=F（x）在（-3，0）上不为单调函数；故C不正确y=F（x）的没有最小值和最大值，故D不正确故选B．在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)15.设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1）时，f（x）=，＜，＜，则f（）= ______ ．【答案】1【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．16.若函数y=log a（3-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是______ ．【答案】（1，3）【解析】解：由于函数y=log a（3-ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3-a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．由于函数y=log a（3-ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3-a＞0，由此求得a的取值范围．本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3-a＞0，是将诶提的关键．17.已知函数f（x）=2+log2x，x∈[1，2]则函数y=f（x）+f（x2）的值域为______ ．【答案】[4，]【解析】解：∵函数f（x）=2+log2x，x∈[1，2]，y=f（x）+f（x2），∴，即1，∴log2x∈[0，]，∴f（x）+f（x2）=4+log2x+2log2x=（4+3log2x）∈[4，]．∴函数y=f（x）+f（x2）的值域为[4，]．故答案为：[4，]．由已知得y=f（x）+f（x2），1，log2x∈[0，]，由此能求出函数y=f（x）+f（x2）的值域．本题考查值域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．18.要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______ （单位：元）【答案】160【解析】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)19.命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵a=1，p∧q为真，∴p，q都为真．p：x2-4x+3＜0，解得1＜x＜3．命题q：实数x满足＞，化为＜＞或＜，解得2＜x≤3．∴＜＜＜，解得2＜x＜3．∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．￢p：x≤a或x≥3a．q：2＜x≤3，则￢q：x≤2或x＞3．∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴＜＞，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．【解析】（1）由a=1，p∧q为真，可得p，q都为真．分别化简命题p，q即可得出．（2）命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（其中a＞0），利用一元二次不等式的解法可得解得a＜x＜3a．￢p，q：2＜x≤3，则￢q：x≤2或x＞3．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．本题考查了一元二次不等式、分式不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．（1）证明：对任意的x1，x2∈[-1，1]，有[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）≤0（2）解不等式f（1-a）+f（1-a2）＜0．【答案】解：（1）若x1+x2=0，显然不等式成立；若x1+x2＜0，则-1＜x1＜-x2＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，∴f（x1）＞f（-x2）=-f（x2），f（x1）+f（x2）＞0，故原不等式成立；同理可证当x1+x2＞0时，原不等式也成立．（2）由f（1-a）+f（1-a2）＜0和已知可得以下不等式组＞解得0≤a＜1．【解析】（1）分类讨论，分x1+x2=0、若x1+x2＜0、x1+x2＞0三种情况，证明（x1+x2）与[f （x1）+f（x2）]符号相反．（2）利用函数的定义域和单调性列出不等式组，求出解集．本题综合考查函数的定义域、单调性和奇偶性．21.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+）+248×2x+80×162=1296x++12960=1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时，取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．（2）由限制条件知＜＜，∴10≤x≤16．设g（x）=x+（10≤x≤16），由函数性质易知g（x）在[10，16]上是增函数，∴当x=10时（此时=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（10+）+12960=38882（元）．∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．【解析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=-1，对任意x∈R都有f（x）≥x-1，且f（-+x）=f（--x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使函数g（x）=log[f（a）]x在（-∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）由f（x）=ax2+bx+c（a≠0）及f（0）=-1∴c=-1…（1分）又对任意x∈R，有．∴f（x）图象的对称轴为直线x=-，则-=-，∴a=b…（3分）又对任意x∈R都有f（x）≥x-1，即ax2+（b-1）x≥0对任意x∈R成立，∴，故a=b=1…（6分）∴f（x）=x2+x-1…（7分）（2）由（1）知=（a2+a-1）x，其定义域为R…（8分）令u（x）=（a2+a-1）x要使函数g（x）=（a2+a-1）x在（-∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=（a2+a-1）x在（-∞，+∞）上为增函数，…（10分）由指数函数的单调性，有a2+a-1＞1，解得a＜-2或a＞1…（12分）故存在实数a，当a＜-2或a＞1时，函数在（-∞，+∞）上为减函（1）根据f（0）=-1可求出c的值，根据可得a与b的关系，最后根据对任意x∈R都有f（x）≥x-1，可求出a与b的值，从而求出函数f（x）的解析式；（2）令u（x）=f（a），要使函数在（-∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=f（a）在（-∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．23.已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．【答案】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．（2）由题设a2=4b，设则′，令h'（x）=0，解得：，；∵a＞0，∴＜，∴原函数在（-∞，-）单调递增，在，单调递减，在，∞）上单调递增①若，即0＜a≤2时，最大值为；③若-1≥-时，即a≥6时，最大值为h（-）=1综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．【解析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1）上的最大值．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．。
甘肃省天水市一中2015届高三下学期一模考试数学(文)试题Word版含答案
...【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos 〔 x-〕化为 3 cos 〔x-〕即可．369x a4.【答案】D解析 ：∵ f ( x)3x 关于原点对称，∴函数 f (x )是奇函数，∴ f(0) = 0， a =1，∵g( x)lg(10x1)bx 是偶函数，∴g (- x ) = g (x )对任意的 x 都成- xx10 x +1x+1)+ 2bx ，立，∴lg (10+1)- bx = lg (10 +1)+bx，∴lg10x= lg (10 1，∴ a + b =1∴ - x = 2bx 对一切x 恒成立，∴b = -，应选： D22【思路点拨】 由题意可得 f (- x ) = -f (x )对任意的 x 都成立，代入整理可求 a ；由题意可得g (- x ) = g (x )对任意的 x 都成立，代入整理可求 b 。
5. 【答案】【解析】C解 析 ： 由 题 意 知 x 17.5, y39 ，代入回归直线方程得a 109, 109 15449 ，应选 C.【思路点拨】 由题意求出 x 的平均值再根据公式求出 y 的平均值， 代入回归方程可直接求出结果 .6. 【答案解析】 A 、“? x ∈ R ， e x ＞ 0〞的否认是 “? x 0∈ R ，e x ≤ 0；〞∴命题错误；B 、∵ x=2 且 y=1 时， x+y=3 是真命题；∴假设 x+y ≠3，那么 x ≠2或 y ≠ 1〞是真命题；2 x 22x〕 min ≥a 在 x ∈ [1， 2]上恒成立〞，命C 、“x +2x ≥ ax 在 x ∈ [1， 2]上恒成立〞? “〔maxx题错误；D 、“假设 a=-1 ，那么函数 f 〔 x 〕=ax2+2x-1 只有一个零点〞的逆命题是： “f〔x 〕=ax 2+2x-1 有一 个零点时， a=- 1〞，∵ f 〔x 〕有一个零点时， a=-1 或 a=0 ；∴命题错误．应选： B ．【思路点拨】 B. A 中全称命题的否认是特称命题，并且一真一假；B 中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；2，2]上恒成立〞转化为 “〔x 22x，2]上恒成立〞；C 、“x +2x ≥ ax 在 x ∈ [1max 在 x ∈ [1〕min ≥axD 、写出原命题的逆命题再判定真假． 7. 【答案】 A 【解析】369x a4.【答案】D解析 ：∵ f ( x)3x 关于原点对称，∴函数 f (x )是奇函数，∴ f(0) = 0， a =1，∵g( x)lg(10x1)bx 是偶函数，∴g (- x ) = g (x )对任意的 x 都成- xx10 x +1x+1)+ 2bx ，立，∴lg (10+1)- bx = lg (10 +1)+bx，∴lg10x= lg (10 1，∴ a + b =1∴ - x = 2bx 对一切x 恒成立，∴b = -，应选： D22【思路点拨】 由题意可得 f (- x ) = -f (x )对任意的 x 都成立，代入整理可求 a ；由题意可得g (- x ) = g (x )对任意的 x 都成立，代入整理可求 b 。
