01数的整除(六年级精品)
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
六年级【小升初】小学数学专题课程《数的整除》(含答案)
4.数的整除知识要点梳理一、整除意义整数a除以整数b(b≠O)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。
整除的条件:1.除数、被除数都是整数。
2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数1.如果a×b=c(且a、b、c均为非0自然数)，那么我们说。
就是a与b的倍数，a与b就是。
的因数，因数和倍数是相互依存的。
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3.求一个数因数的方法:利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8 =4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法:这个数本身分别乘以1、2、3、4、5…(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。
三、常见数的倍数的特征2的倍数的特征:数的个位是0,2,4,6,8。
5的倍数的特征:数的个位是0,5。
3的倍数的特征:数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
9的倍数特征:数的各个数位上数字的和是9的倍数。
4或25倍数的特征:数的末两位数是4或25的倍数。
8或125的倍数特征:数的末三位数是8或125的倍数。
7、11、13倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是7、11或13的倍数。
11倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除，那么它必能被11整除。
四、质数、合数、分解质因数1.若一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数，也叫素数。
最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。
2.若一个数的因数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。
专题01数的整除(7大考点)-2022-2023学年六年级数学上学期期中期末考点大串讲(原卷版)
专题01数的整除（7大考点）【知识梳理+解题方法】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a.整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.5.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有因数；正整数素数：只有和两个因数；合数：除了和以外还有别的因一个它本身它数本身6. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩素因数：每个合数都可写成的形式，其中每个素数 都是这个合数的，叫这个合数合几个素数积因数式的素因数；数分解素因数分解素因数：把一个合数用表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法素因数相乘的；机算法.形 7. ⎧⎪→→⎨⎪⎩公有的因数最大的 定义:几个数，叫这几个数的公因数；其中公因数最大公因数叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除. 一个法8. 1⎧⎨⎩公因数1不一互素：指两个整数只有.这两个整数是素数.区别素数：只有和它本身因数；定两个9. 1.⎧⎪⎪⎪⎪⎪→→→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义：几个整数的，叫它们的公倍数；其中叫它们的最小公倍数；公倍数最小公倍数一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的公有的倍数最小的 个正整数. 一 10.重要结论：1.a b ab a b a b ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为 【专题过关】【考点1：整数和整除的意义】1（2020浦东南片十六校期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.2．（2019秋•虹口区期末）下列说法正确的是（ ）A ．所有合数都是偶数B ．两个相邻的正整数互素C ．所有的素数是奇数D ．因为10÷0.5＝20，所以10能被0.5整除3.（嘉定2019期中1）最小的自然数是 .4．（2018秋•杨浦区校级期中）由a ÷b ＝3（a ，b 为正整数），我们可以直接得出结论： 能被 整除（填字母）．5.（嘉定2019期中2）将4、0、5这三个数排成一个三位数，能被5整除的最大数是 .6.（2019松江九亭10月考3）如果三位数5BB 能同时被2、3整除，那么B 是__________。
数的整除(六年级)(人教版六年级教案设计)
