误差理论与数据处理知识总结
误差理论与数据处理总结
2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x
n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
Vi
i 1
li
i 1
n
i 1
n
n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1
n 2
0.5
A；
A
为x
末位数
的一个单位。
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差
大学物理实验-误差理论与数据处理综述
误差理论与数据处理
②依据测量的条件进行分类
※等精度测量:
就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量．即测量的一切条 件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是 等精度测量．
不等精度测量 :
③依据测量可重复性进行分类
单次测量： ※多次测量：
误差理论与数据处理
①误差的绝对值有界 有界性 ②小误差出现的概率大于大误差出现 单峰性 的概率 对称性 ③n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等 ④n很大时，由于正负误差相互抵消， 抵偿性 各误差的代数和趋于零。 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数
误差理论与数据处理
或者
一般难以控制，往往不可抗拒。
如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。
误差理论与数据处理
•服从的规律： 服从数理统计规律。 •处理方法：
多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。
③过失误差
由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值不属于正常测量范围，在处理数据时 应予以剔除。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
《大学物理实验》课程安排
本学期（8次课16学时）
（1）误差理论与数据处理 （2）实验项目7个 14学时 2学时
误差理论与数据处理
本次课程内容：
一、基本概念 二、随机误差的正态分布率 三、数据处理 *（重点）
四、实验常用的数据处理 方法 *（重点） 五、物理实验课的基本程 序和要求
准确度高 精密度低
准确度高 精密度高
精 确 度 高
误差理论与数据处理
4）误差的表示方法：
误差理论与数据处理
③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0
误差理论与数据处理
• 定义 • 所谓测量，就是借助于专门设备，通过一 定的实验方法，以确定物理量值为目的所 进行的操作。它是一个实验比较的过程， 即把一个量（待测量）与另外一个量（标 准量）相比较。
1。直接测量
• 用预先校对好的测量仪器或量具对被测量 进行测量，直接读取被测量数值的大小， 称为直接测量（Direct measurement）。 例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时 间，用天平与砝码测物体的质量，用电压 表（或电流表）测电压（或电流）等都属 于直接测量，相应的被测物理量称为直接 测量量。
（a）
（b ）
（c）
有效数字
以下是有效数字及其运算的一些规定。
• 0的处理：判定0在一个数字中是否为有效 数字——从左往右看，以第一个非0数为准， 其左边的0不是有效数字，其右边的0是有 效数字。比如：0.0036为2位有效数字； 0.03060为4位有效数字。
测量结果中有效数字的确定
• 分为两种情况： • 1 已知（或求得）不确定度，测量结果的有效 数字由不确定度决定——结果的最末位必须与不 确定度的位数对齐。 • 比如测量（包括直接和间接测量）的近真值（算 术平均值）为1.3579，不确定度为 0.01。此 结果表示测量值在百分位已经有了0.01的误差， 因此测量结果的正确表示应该为：1.36 0.01， 因而有效数字为3位。 • 从此意义上 ，可以说不确定度是对有效数字中最 后一位数字的不确定程度的定量描述。
在某些特殊情况下，真值可认为是 已知的，主要包括：
• 1．理论真值：通过理论方法获得的真值。 例如，三角形内角之和为180°；理想电容 或电感构成的电路，电压与电流的相位差 为90°等。 • 2．标准器的相对真值：当高一级的标准器 的误差小于低一级的标准器或普通计量仪 器的误差一定程度后，高一级标准器的指 示值可以作为级别低的仪器的相对真值。
误差理论及数据处理
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理1. 绪论1.1 数据测量的基本概念1.1.1 基本概念（1）物理量物理量是反映物理现象的状态及其过程特征的数值量。
一般物理量都是有因次的量，即它们都有相应的单位，数值为1的物理量称为单位物理量，或称为单位；同一物理量可以用不同的物理单位来描述，如能量可以用焦耳、千瓦小时等不同单位来表述。
（2）量值一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
无量纲的SI单位是“1”。
（3）测量以确定量值为目的的一组操作，操作的结果可以得到真值，即得到数据，这组操作称为测量。