2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝．14．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【解答】解：M＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N＝{x|（）x≤4}＝{x|x≥﹣2}，则M∪N＝{x|x≥﹣2}，故选：A．2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝1+i的四个命题：p1：|z|＝≠2，因此是假命题；p2：z2＝（1+i）2＝2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．3．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．【解答】解：∵f（x）＝关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，∴a ＝1∵g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x）对任意的x都成立，∴lg（10﹣x+1）﹣bx＝lg（10x+1）+bx，∴lg（）＝lg（10x+1）+2bx∴﹣x＝2bx对一切x恒成立，∴b＝﹣，∴a+b＝故选：D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个【解答】解：＝17.5，＝39∵b＝﹣4，＝bx+a∴a＝39+4×17.5＝109∴回归直线方程为＝﹣4x+109∴x＝15时，＝﹣4×15+109＝49件；故选：B．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【解答】A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x＝2且y＝1时，x+y＝3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）＝ax2+2x﹣1有一个零点时，a＝﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a＝﹣1或a＝0；∴命题错误．故选：B．7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得＝＝＝，故有λ＝，故选：B．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4＝0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S＝＝，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S＝，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为＝，故选：D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y＝f（x）的图象如图所示：因为f（0）＝f（3）＝2，1＜a＜2，所以函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：D．10．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由定义的行列式运算，得＝＝＝＝．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m＝．当k＝0时，m有最小值．故选：C．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2＝2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+＝3∴p＝2∴抛物线方程为y2＝4x∵M（2，y0）∴∴|OM|＝故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即＝＝f（1）＝，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n＝f（n）＝（）n，∴S n＝＝1﹣（）n∈[，1）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝14．【解答】解：有框图知S＝a⊗b＝∴5⊗3+2⊗4＝5×（3﹣1）+4×（2﹣1）＝14故答案为1414．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．【解答】解：若tanθ+＝4，则sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝＝，故答案为．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2＝1，∴a2＝b2＝1，c2＝a2+b2＝2，可得F1F2＝2∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝8又∵P为双曲线x2﹣y2＝1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝±2a＝±2，（|PF1|﹣|PF2|）2＝4因此（|PF1|+|PF2|）2＝2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【解答】解：因为y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'＝0有解，即y'＝在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1＝0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）＝3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴＝，解得n＝40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有＝15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P＝．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵S3＝a4+6，∴3a1+＝a1+3d+6．①∵a1，a4，a13成等比数列，∴．②…（2分）由①，②可得：a1＝3，d＝2．…（4分）∴a n＝2n+1．…（6分）（Ⅱ）由题意，设数列{b n}的前n项和为T n，，＝＝4，（n∈N*），∴数列{∁n}为以8为首项，以4为公比的等比数列…（9分）∴＝．…（12分）19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD＝，B1D＝，AD⊥B1D，∴＝＝，设点C1到平面AB1D的距离为h，则由＝可得＝，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆方程为．…（3分）．（2）设直线l的方程为y＝x﹣c．由，得（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2（c2﹣b2）＝0，∴，从而．…（5分）∴，，∵点P在椭圆C上，∴…（8分）4λ2a2c2+4λ2b2c2＝（a2+b2）2，解得…（10分）∴，且0＜e＜1，∴＝又λ＞0，∴即λ的取值范围是．…（12分）21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y＝x﹣2的斜率为k＝1，令f′（x）＝＝1，得2x2﹣x﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝0，解得x＝1或（舍），此时y＝1﹣ln1＝1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y＝x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d＝＝；（3）令f（x）＝g（x），即x2﹣lnx＝8x﹣7lnx﹣k，得k＝﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）＝﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）＝＝＝0，解得，x1＝1，x2＝3，不难判断x1＝1是极小点，x2＝3是极大点，故G min（x）＝G（1）＝﹣1+8＝7，G max（x）＝G（3）＝﹣9+24﹣6ln3＝15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．【解答】（1）证明：连结OP，OM，∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OP A+∠OMA＝180°，∵圆心O在∠P AC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆…（5分）（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM，由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠P AC的内部，∴∠OPM+∠APM＝90°，∴∠OAM+∠APM＝90°…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．【解答】解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：x﹣y+2﹣＝0，由公式ρ2＝x2+y2得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1；（2）曲线C经过伸缩变换变为，将其代入直角坐标方程得到曲线C′的方程为，即，记z＝x+y，联立方程组，消去x，得，显然，解得z＝，故x+y得最小值为．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