数的整除（六年级）(人教版六年级教案设计)教学内容：数的整除复习(小学数学九年制义务教材第十册)．教学目标：1．掌握自然数的分类和关系，沟通知识间的联系，形成网络．2．理解概念并能正确运用概念．3．培养学生分析、判断、抽象概括的能力．教学重点：区别整除和除尽、互质和质数、分解质因数和求最大公约数、最小公倍数的不同．教学方法：边总结边练习(讲练结合)．教学过程：一、揭示课题，确定研究对象——自然数师：前面我们学习了数的整除知识(板书：数的整除)你知道的数有哪些？我们研究数的整除时，这里的数是指什么数？(板书：自然数)二、研究自然数的分类1．提问：自然数可以怎样分类？生：按照能否被2整除，可以把自然数分成奇数和偶数；按照约数的个数，可以把自然数分成：1、质数和合数．(板书：奇数偶数1 质数合数)2．提问：你能说说什么叫奇数、偶数？什么叫质数、合数？质数和合数有什么关系？(板书：分解质因数质因数)3．练习：判断对错(1)自然数可以分成质数和合数．( )(2)质数都是奇数，合数都是偶数．( )(3)两个质数的乘积一定是奇数．( )(4)把15分解质因数是3×5=15，3和5叫质因数．( )三、研究自然数的关系(一)整除关系1．提问：两个自然数之间会存在哪些关系？(板书：整除互质) 2．什么叫整除？(引出约数、倍数)(板书：约数倍数)它和除尽有什么区别？(板书：除尽)约数、倍数表示的是数吗？(板书：关系)公约数、公倍数表示什么？(板书：数)它们各有什么特点？(板书：最大公约数最小公倍数)3．练习：下面说法是否正确？(1)1.2÷4=3， 1.2能整除4．( )(2)6是倍数，3是约数．( )(3)约数的个数有限，倍数的个数无限．( )(二)互质关系1．什么叫互质？它和质数有什么区别？考虑下面各组中什么样的两个数间存在互质关系？2．判断练习：(1)两个数互质，这两个数一定是质数．( )(2)两个质数一定互质．( )(3)两个奇数一定不互质．( )(4)两个偶数一定不互质．( )(5)奇数和偶数一定不互质．( )(三)既不互质，又不整除的关系1．出示一组数：根据自然数间的关系，将下列一组数分类(1)13和26 (2)2和7 (3)4和21(4)45和3 (5)8和5 (6)14和42(7)12和15 (8)9和10 (9)30和48(10)12、18和24整除关系互质关系(1)13和26 (2)2和7 (7)12和15(4)45和3 (3)4和21 (9)30和48(6)14和42 (8)9和10 (10)12、18和24(5)8和5师：(指除整除关系、互质关系外的一组数)这类是什么关系？为什么？(板书：既不整除，又不互质)2．这类数的最大公约数、最小公倍数怎么求呢？(用什么方法？)3．练习：下列最大公约数、最小公倍数的求法是否正确？为什么？4．提问：用短除的方法可以分解质因数，也可以求最大公约数和最小公倍数．谁能说说分解质因数和求最大公约数、最小公倍数有什么区别？四、归纳总结：这节课你有什么收获？师：这节课我们对自然数进行了分类，找出了自然数的关系，即整除关系、互质关系、既不整除又不互质，并根据它们的关系求出最大公约数和最小公倍数．五、板书：文章来源网络整理，请自行参考编辑使用。
专题01数的整除(专项培优训练)(学生版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分评卷人得分一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是，最小的四位数是．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数）．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是：．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是平方厘米．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是．评卷人得分二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A．25和50 B．42和3 C．10和4 D．9和1.514．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A．3.6和1.2 B．35和8 C．27和3 D．13.4和216．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（）整除．A．10 B．12 C．16 D．18．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A．12和5 B．4.5和1.5 C．4和28 D．36和918．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2评卷人得分三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数3 5 7 11 19 2329 31 37 43 47 53 5967 71 73 79 83 89 ……23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝+ ，或者42＝+ ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝+ + + ．评卷人得分四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．。
数的整除复习精品PPT教学课件
数的整除复习
说说下面的数学概念: 约数、倍数、奇数、偶数、素数、合数
