柯西—古萨积分定理的非标准分析证明
3-2柯西-古萨定理
c
f ( z )dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
由 f ( z )解析，u, v 在D上可微，且
u v u v . ， y x x y
由牛顿-莱布尼兹公式知,
0 z cos zdz [ zsinz cosz]
i sin i cos i 1
i
i 0
e 1 e e 1 e 1 e 1. i 1 2i 2
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
由改进的Green公式
( v ) u [ ]dxdy 0 C udx vdy x y D u v v d x u d y [ ]dxdy 0 C x y D
1 e 1 （ ） dz 例求 z3 z2 | z | 1
f ( z )dz 0.
c
并注意定理成立的条件.
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 2i , n 0 1 常用结论: n1 dz (z a) n 0. 0, 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
柯西定理证明过程完整
柯西定理证明过程完整【原创版】目录1.柯西定理的概述2.柯西定理的证明过程3.柯西定理的应用领域正文【1.柯西定理的概述】柯西定理，又称柯西 - 施瓦茨不等式，是由法国数学家柯西（Cauchy）和德国数学家施瓦茨（Schwarz）在 19 世纪同时独立发现的一个数学定理。
它是一种在向量空间中的内积不等式，描述了向量内积的性质，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
【2.柯西定理的证明过程】柯西定理的表述如下：设 a_1, a_2,..., a_n 是实数，b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么 (a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2)。
为了证明这个不等式，我们可以采用数学归纳法。
首先，当 n=1 时，不等式显然成立。
假设当 n=k 时，不等式成立，即：(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_kb_k)^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 +...+a_k^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_k^2)我们需要证明当 n=k+1 时，不等式也成立。
考虑添加一个向量a_(k+1) 和 b_(k+1)，则有：(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_kb_k + a_(k+1)b_(k+1))^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 +...+ a_k^2 + a_(k+1)^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_k^2 +b_(k+1)^2)根据柯西 - 施瓦茨不等式，有：(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_kb_k + a_(k+1)b_(k+1))^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 +...+ a_k^2 + a_(k+1)^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_k^2 +b_(k+1)^2)≤ (a_1^2 + a_2^2 +...+ a_k^2 + a_(k+1)^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_k^2 + b_(k+1)^2)因此，当 n=k+1 时，不等式也成立。
柯西积分定理
( z)
=
1 z2
在
z
=
1内.
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30
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它
是本章的难点.
常用结论:
(z
1 − a)n+1
dz
=
2i, 0,
n=0 n 0.
33
思考题
复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要 注意什么问题?
z2
dz −z
1
1
=
dz + z −1
z
dz
= 2 i + 2 i
= 4i.
y
C1
C2
o
•
•
1
x
25
例5 计算积分 ez dz , 为正向圆周 z = 2 和负
z
y
向圆周 z = 1 所组成.
C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
︵
C
A A
D1
D
︵
B
C1
B
证明：作两段不相交的弧段 AA 和 BB,
为了讨论方便 , 添加字符 E, E, F , F ,
显然曲线 AEBBEAA,AAF BBFA均为封闭曲线 .
因为它们的内部全含于 D,
故 f (z)dz = 0, AEBBE A A
CF A A F
B
f (z)dz = 0.
并注意定理成立的条件.