甘肃天水秦安县第二中学2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题(Word版含答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 M={ x | x 2+3x+2<0} , 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则 M ∪N= （ ）A ．{ x | x ≥-2}B ．{ x | x>-1}C ．{ x | x<-1}D ．{ x | x ≤ -2}2．下面是关于复数21z i=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．下列推断错误的是( )A. 命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B. 命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x ∈R ，都有210x x ++≥C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. “1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.函数9()3x xa f x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则=+b a A.1 B. 1- C. 21-D. 21 5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个6.下列说法正确．．的是 A ．命题“x ∀∈R ，0x e >”的否定是“x ∃∈R ，0x e >”B ．命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立”D ．命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题7．在ABC V 中,已知2AD DB =,且13CD CA CB λ=+,则λ=( ) A.23 B.13 C.13- D.23-8. 已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）9. 已知函数()f x 的定义域为[1,4]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示。
2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试文科数学试题
2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试文科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。
写在本试卷上无效。
3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数lg()y x =-的定义域为A ，函数xy e =的值域为B ，则AB =（A ）(0,)+∞ （B ）(0,)e （C ）R （D ）∅ （2）已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB 的方向相反的单位向量是 （A ）（－35，45） （B ）（－45，35） （C ）（35，－45） （D ）（45，－35） （3）函数sin()1y x π=--的图象（A（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于x π=对称（4）若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）()p q ∧⌝ （C ）()p q ⌝∨ （D ）()()p q ⌝∧⌝ （5）曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩（6）函数2()f x x =＋bx 的图象在点A （l ，f(1））处的切线与直线3x - y ＋2＝0平行，若数列俯视图｛1()f n ｝的前n 项和为S n ，则S 2015＝ （A ）1 （B ）20132014 （C ）20142015 （D ）20152016（7）若,,R y x ∈则“()324log 2=-+y x xy ”是“2248200x x y y -+++=”成立的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α=（A ）35 （B ）35- （C ）34 （D ）34- （9）若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于 （A ）310cm（B ）320cm （C ）330cm （D ）340cm（10）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=.0ln ,0),ln()(x x x x x f ， 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是（A ）)1,0()0,1( - （B ）)1,0()1,( --∞ （C ）),1()0,1(+∞- （D ）),1()1,(+∞--∞ （11）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（A ） 2 （B ）23（C ） 22 （D ）24 （12）已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2PF FQ =，则|QF|= （A ）6（B ）3（C ）83（D ）43第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
甘肃省河西五市2015届高考数学二模试卷文(含解析)
甘肃省河西五市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数y=lg（﹣x）的定义域为A，函数y=e x的值域为B，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（0，e）C．R D．∅2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）3．（5分）函数y=sin（π﹣x）﹣1的图象（）A．关于x=对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x=π对称4．（5分）若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）5．（5分）曲线|x|=|y|与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=x2+bx的图象在点A（l，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2015=（）A．1 B．C．D．7．（5分）若x，y∈R，则“log2（xy+4x﹣2y）=3”是“x2﹣4x+y2+8y+20=0”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知向量=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，则tan2α=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm310．（5分）设函数若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．.（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，1]11．（5分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB﹣ccosB，=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．2D．412．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=．14．（5分）在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P﹣ABC 的外接球的表面积为．15．（5分）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18．（12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．21．（12分）设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e x﹣ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．【选修4-1：几何证明选】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．【参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．甘肃省河西五市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数y=lg（﹣x）的定义域为A，函数y=e x的值域为B，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（0，e）C．R D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出函数y=lg（﹣x）的定义域确定出A，求出函数y=e x的值域确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：由y=lg（﹣x），得到﹣x＞0，即x＜0，∴A=（﹣∞，0），由B中y=e x＞0，得到B=（0，+∞），则A∩B=∅，故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：利用与向量的方向相反的单位向量=即可得出．解答：解：=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），==5．∴与向量的方向相反的单位向量===．故选：A．点评：本题考查了与向量的方向相反的单位向量=，属于基础题．3．（5分）函数y=sin（π﹣x）﹣1的图象（）A．关于x=对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x=π对称考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式、正弦函数的对称性，可得结论．解答：解：由于函数y=sin（π﹣x）﹣1=sinx﹣1，当x=时，函数取得最大值，故函数的图象关于直线x=对称，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式，正弦函数的对称性，属于基础题．