应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章
应用数值分析(第四版)张明主编文世鹏主审课后答案
5
1 1
1
1 1 1
4 1
解：由 x=sy 得
y-4=s-1x=
1 11
1 1 1
1 1 1
1 11
2 1 1
4 1
4 1
4
8、在 P2 (t ) 中向量 P2 (t ) 1 t 2t 2 ，取基 S t 1, t 2, t 2 ，求 P2(t)在基下的坐标 。
10、试导出计算积分
In
1 0
xn dx
1 4x
(n
1, 2, 3, 4) 的递推计算公式
In
1 4
1 ( n
In1 )
，用此递
推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解： In
1 0
xn dx
1 4x
1 4
1 0
4xn
xn1 1 4x
x n1 dx
11 (
40
x n1dx
设 A 是单位上（下）三角阵。证 A-1 也是单位上（下）三角阵。 证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A 可逆，即 A-1 存在，记为（bij）n×n
n
由 A A-1 =E，则 aijb jk ik （其中 aij 0 j＞i 时， aii 1） j 1
故 bnn=1, bni=0 (n≠j) 类似可得，bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k＞j) 即 A-1 是单位上三角阵 综上所述可得。Rn×n 中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三 角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系。
2x2
1 2x 1 x (1 2x)(1 x)
（3） (1 cos x) sin2 x
应用回归分析第四版答案
应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。
.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
应用统计学(第四版)第2章 数据与数据收集
类型：解剖麻雀式和划类选典式 特点：属于非概率型抽样调查
具有所研究问 题的本质属性 或特征的单位
目的：为了描述或揭示事物的本质或规律
26
调查方式小结
调查方式
全面调查
非全面调查 (抽样调查)
定期统计报表制度——制度化的经常性调查
普查 (概率)抽样调查
判断调查
非概率抽样
重点调查 典型调查
方便调查
专门组织的一次性调查
• 调查方式：对法人单位和产业活动单位在全面清查的基础上进
行普查登记。对个体经营户在全面清查的基础上，按照《第四次 全国经济普查个体经营户抽样调查方案》进行抽样调查。
• 调查方法：在单位清查阶段，普查员使用PAD(手持移动终端)采
集清查对象数据; • 在普查登记阶段，采取网上直报、PAD采集、部门报送及其他方
第2章 数据与数据搜集
1
主要内容和学习目标
2.1 数据（理解） 2.2 数据的收集（掌握）
2
2.1 数据
2.1.1数据的测量尺度 2.1.2统计数据的常用类型
3
何为数据? 统计数据简称数据。数据是 所收集、分析、汇总的，用以描 述和解释的事实与数字。
统计数据的研究，首先涉及的是数据的测度。 在统计数据的收集、处理和分析中，不同特点的 统计数据，形成不同的类型，需要采用不同的统计 方法将数据转为有意义的而且易于理解的统计信息。
36
调查表的形式:单一 一览表
单一表每份只登记一个调查单位的资料。在调查项目 较多时使用单一表，便于分类和整理。
一览表的样式——表2—1
一览表每份可登记多个调查单位的资料，却不能容纳 较多的调查内容。适用于调查项目不多的调查,便于 资料的对比和汇总。
应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章
第二章习题解答1.（1） R n×n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
（2）R n×n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
设A 是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A -1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：(1),n nA B A B R⨯∈证明：为上三角阵，为上三角阵，10(),0(),0(),,()(()),()()ij ij nij ik kj ij k n n T T T T T T T T T T a i j b i j C AB c a b c i j A B A B R AA A A E BB B B EAB AB ABB A E AB AB B A AB E AB =⨯∴=>=>==∴=>∴∈========∴∑则上三角阵对矩阵乘法封闭。
以下证明：为正交矩阵，为正交矩阵，为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。
（2）A 是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A -1 =A -1A=E 故（A -1）-1=A∴A -1（A -1）-1=（A -1）-1A -1 =E 故A -1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A 是非奇异的对称阵，证A -1也是非奇异的对称阵。
A 非奇异 ∴A 可逆且A -1非奇异 又A T =A ∴（A -1）T =（A T ）-1=A-1故A -1也是非奇异的对称阵设A 是单位上（下）三角阵。
证A -1也是单位上（下）三角阵。