28
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
柯西积分公式的证明
柯西积分公式的证明柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它描述了在某个简单闭合曲线上的函数积分与函数在该曲线内部解析的关系。
以下是柯西积分公式的证明：假设函数f(z)在一个包含闭合曲线C的区域D内解析，C是一个简单闭合曲线，且C的方向是逆时针方向。
我们要证明的是：∮C f(z)dz = 0证明分为两部分：1. 首先，我们可以将C分成若干小段，每一小段可以表示为Δz，其中z是该小段的起始点。
由于f(z)是解析的，根据柯西-黎曼方程，f(z)在z点的导数f"(z)存在。
对于每一小段Δz，我们可以将f(z)在z点展开为泰勒级数：f(z) = f(z) + f"(z)(z - z) + f""(z)(z - z)/2! + ...因此，在Δz小段上的积分可以近似为：∮f(z)dz ≈∮[f(z) + f"(z)(z - z) + f""(z)(z - z)/2!+ ...]dz可以看出，当积分路径趋近于0时，f(z)和f"(z)(z - z)两项的积分趋近于0，因为dz的长度趋近于0，所以积分路径趋近于0时高阶项的积分也趋近于0。
因此，只有f(z)一项的积分对最终的积分结果有贡献。
2. 现在我们要证明∮f(z)dz = 0。
我们将C划分为n个小段，每一小段的长度为Δz。
对于每一小段Δz，我们有：∮f(z)dz ≈∑[f(z)Δz]根据积分的定义，当Δz趋近于0时，上述等式成立。
将所有小段的积分相加，我们可以得到：lim(Δz→0) ∑[f(z)Δz] = ∑[f(z)Δz]其中Δz是曲线C上的一段小弧，对于每一个小弧，我们可以找到与之对应的一段小弧，使得它们的长度和为0。
因此，∑[f(z)Δz]可以分成两部分，一部分是沿曲线C的积分，另一部分是沿着曲线C回到起点的积分。
由于C是闭合曲线，回到起点的积分与沿曲线C 的积分是相等的。
Cauchy积分定理的一个新证明
前言：本人在完成本科论文时，读到一篇关于柯西积分定理的简化证明的文献，对此颇感兴趣。
奈何作者只给出了一个证明思路，所以我便尝试按照这个思路给出证明。
可惜能力有限，证明有瑕疵。
现将这个证明发在网上，希望有能手可以完善此证明。
正文：定理1(Cauchy 积分定理)设函数()f z 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任意一条周线，则()0Cf z dz =⎰.古尔萨给出了“只假设()f x '存在”的Cauchy 积分定理的证明。
在此，给出一个类似的证明，证明也分为三步。
证明：第一步，将周线C 所围的区域0D 不断作分割，并利用函数沿某个小区域周界积分的模来对原积分的模进行估计。
方法如下：由定理1的假设，可以用一个矩形区域R ，使得周线C 在矩形区域R 内，现在，分别连接R 中两组对边的中点，将周线C 所围的区域0D 分为4个部分，如图1所示。
那么解析函数沿周线C 的积分等于沿这4个区域周线的积分和。
所以在这4个区域中，存在某个区域1D ，满足：()()14CC f z dz f z dz ≤⎰⎰（1.1）其中，1C 是区域1D 的周界。
图1再利用同样的方法，把1D 分为四个区域，如图2所示。
同样，在这四个区域中存在一个区域2D ，满足：()()124C C f z dz f z dz ≤⎰⎰（1.2）其中，2C 是区域2D 的周界。
图2重复以上步骤，可以得到一系列嵌套的矩形或者由矩形被周线C 所截取的部分区域，利用（1.1）和（1.2）的递推关系，有：()()4nnCC f z dz f z dz ≤⎰⎰（1.3）其中，n C 是区域n D 的周界。
注：此分割也可以利用一个包含周线C 的网格实现，只要使网格的密度以4倍的形式增加。
第二步，用折线P 逼近n C ，并证明()()nC Pf z dz f z dz ε−<⎰⎰。
方法如下：先讨论区域n D 的形状，由图2可见，当n 足够大时，区域n D 要么为矩形，要么含有周线C 的一部分。
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
3-2柯西积分定理
复 变 函 数 与 积 分 变 换
首先: 若复积分与路径无关,则 C2 对任意围线C,在其上任取两点 C a 按a(起点),b(终点)将曲线C分 C1 成两部分因为积分与路径无关, 所以: f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
C C1 C2
b
反之 : 若对任意围线C, f ( z )沿着C的积分为零 ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例1 计算积分 z 1
c
1 dz . 2z 3
n
例2 证明 ( z ) d分
哈 尔 滨 工 程 大 学
z 1
1 dz . 2z 3
1 在 z 1 内解析 , 解 函数 2z 3 1 根据柯西定理, 有 z 1 2z 3 dz 0.