4．（5分）若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：命题p为真命题，命题q为假命题，可得￢q为真命题，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答：解：∵命题p为真命题，命题q为假命题，∴￢q为真命题，∴p∧（￢q）为真命题，故选：B．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题．5．（5分）曲线|x|=|y|与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：将曲线方程进行化简，结合不等式组表示平面区域的性质进行求解即可．解答：解：|x|=|y|等价为当x，y同号为y=x，当x，y异号时为y=﹣x，则对应区域为，则对应的不等式组为，故选：A．点评：本题主要考查不等式组表示平面区域的应用，根据条件作出对应的图象是解决本题的关键．6．（5分）函数f（x）=x2+bx的图象在点A（l，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2015=（）A．1 B．C．D．考点：数列的求和；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{}的通项公式，计算可得答案．解答：解：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{}的通项为，所以S2015==，故选：D．点评：本题考查数列的求和，导数的几何意义，属于中档题．7．（5分）若x，y∈R，则“log2（xy+4x﹣2y）=3”是“x2﹣4x+y2+8y+20=0”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断，即先看log2（xy+4x﹣2y）=3能否得到x2﹣4x+y2+20=0成立，而x2﹣4x+y2+20=0成立，能否得到log2（xy+4x﹣2y）=3成立，在这一过程中，注意对式子进行提取公因式或配方．解答：解：log2（xy+4x﹣2y）=3时，xy+4x﹣2y=8；∴x（y+4）﹣2（y+4）=（x﹣2）（y+4）=0；∴x=2，或y=﹣4；而x2﹣4x+y2+8y+20=（x﹣2）2+（y+4）2；∴只有x=2，y=﹣4同时成立时，才有x2﹣4x+y2+8y+20=0成立；∴log2（xy+4x﹣2y）=3成立得不出x2﹣4x+y2+8y+20=0成立；而若x2﹣4x+y2+8y+20=0成立，则x=2，且y=﹣4；∴能得到log2（xy+4x﹣2y）=3成立；∴“log2（xy+4x﹣2y）=3“是“x2﹣4x+y2+8y+20=0”成立的必要不充分条件．故选B．点评：考查充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念，以及判断方法与过程，知道ab=0说明a，b中至少一个为0，熟练对数的运算．8．（5分）已知向量=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，则tan2α=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦．专题：平面向量及应用．分析：由∥可得tanα=3，利用二倍角的正切公式即得结果．解答：解：∵=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，∴sinα=3cosα，即tanα=3，所以tan2α===，故选：D．点评：本题考查向量的平行及二倍角的正切公式，属于基础题．9．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．解答：解：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10．（5分）设函数若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．.（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，1]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数的解析式，讨论m＞0，m＜0，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．解答：解：函数，当m＞0，f（m）＞f（﹣m）即为﹣lnm＞lnm，即lnm＜0，解得0＜m＜1；当m＜0，f（m）＞f（﹣m）即为ln（﹣m）＞﹣ln（﹣m），即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1．综上可得，m＜﹣1或0＜m＜1．故选：B．点评：本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．11．（5分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB﹣ccosB，=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．2D．4考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得cosB的值，再根据=2以及两个向量的数量积的定义求得ac的值，可得△ABC的面积ac•sinB的值．解答：解：在△ABC中，∵bcosC=3acosB﹣ccosB，利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，即 sinA=3sinAcosB，求得cosB=．再根据=ac•cosB==2，可得ac=6，∴△ABC的面积为ac•sinB=×6×=2，故选：C．点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式、两个向量的数量积的定义，属于基础题．12．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．解答：解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=﹣1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi，利用对称性求出复数即可．解答：解：==1+i，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义．14．（5分）在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P﹣ABC 的外接球的表面积为3π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．解答：解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=3π故答案为：3π．点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．15．（5分）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．解答：解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥103得x≥12由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==．故答案为：．点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是（﹣1，1]．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）=的图象，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（1x+x2）+，再利用函数的单调性求出它的取值范围．解答：解：作出函数f（x）=的图象，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；且1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故答案为：（﹣1，1]．点评：本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求数列{a n+b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上，可得=n，利用递推式即可得出．（II）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b1b2b3=8，利用等比数列的通项公式可得q，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上，∴=n，化为．当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，也成立，∴a n=2n﹣1．（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=1，b1b2b3=8，∴1×q×q2=8，解得q=2，∴．∴a n+b n=（2n﹣1）+2n﹣1，∴数列{a n+b n}的前n项和T n=[1+3+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）==n2+2n﹣1．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论；（2）由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率解答：解（1）设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”，则．（2）设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．其中使得事件B成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个则．点评：本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，由已知及ABCD为菱形得到PO⊥AB，CO⊥AB．再由线面垂直的判定得到AB⊥平面PCO，从而得到AB⊥PC；（Ⅱ）通过解直角三角形求得PO⊥OC，又PO⊥AB，得到PO为四棱锥P﹣ABCD的高，求出底面菱形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO．∵AP=BP，∴PO⊥AB，又四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB．又PO∩CO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC；（Ⅱ）解：∵，∴∠APB=90°，∴PO=1．