例如：用米尺测得桌子的长度为1.2米。
（4）测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测物理量进行的最佳估计，即是物理量真值的最佳估计。
在测量结果的完整表述中，应包括测量误差，必要时还应给出自由度及置信概率。
测量结果还具有重复性和重现性。
重复性是指在相同的测量条件下，对同一被测物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件即称之为“重复性条件”，主要包括：相同的测量程序、相同的测量仪器、相同的观测者、相同的地点、在短期内的重复测量、相同的测量环境。
若每次的测量条件都相同，则在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量服从同一分布。
重现性是指在改变测量条件下，对被测物理量进行多次测量时，每一次测量结果之间的一致性，即在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
（4）测量方法测量方法是指根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号法等。
总之，数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小。
1.1.2 数据测量的分类数据测量的方法很多，下面介绍常见的三种分类方法，即按计量的性质、测量的目的和测量值的获得方法分类。
（1）按计量的性质分可分为：检定、检测和校准。
检定：由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。
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1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
1.4.4 数据运算规则：1)在近似数加减运算时，运算数据以小数位数至少的数据位数为准2)在近似数乘除运算、平方或者开方运算时，运算数据以有效位数至少的数据位数为准3)在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。
2.1.1 随机误差的产生原因： 1)测量装置方面的因素 2)环境方面的因素 3)人员方面的因素。
2.1.2 随机误差普通具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。
2.1.3 正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。
2.1.4 算术平均值：在系列测量中，被测量的 n 个测得值的代数和除以n 而得到的值称为算术平均值。
2.1.5 残存误差：普通情况下，被测量的真值为未知，可用算术平均值代替被测量的真值进行计算：o =l -xi i , υ 为 l 的残存误差。
i i2.1.6 算术平均值的计算校核：算术平均值及其残存误差的计算是否正确，可用求得的残存误差代数和来校核。
其规则为1)残存误差代数和应符合：当x n l = nx，求得的x 为非凑整的准确数时，x n o为零；i ii=1 i=1当x n l 〉nx，求得的x 为凑整的非准确数时，x n o为正，其大小为求x 是的余数；i ii=1 i=1当x n l〈nx，求得的 x 为凑整的非准确数时，x n o为负，其大小为求 x 是的亏数。
i ii=1 i=12)残存误差代数和绝对值应符合：当 n 为偶数时，x n o 共n A ；i=1当 n 为奇数时，x n o 共(| n - 0.5)|A 。
i =1i ( 2 )2.1.7 测量的标准差：测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。
2.1.8 单次测量的标准差σ是表征同一被测量的 n 次测量的测得值的分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。
n62i2.1.9 在等精度测量列中单次测量的标准差按下式计算：装= i=1nx n o 2i2.1.10 贝塞尔公式：装= i =1 据此式可由残存误差求的单次测量的标准差的估计值。
n - 1x n o 2 x n o 22 i 4 i2.1.12 算术平均值的标准差装是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。
2.1.13 在 n 此测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1n ，当测量次数 n愈大时，测量精度越高。
2.1.14 标准差的其他计算方法：x2.1.11 评定单次测量不可靠性的参数还有或者然误差p = i=1 和平均误差9 = i=1 。
3 n - 1 5 n - 1i 2xni 1n n - 12)极差法nxmax- xmin3)最大误差法i maxK 'ndn2.1.16 极限误差：测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不超过该极端误差的概率为 P。
2.1.17 单次测量的极限误差：x t。
lim x2.1.18 算术平均值的极限误差：正态分布：x t；t 分布：x t 。
lim x lim a x2.1.19 不等精度测量：不同的测量条件、不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数和不同的测量者。