哈 尔 滨 工 程 大 学
( z )n 在除点 的整个 z 平面上解析 ,
情况一: 若 C 不包围 点,
( z )n 在 C 围成的区域内解析 ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由柯西－古萨定理,
c
( z ) dz 0;
n
情况二: 若 C 包围 点,
由上节例1.3可知,
内处处解析 , 由复合闭路定理,
a
C1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz ( z a )n dz 0, n 1. C C1
哈 尔 滨 工 程 大 学
e 例5 计算积分 dz , 为正向圆周 z 2 z 和负向圆周 z 1 所组成 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f z dz
柯西-古萨基本定理 复合闭路定理 原函数与不定积分
C
z
1 dz(
z0
2
i) 。
例
3：计算
C
1 z2
dz( z
0)
，其中
C
为包含圆周
|
z
|
1
在内
的任何正向简单闭曲线。
C f (z)dz 只与起点及终点有关，而与路径无关。
注 1.若起点 z0 E 固定，对 z E ，则上述积分就在 E 内
z
定义了一个 z 的单值函数，记为 F(z) z0 f ( )d 。
定 理 3 ： 设 f (z) 在 单 连 域 E 内 解 析 。 点 z0 E ， 则
F(z)
z
z0
f ( )d
在 E 内解析，且 F(z)
f
(z) 。
定义 1: 若 (z) f (z) ，则称 (z) 为 f (z) 的一个原函数。
定理 4：如果 f (z) 在单连域 E 内处处解析，G(z) 为 f (z) 的一 个原函数，那么
z2 z1
f
(z)dz
G(z2 ) G(z1)
C1 , C2 , C3 , , Cn 所组成，即
C C0 C1 C2 C3 Cn 。
定理 5：(复合闭路定理)如果 f (z) 在多连域 E 内解析，假 设复合闭路
C C0 C1 C2 C3 Cn
所围的区域全包含于Ｅ中，那么
n
这里 z1, z2 E 。
例 1 计算下列积分：
1)
2i (z 2)2 dz i
2
3
2i
z
2) 0
cos dz 2cos i 2
三、 柯西定理的推广—复合闭路定理
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柯西—古萨积分定理的非标准分析证明
自发现古萨积分定理以来，就一直有人试图寻找新的证明方式。
柯西在他的《数学分析》一书中，用非标准的分析方式提出了一种证明古萨积分定理的新方法，引起了许多数学家的关注。
首先，我们来了解一下古萨积分定理的概念。
古萨积分定理告诉我们，如果一个无界连续函数在不同的封闭区域上的积分之和为零，则它在这些封闭区域上的积分也为零。
它是一个非常重要的定理，它提供了一种使用积分来研究函数的方法，这种方法被称为古萨积分。
柯西的证明方法显然和传统的证明方法有很大的不同。
他的证明方法建立在他的发明的微分坐标系上，并且用数值分析技术来证明定理。
在这种情况下，他定义了一个特殊的积分坐标系，将函数f(x)的积分表示为一组非标准坐标，用来替代传统的函数求积法从而提供了一种更简单有效的证明方式。
具体来说，柯西使用了两个无界，连续的函数F (x)G (x)，他们相乘得到了函数f (x)。
柯西将F (x)的积分表示为坐标系A 中的一系列点，G (x)的积分则表示为坐标系B 中的点，柯西运用坐标系AB 中的点来构建两个近似的多面体，但是这两个多面体的表面积不相等。
柯西进一步证明，如果满足特定的条件，则这两个多面体的变形系数应相等，从而导出古萨积分定理。
此外，他还将古萨积分定理推广到多变量情况，为多变量积分提供了一种新的求解方式。
总而言之，通过柯西的非标准分析证明，可以有效地求解函数的
积分，这也是古萨积分定理的一个重要应用。
它也很容易推广到多变量情况，这是未来数学研究的一个重要方向。
可以说，柯西对于古萨积分定理的非标准分析证明提供了一种新的思路，为数学研究和应用积分技术提供了新的可能性。
该证明方法已经得到许多数学家和科学家的重视，它也为我们提供了一种新的思路和方法，来更好地学习和掌握积分。
它也为我们提供了一种更简单有效的求解古萨积分的方法，这也是一种新的研究方法。
因此，这种柯西的古萨积分定理的非标准分析证明是一个重要的课题，有许多数学家和科学家正在进行研究，他们努力寻找更好的证明方式，使古萨积分定理的应用范围更为广泛。
希望在不久的将来，这一部分的研究能够给我们带来更多的新发现，让我们能够更好地学习和掌握积分。