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴，又PC=2，∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥OC，又PO⊥AB，∴PO为四棱锥P﹣ABCD的高，∵∠BCD=120°，AB=2，∴菱形ABCD的面积为．则所求棱锥体积为．点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．分析：（Ⅰ）求出抛物线y=x2的焦点，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），求出直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k），利用抛物线W的焦点在直线AB的下方，即可求k的取值范围；（Ⅱ）利用反证法，假设四边形ABDC为梯形，求出B、C处的切线斜率，分类讨论，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：抛物线y=x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），…（2分）令x=0，得y=1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）∵k＞0，∴0＜k＜．…（5分）（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC不可能为梯形．…（6分）理由如下：假设四边形ABDC为梯形．…（7分）由题意，设B（x1，x12），C（x2，x22），D（x3，y3），联立方程消去y，得x2﹣kx+k﹣1=0，由韦达定理，得1+x1=k，∴x1=k﹣1．…（8分）同理，得x2=﹣﹣1．…（9分）对函数y=x2求导，得y′=2x，∴抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k﹣2，…（10分）抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=﹣﹣2．…（11分）由四边形ABDC为梯形，得AB∥CD或AC∥BD．若AB∥CD，则k=﹣﹣2，即k2+2k+2=0，∵方程k2+2k+2=0无解，∴AB与CD不平行．…（12分）若AC∥BD，则﹣=2k﹣2，即2k2﹣2k+1=0，∵方程2k2﹣2k+1=0无解，∴AC与BD不平行．…（13分）∴四边形ABDC不是梯形，与假设矛盾．同理AD∥BC也不成立，因此四边形ABDC不可能为梯形．…（14分）点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，考查反证法，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e x﹣ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；（2）求出f（x）的导数，讨论a的范围，由条件得到a≥1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令即a=，令h（x）=，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可．解答：解：（1）由g′（x）=e x﹣a，g′（0）=1﹣a=0得a=1，f（x）=x﹣lnx∵f（x）的定义域为：（0，+∞），，∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（2）由若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（），当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数∴g'（x）=e x﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立∴a≤e，综上所述a的取值范围为[1，e]，此时即a=，令h（x）=，h′（x）=，则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，极小值为．故两曲线没有公共点．点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间，求极值和最值，考查分类讨论的思想方法，曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题，属于中档题．【选修4-1：几何证明选】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．考点：分析法和综合法．专题：计算题；证明题．分析：（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．解答：（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…（10分）点评：本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．【参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．解答：解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（4分）（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．（Ⅰ）设函数f（x）=|x ﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．考点：不等式的证明．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2；（Ⅱ）利用已知条件构造柯西不等式，然后证明即可．解答：证明：（Ⅰ）由a＞0，有当且仅当a=1时取等号．所以f（x）≥2…（5分）（Ⅱ）∵x2+4y2+z2=3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“=”号）整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）点评：本题考查不等式的证明，基本不等式以及柯西不等式的应用，考查推理与计算能力．- 21 -。
2014-2015学年甘肃省天水一中高三(上)第二次段考数学试卷(文科)
2014-2015学年甘肃省天水一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）一．选择题（共11小题，每小题5分，共60分）1．已知等差数列{a n}的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）A．6 B．9 C．12 D．182．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin （x﹣）3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．24．若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．45．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣16．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣∞，﹣5]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）7．已知sin（α﹣2π）=2sin（+α），且α≠kπ+（k∈Z），则的值为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点10．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（） A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）12．已知向量，且，则λ=．13．若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x=14．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为．15．函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为．三．解答题（共6小题，共70分）16．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．17．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，已知a1=1，且S1，S2，S4成等比数列；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．19．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．20．已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．（Ⅰ）求证AD⊥平面PBE；（Ⅱ）求证PA∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F﹣BE﹣C的大小．21．已知g（x）=e x﹣x．（Ⅰ）求g（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式＞x成立，求m的取值范围．2014-2015学年甘肃省天水一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，每小题5分，共60分）1．已知等差数列{a n}的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）A．6 B．9 C．12 D．18考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；整体思想．分析：根据等差数列的前n项和的公式列得s13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值．解答：解：根据等差数列的求和公式可得：s13=13a1+d=39，化简得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d）=3×3=9．故选B点评：考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，学生做题时应注意整体代入的思想方法．2．