证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A 可逆，即A -1存在，记为（b ij ）n×n由A A -1=E ，则∑==nj ik jkij ba 1δ （其中0=ij a j ＞i 时，1=ii a ）故b nn =1, b ni =0 (n≠j)类似可得，b ii =1 (j=1…n) b jk =0 (k ＞j)即A -1是单位上三角阵综上所述可得。
应用回归分析第四版答案
应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。
.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
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第二章习题解答1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
(2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
-1设A是nXn的正交矩阵。
证明A也是nXn的正交矩阵。
证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n na ij 0(i j ),b ij 0(i j)nC AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j)k1上三角阵对矩阵乘法封闭。
以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n nAA T A T A E,BB T B T B E(AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB EAB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。
(2) A是nXn的正交矩阵A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =AA-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。
A非奇异.A可逆且A-1非奇异又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设 A 是单位上(下)三角阵。
证A-1也是单位上(下)三角阵。
-1证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xnn由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1)j1故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j)类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解系。
1 21 41A= 0 11 000 01 4512 1 411 2 1 41 解 ： A=1 1 01 0 450 1451451 2 0 0 410 08 140 1 0 4 5 -14 514514581445故齐次线行方程组 Ax=0的基础解系为14， 2510 013. 求以下矩阵的特征值和特征向量。
34A 1=52解( 1I- A ) x=0 得 1343 解 ： A 1=，| I- A 1|=5 2514 0解(2I- A ) x=0 得4、已知矩阵 A1 2 1 12 43 0，求A 的行空间R(A T)及零空间N(A)的基。
1 2 1 5 1 2 1T 24 2 解：Q A T1 3 1 1 0 51 2 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 1 02 40 0 07， 2 2r(A T) 34=an a 12 V,a 21 a 22 a 12 a 21 /、k E 12 E 21)( E 12 E 21)2E , E , E E , E E 是R 2 2中的一组基。
a 12 a 21有 Aa 11E 11a 22E 227、在 戊中求向量 x= (1 , 2, 1 , 1) T 在基 S= (1,2,3,4) (1, 1 , 1 , 1) T ,2= (1, 1, -1 , -1 ) T ,3= (1, -1 , 1, -1 ) ', 4= ( 1, -1 ,-1 , 1) T o下的坐标，其中 T对于任意二阶实矩阵E 12 E 21,E 12 E 211 01 0令 k 1En k 2E 22 k 3(E 12E 21) k 4(E 12 E 21)k 1k 3 k 4 因此E 11 k 2E 22k 3( E12E 21) k 4(E 12 E 21)0 Ok 1k 2 k 3 k3k 4 0 00 1 0 1k 3 k 4R(A T )的基为1T31215T11 ,2由Ax 0可解得x T 2 10 0N(A)的基为 5、、已知矩阵 试计算 A 的谱半径(A)。
解: f A (det( I A)2(3)(4)max3 .5(A)E 21解：EnE 11, E 22, E 12 E 21,E 12E 21 是 R 2中的一组基。
，其中 E 110 0 ,E12 0,E 120 0E 211 0,E 22解：P2(t) 1 t 2t2,基S t 1,t 2,t2令P2(t) k1(t 1) k2(t 2) k3t2则有k3 2, k1 k21, k1 2k2 1解之得k13, k22, k3 2。
F2(t)在基S t 1,t 2,t2下的坐标为(-3,2,2).9、已知戊中两组基1 1 0 1 0 1S 1={ 1, 2,3}= 1 , 0 , ,1 , S2={ 1 , 2, 3 }=0 ,0,11 1 1 1 1 1①求从S到S2的过度矩阵;②设已知u= (2, 1, 2)T R3求u 在S1 下的: 坐标和u在S2下的坐标。