挑选以下一个或几个数学概念说一句话:
公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数、 质因数、分解质因数、互质数
脑筋急转弯，按要求找数:
1、在0、1、7.5、20、58中不是整数的。 2、在1、4、8、9、17、563中是偶数的。 3、在11、21、51、61、81、111中不能被3整除的。 4、在30、50、60、90、120中不能同时被2、3、5整除的。 5、在25、39、42、160、555中能同时被2、5整除的。
你能填吗？
1、在非零自然数中，最小的素数是（ ），素数中唯一的偶 数是（ ），既是合数，又是奇数的最小一位数是（ ），合数 中最小的一位数是（ ），既不是素数又不是合数的数是（ ）。
2、能被2、3、5整除的最小的三位数是（ ）。
3、10以内的所有素数的和是（ ）。
你说对不对？为什么？
1、非零自然数中，不是只有素数和合数。 2、最小a÷b=8，所以a一定是b的倍数。 5、把153分解质因数是：153=3×51 6、非零自然数中，不是奇数就是偶数。
一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在 要改为45米，如果起点的一根不动，再过多 远又有一根不动？
一堆桔子。如果按10个、9个、8个或7个一堆 分，都多1个，这堆桔子至少有多少个？
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演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
猜一猜，老师会提出什么问题？
1、2、5、8、11 4、16、27、28、32 2、11、13、21、23 100、19、36、9、4 7、14、21、25、49
上海市六年级数学第一章数的整除教案
上海市六年级数学第一章数的整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章《数的整除》第1节，内容包括：数的整除的定义、性质及判定方法，因数与倍数的关系，质数与合数的概念及其在数的整除中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握数的整除的定义，能够判断一个数是否能被另一个数整除。
2. 学会运用数的整除性质，解决实际问题，提高逻辑思维能力。
3. 掌握质数与合数的概念，并能运用其特性进行数的整除的判断。
三、教学难点与重点重点：数的整除的定义、性质及判定方法。
难点：质数与合数的概念及其在数的整除中的应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数的整除的概念，如：将36个苹果平均分给9个小朋友，每人分到几个苹果？2. 新课讲解：（1）数的整除的定义：如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
（2）数的整除性质：如果一个数能被另一个数整除，那么这个数一定能被这个数的因数整除。
（3）质数与合数：质数是只能被1和它本身整除的整数，合数是除了1和它本身，还能被其他整数整除的整数。
3. 例题讲解：（1）判断36是否能被9整除，如果能，请给出理由。
（2）找出20以内的质数和合数。
（2）找出30以内的质数和合数。
六、板书设计1. 数的整除的定义：a能被b整除，a为b的倍数，b为a的因数。
2. 数的整除性质：若a能被b整除，则a能被b的因数整除。
3. 质数与合数：质数：只能被1和它本身整除的整数。
合数：除了1和它本身，还能被其他整数整除的整数。
七、作业设计1. 作业题目：（2）找出40以内的质数和合数。
2. 答案：（1）16、24能被8整除。
（2）40以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41。
合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、39、40。
数的整除_精品文档
如果数a能被数b（b≠ 0）整除, a就叫做b的 倍数, b就叫做a的约数（或a 的约数）
因为15 ÷ 5＝ 3, 所以15是倍数, 5是约数（ ）×
约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3, 所以4.6是2的倍数, 2是4.6 的约数（×）
如果数a能被数b（b≠ 0）整除, a就叫做b的 倍数, b就叫做a的约数（或a 的约数）
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这 样的数叫做合数.
最少有3个约数
公约数只有1的两个数, 叫做互质数
互质数和质数之间有什么区别?
互质数讲的是两个数的关系,这两个数的 公约数只有1.
公约数只有1的两个数, 叫做互质数
互质数和质数之间有什么区别?
互质数讲的是两个数的关系,这两个数的 公约数只有1. 质数是对一个自然数而言的,它只有1和它 本身两个约数.
个位上是0或者5的数, 都能被5整除.
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除.
个位上是0、2、4、6.8的数，都能被2整除.
个位上是0或者5的数, 都能被5整除.
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除.
能被2整除的数叫做偶数. 不能被2整除的数叫做奇数.
能被2整除的数叫做偶数. 不能被2整除的数叫做奇数.