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin （x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin （x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点C（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于2×1+1=3．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．5．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1考点：导数的几何意义．专题：计算题；数形结合．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线x﹣y+1=0上求出b即可．解答：解：∵y′=2x+a|x=0=a，∵曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0的斜率为1，∴a=1，又切点在切线x﹣y+1=0上，∴0﹣b+1=0∴b=1．故选：A．点评：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程，属于基础题．6．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣∞，﹣5]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先构造函数f（x）=x2+mx+4，根据零点存在定理的应用，得到关于m的不等式组，解得即可解答：解：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，即，即解得m≤﹣5所以m的取值范围为（﹣∞，﹣5]，故选B．点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．7．已知sin（α﹣2π）=2sin（+α），且α≠kπ+（k∈Z），则的值为（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简已知条件，然后化简所求表达式的值，求解即可．解答：解：sin（α﹣2π）=2sin（+α），∴sinα=﹣2cosα，===．故选：D．点评：本题考查诱导公式的应用，萨迦寺的化简求值，开采技术能力．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间向量及应用．分析：建立空间直角坐标系，先求向量，的坐标，利用向量的夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．解答：解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得A（2，0，0），E1（2，1，2），B（2，2，0），F1（1，1，2），∴向量=（0，﹣1，2），=（﹣1，1，2），∴向量•=﹣1+4=3，cos＜，＞=，所以直线BE1与AF1所成角的余弦值是；故选A．点评：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系通过向量的数量积求异面直线所成的角是解决问题的关键，属中档题．9．若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点考点：函数零点的判定定理．分析：先根据导数判断出函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，再由f（0）f（2）＜0可知有唯一零点．解答：解：由已知得：f′（x）=x（x﹣2a），由于a＞2，故当0＜x＜2时f′（x）＜0，即函数为区间（0，2）上的单调递减函数，又当a＞2时f（0）f（2）=﹣4a＜0，故据二分法及单调性可知函数在区间（0，2）上有且只有一个零点．故选B点评：本题主要考查函数零点的判断定理．解答本题要结合函数的单调性判断．10．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．解答：解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．点评：本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（） A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．解答：解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）12．已知向量，且，则λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量的坐标运算求出的坐标，利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程，解方程求出值即可．解答：解：因为向量，所以，因为所以2λ﹣1=4（﹣1﹣λ）解得故答案为点评：本题考查的知识点是平面向量与共线向量，其中根据两个向量平行的充要条件，构造关于x的方程，是解答本题的关键．13．若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x=2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥．解答：解：该几何体为四棱锥，S=h=2则V=解得，x=2．点评：考查了学生的空间想象力．14．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n+1=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，两式相减可得a n+1=3a n．利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n+1=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n．当n=1时，a2=2a1+1=3．∴数列{a n}为等比数列．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．15．函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为（﹣∞，1]．．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；分类讨论．分析：函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1至少有一个零点为正数，转化为图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况，一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类解答．解答：解：若m=0，则f（x）=﹣3x+1，显然满足要求．若m≠0，有两种情况：①原点的两侧各有一个，则m＜0；②都在原点右侧，则，解得0＜m≤1．综上可得m∈（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，注意判别式与韦达定理的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．三．解答题（共6小题，共70分）16．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；（2）令y′=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．解答：解：（1）y′=3ax2+2bx，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即（2）y=﹣6x3+9x2，y′=﹣18x2+18x，令y′=0，得x=0，或x=1当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y极小值=y|x=0=0．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会用待定系数法球函数解析式的能力．17．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，已知a1=1，且S1，S2，S4成等比数列；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列的前n项和公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出a n=2n ﹣1．（2）由，利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和．解答：解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得d=2或d=0（舍）∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（2）∵，∴==．点评：本题是数列的基础题目，主要考查了等差数列通项公式的求法以及裂项相消法求数列的和，是中档题．18．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．19．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．考点：余弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求出最小正周期和单调减区间．（2）由f （A）=1求得，再根据2A+的范围求出2A+的值，从而求出A的值，再由和余弦定理求得b和c的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知：f（x）==，∴f（x）的最小正周期T=π．…（4分）由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈z，求得，k∈z．∴f（x）的单调递减区间[，k∈z．…（6分）（2）∵f （A）==﹣1，∴，…（8分）又＜2A+＜，∴2A+=π，A=．…（9分）∵即bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，…（11分）又b＞c，∴b=3，c=2．…（12分）点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．20．已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．（Ⅰ）求证AD⊥平面PBE；（Ⅱ）求证PA∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F﹣BE﹣C的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面PBE，只需证明BE⊥AD，PE⊥AD；（Ⅱ）证明PA∥平面BEF，只需证明FG∥PA；（Ⅲ）取CD中点H，连接FH，GH，可知∠FGH为二面角F﹣BE﹣C的平面角，即可求二面角F﹣BE﹣C的大小．