1 1 0 11 0 12 1 1解:① A= S 1 S2= 1 0 1 0 0 1 1 1 01 1 1 1 1 12 1 2②对u=( 2,1, 2)T2在S下，由u=Sx可求出x= S -11 u= 11 1 1 1 114 1 1解：由x=sy 得y -4 =s-1 x=1 1 1 21 1 1 1 11 1 1 1 1 4 14 14 1 48、在P2(t)中向量P2 (t) 1 t 2t2，取基S t 1,t 2,t2，求P2(t)在基下的坐标3__ -1在S2下，由u=S2x可求出x= S 2- u= 111 1 3 110.已知A= 3 1 3 4 ，求dim(R(A)), dim(R(A T)),dim(N(A))1 5 9 81 13 1 解：A= 313 4 1 598dim(R(A))=dim(R(A T ))=r(A)=2 dim(N(A))=n-r=4-2=2-J11、已知 A=span{1,e x ,e -x },D= — 是X 上的线性变换，求dx① D 关于基S i ={1,2e x ,3e -x }的矩阵A ;② D 关于基 S 2={1, (e x +e -x ) /2 , (e x -e -x ) /2}的矩阵 B 。
解：①由 Dx=SA,设 A=[X (1)，X (2)，X⑶]D (1) =0, 0= S 1 X ⑴=0 - 1+0 - 2 e x +0 - 3e -x , X ⑴=(0,0,0)0 00 1 A 0丄0 210 0 -30 00 ②类似的可得 D 关于基S={1, (e x +e -x ) /2 , ( e x -e -x ) /2}的矩阵B 为0 110 11t12、已知线性变换 T : Pa (t )^P 3 (t ),定义T 为T ( P (t )) = P(t) dt 求线性变换T 在基偶(S={1,t,t2}, S2 2={1,t , t /2,t 3/3} ) 下的矩阵。
解::设所求矩阵为 A ,则有 T S 1 =S 2Att 3 T(1) = 1dtt 0 1 1 t 023t,2,2,3ttt T(t ) = tdt0 1 0 t 10 223t.3.2.3t,t ,tT(t 2) = t 2dt0 1 0 t 1 - 1 -323—/ x 、xX _(2)亠“1 -2 ex-x(2)1 TD (e )= =e ,e = S 1X =0 T + —+0 • 3e , X =(0,,0)22D (e -x) =-e -x , -e -x= S 1 X (3)=0 •1+0 -2 e 1x+1• 3e -x,X (2)=(0, 0,」)T33000的正交补 X（即所有与X 垂直的向量的全体）100 A010 00113、设 A 试证明 R mXn ,定义从R 1到R m 的变换 T 是线性变换。
T 为 T : x R n T y=Ax x R m证明： x R n, y R nT(x y) A(x y) AxAy Tx Ty Rm有 T(kx) A kx kAxkT(x)Rm故，由定义知， T 是线性变换。
14、已知R 3中取基S = 1, 1 ,R 2中取基S2= 1 线性变换 T ： R 3TR 2 定义为 x= 求①T 在（S , S 2）下的矩阵A ; ② 解：① (x i , x 2 ， x 3) T R 3， Tx=( x 2 +x 3 11,221 。
T2， x 1 +x 3) R .设 u=（2， -3 ， 2） T R 3由题知， T (S 1)= S 2A ,u 在 S i 下的坐标和 Tu 在S 2下的坐标。
T( T( T( 1) 2)3)对 u= Tu由 Tu15、求由向量1T 1T T2Ts 21T(s 1)2， -3 ， 2）s 1x 可求出 x S i11 s 11u123T1s 2 y 可求出 y s 2 Tu5 3T1=( 1 ， 2， 1 ) 与 2=i ， -i ，2）T张成的R 3的子空间X=span{ 1,2}解：令A 1 2解Ax o得x 01故X =spanx span 0116、试证明若｛ 1 , 2,…，t｝是内积空间H中不含零向量的正交向量组，贝U 1 ,2,…，t必线性无关。
证明：假设存在k1 ,k2, , k t使k1 1 k2 2k t t 0两边与i作内积得k i i i 0,(i 1,2, ,t)又i i 0(因i 0)故k i 0故1 , 2,…，t必线性无关。
17、计算下列向量的II x II a x II 1 和II x II 2。
① x= (3, -4 , 0, 3/2 ) T② x= (2, 1, -3 , 4) T③ x= ( sink,cosk,2 k) T k 为正整数。
解：① I x I a = maxx i 4n||x h X i 8.5i 11n2x 2 x 5.2202i 1nII xh Xi 10i 15.4772③ I x II a = maxx i2ki 1nX i sink cosk 2k i 122X ii 118、在C[a,b]中，试证明(1) || f || max | f (x)| 为f (x)的范数。
X [a ,b] b1(2) ||f||2 ( f 2(t)dt)2为f(x)的范数。
a证明：1、( 1)显然 || f || o,|| f || 0 f(x) 0(2)||kf || max | kf (x)| | k | max ] | f (x) | | k ||| f ||x [a,b]x [a,b](3) ||f g|| max | f(x) g(x)|x [a,b]max ]|f(x)|max|g(x)| ||f |||| f || max | f (x) | 为f (x)的范数x[a,b]2、(1)正定性 f 2(t) 0,则 || f ||2 0b1且(f 2(t)dt)20 f (t) 0ab 1⑵齐次性 k F,||kf(t)|2 ( k 2f 2(t)dt 尸 |k||| f ||2a(3)三角不等式|| f g||2 || f ||2 ||g||2|| ||是C[a,b]上的一个范数19、在内积空间R n 中给出Cauchy -Schawz 不等式，其中内积n(x,y):x T Ay x i C ij x j ,A 为对称正定矩阵。