除尽
整除
整数a除以整数b（b≠ 0）, 除得的商正好是 整数而没有余数, 我们就说a 能被b整除（也可以 说b 能整除a ）
填空: 在12÷ 3＝ 4 4 ÷ 8＝ 0.5 2÷ 0.1＝ 20 3.2 ÷ 0.8＝ 4中，被除数能除尽除数的有（ 4）个， 被除数能整除除数的有（ 1 ）个，是（12÷ 3＝ 4 ）．
数的整除
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1第一章 数的整除一、知识框图：二、数的分类： 第一种： 树状图 韦恩图第二种：第三种：整数奇数偶数整数自然数负整数 零 正整数正奇数 正偶数整数正整数 素数 合数 12三、知识梳理第一节 整数和整除1.1整数和整除的意义1. 零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2. 整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数3. 整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。
如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除【基础巩固】1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。
2.最小的自然数是 。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。
4．除0以外的数都是自然数。
( )5. 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）6. 判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。
( )（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。
( )7. 填空:（1）45÷5= 9， ( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
（2）一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
（3）一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。
1.2因数和倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：（1）因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
（2）因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
32.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。
若用n表示所有的正整数，则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n【基础巩固】1. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（）A． <0 B. =0 C. >0 D. 不等于02. 会求一个数的因数：如求105的因数:__________________3. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）:_________________4. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是。
5. 判断：任何一个正整数至少有两个因数。
( )6．判断：因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是因数.（）7．判断：因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6的因数。
（）41.3能被2、5整除的数2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
3的倍数特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
8的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
9的倍数特征：一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0能同时被2,3，5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来,这是大家在约分中容易忽略的.奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)。
不能被2整除的数叫做奇数(odd number)。
0也是偶数。
整数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
注意点：（1）奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、8（2）在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数（3）相邻的奇数或偶数数字相差2，奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。
5（4）奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积。
【基础巩固】1. 如果连续三个偶数之和是42，那么这三个数是（）2. 三个连续的偶数中,最大的是a，最小的是 ( )3．填空:在12，15，18，24，25，30，45，90，34，21中，2的倍数有（），3的倍数有（），5的倍数有（），有因数2，3的数有（），有因数2，3，5的数有（）。
4．在下列数的□内填上适当的数字，使这个数能同时被2，3，5整除。
63□ 7 □4 □5．小博士的QQ号码是一个八位数,中间的6个数字正好是123456,并且它正好是72的倍数,你能计算出他的QQ号码是多少?6．有这样一类自然数,它们的各个数位上的数字都是1,并且它正好是21的倍数,这类自然数中,最小的一个是几?7. 有这样一类自然数,它们的各个数位上的数字都是4,并且它正好是9的倍数,这类自然数中,最小的一个是几?68. 自然数A由两种数字3和5组成,而且能被15整除,A最小是几?9. 在三位数中能被3和5整除的最小偶数是几,最大奇数是几?10. 一个六位数42a13b能被72整除,这个六位数是多少?【拓展提高】1．从0,1,2,4,7这五个数字中，任意取出三个组成不同的三位数，其中能被3整除的三位数有多少个？2．从0,3,4,6这四个数字中，任意取出三个组成不同的三位数，其中能被6整除的三位数有多少个？3．在前100个自然数中，各位数字之和能被7整除的数有多少个？74．在不大于500的自然数中，不能被11或7整除的数共有多少个？5．将三位数253连续写10次，组成一个30位数，这个数能被13整除吗？6．有一类自然数，它们由两种数字9与4组成，并且是12的倍数，这类自然数中，最小的一个除以12的商是几？7．四位数6AB4是18的倍数，其中A,B分别代表不同的数字，符合条件的所有四位数8．一个五位数，各个数位上的数字互不相同，他能被3,5,7整除，求这样的数中最大的一个？9. 某个六位数2002ab,能被55整除,求这个数10．在三位数169后面再加上三个数字,使得到的六位数能被519整除,这个六位数是几?811．有一类四位数,他们能被3,5,11整除.这类四位数中最大的一个是几?12．在三位数258后面再加上三个数字,使得到的六位数能分别被7,11,13整除,这个六位数是几?13．老师在黑板上写了一些数字:1678135 18375 264264 438168 5005你能找出哪些数能同时被7,11,13整除吗？14．一个四位数减去它的各位数字的和得到20□3，□中的数字是几？第二节分解质因数1.4素数、合数与分解素因数1.素数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
熟记20以内的全部素数。
92．合数定义：如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
例如 4、6、8、9、12都是合数注意点：（1）素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除1外）都有1和它本身两个因数。
（2）1既不是素数也不是合数。
（3）最小的素数是2，最小的合数是43. 素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。
√（1既不是素数也不是合数，9、15等是奇数但是合数）所有素数都是奇数。
×（2是素数，但2是偶数）4. 合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。
√（9、15等都是合数，但它们是奇数）偶数都是合数。
×（2是偶数但2是素数）注意:判断题对的要说明原因，错的要举出反例。
5. 素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注意：（1）求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。
如24=2×2×2×3，则素因数是2、2、2、3，而不是2、3（2）因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。
一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。
6. 分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.10要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。