解答：（Ⅰ）证明：由已知得ED∥BC，ED=BC，故BCDE是平行四边形，所以BE∥CD，BE=CD，因为AD⊥CD，所以BE⊥AD，由PA=PD及E是AD的中点，得PE⊥AD，又因为BE∩PE=E，所以AD⊥平面PBE．（Ⅱ）证明：连接AC交EB于G，再连接FG，由E是AD的中点及BE∥CD，知G是BF的中点，又F是PC的中点，故FG∥PA，又因为FG⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，所以PA∥平面BEF．（Ⅲ）解：设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，则，又PB=AD=2a，EB=CD=a，故PB2=PE2+BE2即PE⊥BE，又因为BE⊥AD，AD∩PE=E，所以BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，取CD中点H，连接FH，GH，可知GH∥AD，因此GH⊥BE，综上可知∠FGH为二面角F﹣BE﹣C的平面角．可知，故∠FGH=60°，所以二面角F﹣BE﹣C等于60°．点评：本题考查线面垂直、线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出面面角．21．已知g（x）=e x﹣x．（Ⅰ）求g（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式＞x成立，求m的取值范围．考点：其他不等式的解法；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断知，当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值；（Ⅱ）依题意可得2x﹣m＞x（e x﹣x），整理得m＜﹣x（e x﹣x﹣2），令h（x）=﹣x（e x﹣x ﹣2）（x＞0），利用导数法可求得h（x）max，从而可得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）g′（x）=e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）=e x﹣x在区间（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）=e x﹣x在区间（﹣∞，0）上单调递减；∴当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值，即g（x）min=g（0）=1．（Ⅱ）∵g（x）≥1，∴＞x⇔2x﹣m＞x（e x﹣x），∴m＜﹣x（e x﹣x﹣2），令h（x）=﹣x（e x﹣x﹣2）（x＞0），则h′（x）=﹣（e x﹣x﹣2）﹣x（e x﹣1）=（x+1）（2﹣e x），当0＜x＜ln2时，h′（x）＞0；当x＞ln2时，h′（x）＜0；∴当x=ln2时，h（x）取得极大值，也是最大值，为h（ln2）=﹣ln2（e ln2﹣ln2﹣2）=ln22．∴m＜ln22．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
绝密★启用前 2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,32．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.81B.71C.61D.57．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.334D.38．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.11C.21D.810．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.36π B. 64π C.144π D. 256π11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）12．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知函数()32f x ax x=-的图像过点（-1,4）,则a=．14．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为．15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为． 16．已知曲线lny xx =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a=．三、解答题（题型注释）17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数 2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B DC上,11 4.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,点(在C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.（Ⅰ）证明EFBC ；（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（Ⅰ）若ab cd > ,>>a b c d-<-的充要条件.参考答案1．A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a ba a ab .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()15535552a a S a +===.故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 7．B 【解析】试题分析：△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线1x =上,设圆心D ()1,b ,由DA=DB得3b b =⇒=,所以圆心到原点的距离3d ==. 故选B. 考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式. 8．B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术. 9．C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.【解析】试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为212R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时313666V R R ==⇒= ,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11．B 【解析】试题分析：由题意可得ππππ12424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可排除C,D ；当π04x <<时点P 在边BC 上，tan PB x =，PA =，所以()tan f x x =可知π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12．A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()()2212121212113f x f x f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13．-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x=-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：本题主要考查利用函数解析式求值.【解析】试题分析：不等式组50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域是以()()()1,1,2,3,3,2为顶点的三角形区域,2z x y =+的最大值必在顶点处取得,经验算,3,2x y ==时max 8z =. 考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力.15．2214x y -= 【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为12y x =±,可设双曲线的方程为224x y m -= ,把(代入224x y m -=得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=.考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 16．8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 17．（Ⅰ）12；（Ⅱ）30. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2s i n s i n B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 18．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得()A P C 的估计值为0.6,()B PC 的估计值为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 试题解析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记A C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；B C 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=,()B PC 的估计值为()0.0050.02100.25.+⨯=,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计. 19．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97 或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97 或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作,EM AB ⊥ 垂足为M,则14AM A E ==,112EB =,18EM AA ==,因为EHGF 是正方形,所以10EH EF BC ===,于是6,10, 6.MH AH HB ====因为长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97 （79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.20．