2.1.20 权：各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即为权。
2.1.21 单位权化：使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列。
2.1.22 随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、 x 分布、 t 分布、 F 分布等。
2.2.1 系统误差的产生原因：系统误差是由固定不变的或者按确定规律变化的因素所造成的。
这些因素可以是 1)测量装置方面的因素 2)环境方面的因素 3)测量方法的因素 4)人员方面的因素。
2.2.2 系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。
2.2.3 系统误差的种类：不变的系统误差，线性变化的系统误差，周期性变化的系统误差。
2.2.4 系统误差的发现：多次测量计算数据若x xi j在系统误差2 2 2i j，则两组结果之间不存秩和检验法t检验法将独立测得的两组数据，混合后按大小顺序重新罗列，取测量次数较少的一组，数出它的测得值混合后的次序，相加的秩和 T。
查表判断是否存在系统误差。
t x yn nnyn2yx y x x y y查表，若t t 则无根据怀疑两组间由系统误差。
改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，用于发现不变的系统误差根据测量列残存误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或者曲线图形来判断系统误差，用于发现有规律变化的系统误差用于发现线性系统误差：K ni ji 1 j k 1显著不为零，则有理由认为测量列存在线性系统误差马利科夫准则残余误差校核单次测量实验对照法残存误差观察法比较法若a1)别捷尔斯法 1 .253 in用于发现周期性系统误差：u =-1) )i i +1i =1u n - 1装 2 ，则认为测量列存在周期性系统误差装4 ) 2 = 1 + u ， 若装12u > ，则怀疑测量列n - 1存在系统误差。
2.3.1 粗大误差的产生原因：测量人员的主观原因，客观外界条件的原因。
2.3.2 判别粗大误差的准则 3 σ准则(莱以特准则)罗曼诺夫斯基准则j格罗布斯准则当 x 服从正态分布 时，将 x i按大小顺序罗列 ，得到 g (n ) = 装，g (1) = x 装-x (1)，若g (i ) > g 0(n ,a )，则判别该测得值含有粗大误差。
r = x (n ) - x (n -1) 11 x (n ) - x (2) ，r，与 r 与各统计量的临界值比较(查表)，若r ij大于临界量，则认为x (n )含有粗大误差。
3.1.1 函数误差概念：间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直 接测得值误差的函数，称为函数误差。
f ?f ?f1 2 n如果在测量列中发现有大于 3 σ的残存误差测得值，则可认为它含有粗大误差。
首先剔除一个可疑的测得值， 然后按 t 分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误3.1.2 函数系统误差计算公式： 编y =编x + 编x + … + 编xx 1 ?x 2 ?x n卑- 赫 梅 特 准 则不同公式计算标准 差比较法x (n ) 的 统 计 量 r 10 = x (n ) - x (n -1) 差。
若 x - x K 装 ，则剔除正确。
x (n ) - x (1) ，x (n ) - x狄克松准则法 阿若ji 1q3.1.3 函数随机误差计算公式：yx1x2xn3.1.4 相关系数：误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖的关系，，这种关系的强弱有相关系数ρ来 反映。
3.1.5 相关系数的确定方法：直接判断法，实验观察和简略计算法，理论计算法。
3.2.1 标准差的合成：qa22qa a ii ij i j i ji 1 1i <j3.2.2 极限误差的合成：tai i22a aij i jt t3.3.1 已定系统误差的合成：rai ii 13.3.2 未定系统误差的合成：1)标准差的合成： usa u22sa a u ui i ij i j i ji 1 1i <j3.4.1 按极限误差合成：总se 2q2i ii 1 i 1 3.4.2 按标准差合成：su 2q2i i i 1 i 13.5.1 误差分配步骤：1)按等作用原则分配误差即f x 或者 in f xi i2)按可能性调整误差 3)验算调整后的总误差3.6.1 对于随机误差和未定系统误差，弱小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或者等于测量结果总标准差的 1/3-1/10。
3.7.1 选择最佳函数误差公式：选取包含直接测量值至少的公式。
3.7.2 使误差传递系数等于零或者为最小：由函数误差公式可知，若使各个测量值对函数的误差传递系数为f 2f 2f 2 1 1 1i <j i jtii1i <jt t 2)极限误差的合成： eta i e i 2ji2sa a e i e j ij i jisi 1tq零或者最小，则函数误差可相应减小。
4.1.1 测量不确定度定义：测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测值的真值在某个量值范 围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。