（Ⅰ）2222184x y +=（Ⅱ）见试题解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由2242,1,2a a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k==-12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有2242,1,2a a b =+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=. （Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b=+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-=故12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==- 即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.21．（Ⅰ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111l n1l n 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122l n 10f a a aa ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.22． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明EFBC ,可证明,AD BC ⊥AD EF ⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求. 试题解析：（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形,,AD BC ⊥ 所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EFBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以30OAE ∠=,因此,△ABC 和△AEF 都是等边三角形,,因为AE =,所以4,2,AO OE == 因为2,OM OE ==12DM MN == 所以OD=1,于是AD=5,AB = 所以四边形DBCF的面积为(221122⨯-⨯=⎝⎭考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.23．（Ⅰ）()30,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.试题分析：（Ⅰ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2si n ,αα,点B 的极坐标为(),αα,,由此可得2sin 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭.试题解析：解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=,联立两方程解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2C 与3C 交点的直角坐标()30,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 其中0απ≤< ,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B的极坐标为(),αα,所以2sin cos 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB 取得最大值,最大值为4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 24． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.解：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设a b c d +=+,ab cd >,得22>,>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d-<-,则()()22a b c d -<-,即()()2244,a b ab c d cd +-<+- 因为a b c d +=+,所以ab cd >,>（ⅱ）若>,则22>,即a b c d ++>++因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是()()()()222244,a b a b a b c d c dc d-=+-<+-=-因此a b c d-<-,综上a b c d-<-的充要条件.考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.。
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2015届高三级第二次月考
数 学 试 卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的的四个选项中,选出
符合题目要求的一项）
（1）已知集合{}
2
230A x x x =--≥，{}
22B x x =-≤<，则A
B =( )
（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ） []1,1- （D ）[)1,2 （2）“1
sin 2
θ=
”是“30θ=”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（3）已知函数()()()
210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是( ) （A ）()f x 是偶函数 （B ）()f x 在(),-∞+∞上是增函数 （C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 的值域为[]1,-+∞ （4）设,,log ,log 22
12-===πππc b a 则（ ）
（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）b c a >> （D ）a b c >>
（5）已知非零向量满足，且, ,则
的夹角为( )
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（6）将函数sin y x =的图象向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的图像关于直线2
x π
=对称
（C ）()y f x =的周期是π （D ）()y f x = 的图像关于02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 （7）设a ∈R ,函数ax
x
e
e x
f -+=)(的导数是()f x ',若)(x f x '是偶函数，则=a
（A ） 1 （B ） 0 （C ）1- （D ）1± （8）函数()()()2
ln 10f x x x x
=+-
>的零点所在的大致区间是( ) （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,e （D ）()3,4
（9）已知函数sin()y x ωϕ=+，(0,0)2
π
ωϕ><≤，且此函数的图象如图所示，则点
P ωϕ（，）
的坐标为（ ） （A ）（2，2π
） （B ）（4，
2π
）
（C ）（2，4
π
）
（D ）（4，4
π
）
（10）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（11）已知函数是增函数，则实数m 的取值范围是( )
（A ）
（B ）
（D ）
(12)．函数()2sin f x x π=与函数()f x =
（A ）8 （B ）9 （C ）16 （D ）17 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13）已知点A （-1,2），AB 的中点坐标为（3,1）且
共线，则m= 。
（14）已知函数f (x )的导函数为 f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则 f ′(1)＝ 。
（15）已知函数
的图像关于直线对称 ，则函数
的最小值为 。
16、判断下列命题
①若()2
2f x x ax =-在[1,)+∞上增函数，则1a =；
②函数()
21y In x =+的值域是R ； ③函数||
2x y =的最小值是1；
④在同一坐标系中函数2x
y =与2x
y -=的图像关于y 轴对称。
其中正确命题的序号
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知向量
互相垂直，其中
（1） 求和的值。
（2） 若
求cos 的值。
18.（本小题满分12分）
已知函数32
()f x x bx ax =+-在x=1处有极小值—1． (1)求,a b 的值；
(2)求出函数f(x)的单调区间.
19. （本小题满分12分）
已知函数()2
cos sin 3f x x x x π⎛⎫
=⋅+ ⎪
⎝
⎭x R ∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最小值和最大值，并求出相应x 的值。
20.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ，，的对边，且c
a
b b a
c a -=++ （1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的最大边长为A C sin 2sin ,7=且，求最小边长.
21.（本小题满分12分） 函数
是定义在R 上的偶函数，
,当
时，
.
(1) 求函数的解析式；
(2) 解不等式
2.
22.（本小题满分12分） 设函数()ln m
f x x x
=+
，m R ∈. （Ⅰ）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）讨论函数()()3
x
g x f x '=-零点的个数.。