上海市高二上学期数学期末考试试卷含答案
第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144； 【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)． 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案． 【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（ ） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（ ） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？ 【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
上海重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【答案】必要不充分【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.2．已知向量，则向量的坐标为______．()()()3,5,1,2,1,3,1,1,2a b c =-==-- 4a b c -+ 【答案】 ()5,012-，【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.【详解】由题意可知，. ()()()()435121341,125012a b c -+=--+--=- ，，，，，，，故答案为： ()5,012-，3．已知球的体积是，则该球的半径为______． 9π2【答案】## 32 1.5【分析】根据球的体积公式，代入就可求得半径. 34π3V R =【详解】设球的半径为R ,根据球的体积公式,即，解得. 34π9π32V R ==3278R =32R =故答案为：. 324．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为______．【答案】##0.8 45【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况：，()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6，共有15种情况，()()()4,5,4,6,5,6其中数字之积是2的倍数的情况有，()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,6,4,5,4,6,5,6共12种情况，故概率为. 124155=故答案为： 455．用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为______．【答案】16【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，， a O C a ''=1122O A OA a ''==高， 1sin 452A D O A a '=''==∴对应直观图的面积为，故原正方形的面积为16，2a 216a =故答案为:16．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该3cm 2cm 3cm 圆柱的体积为______．3cm 【答案】12π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为，母线长为，2cm r =3cm l =所以该圆柱的体积为2π12πV r l ==3cm 故答案为：．12π7．棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是______．【答案】【分析】设正四面体的顶点在平面中的投影为点，进而得是侧棱与底面所P ABC O PCO ∠PC ABC 成角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，设正四面体的顶点在平面中的投影为点，P ABC O 所以，由正四面体的性质可知，平面，且为等边三角形的中心，OP ⊥ABC O ABC 所以，是侧棱与底面所成角，且是等边三角形的边的中线，PCO ∠PC ABC OC ABC AB 因为正四面体的棱长为，-P ABC 2所以，OC=OP ==所以，在中，，Rt POC △tan OPPCO OC ∠==所以，侧棱与底面所成角的大小是故答案为：8．圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为______． 2π3【答案】27π【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：2π36π⨯=2π3.则扇形面积即圆锥侧面积为：. 6923ππ=21292723ππ⨯⨯=故答案为：27π9．正三棱锥底面边长为4，则二面角的大小为______．-P ABC P BC A --【答案】【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.P BCA --PMA ∠【详解】取的中点，连接，BC M ,PM AM ∵，则，4,PB PC PA AB AC BC ======,PM BC AM BC ⊥⊥故二面角的平面角为，P BC A --PMA ∠由题意可得：，3,4PM AM PA ===∵，且， 222cos 2PM AM PA PMA PA AM +-∠==⋅[]0,πPMA ∠∈故二面角的大小为P BC A --故答案为：10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆雉母线在圆台中的1:4部分）长为9，则原圆锥的母线长______．【答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 14CD AB =//,9CD AB BD =设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， l 914CD ED l AB EB l -===12l =即原圆锥的母线长为.12故答案为：.1211．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中a 1111ABCD A B C D -M N ABCD 11BB C C 心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．A M N2【分析】连接AC ，, ,找到过点A 、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面1B C 1AB M N 边长，即可求得答案.【详解】如图连接AC ，则AC 过点M ,连接,则经过点N ,连接,1B C 1B C 1AB则过点A 、、的平面截正方体的截面为等边，M N 1ACB A 因为正方体棱长为，故， a 1ACBA22)= 212．设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．128,,,x x x ⋅⋅⋅12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【答案】54【分析】设的平均数为，结合的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得128,,,x x x ⋅⋅⋅x 128,,,x x x ⋅⋅⋅到的平均数和方差.12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【详解】设的平均数为，则，且128,,,x x x ⋅⋅⋅x 1288x x x x ⋅⋅+++=⋅，()()()2122288648x x x x x x ⋅⋅⋅-+-+-+=⨯=故的平均数为， 12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+()128128383131313188x x x x x x x +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=++=+方差为()()()8212223131313131318x x x x x x +--++--+⋅⋅⋅++--. ()()()22228194854898x x x x x x ⎡⎤⋅⋅⋅+⎢=-⎦+-+-⎥⨯⎣==故答案为：54二、单选题13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）l r αn l α∥A ．B ． ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,2,3,0,3,2r n =-=C ．D ． ()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()1,3,5,1,0,1r n ==-【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.l α∥l r αn r ⋅n 0=【详解】若，则；l α∥r ⋅n 0=对于A ：，，故A 错误； ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,0,01,0,010r n ⋅-=⋅=-≠ 对于B ：，，故B 正确；()()1,2,3,0,3,2r n =-= ()()1,2,30,3,20r n =-⋅⋅= 对于C ：，，故C 错误；()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()0,1,11,0,110r n -⋅⋅-==-≠ 对于D ：，，故D 错误；()()1,3,5,1,0,1r n ==- ()()1,3,51,0,140r n =⋅-⋅=-≠ 故选：B.14．下列命题中真命题是（ ）A ．四边形一定是平面图形B ．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C ．四边形四边上的中点可以确定一个平面D ．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面A B C ∈αA B C ∈βαβ【答案】C【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．【详解】对于A ，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A 错误；对于B ，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B 错误；对于C ，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C 正确；下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，ABCD E F G H AD AB BC CD 连接，，，BD FE GH 由，为，，则，且，同理，且， E F AD AB FE BD ∥1=2FE BD GH BD ∥1=2GH BD 所以，且，所以四边形为平行四边形．FE GH A =FE GH EFGH对于D ，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D 错误．A B C αβ故选：C ．15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．B ．C ．D ． 7105838310【答案】B 【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B. 40155408-=【解析】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．16．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A 正确；0.020.040.066%+==该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B 正确；0.040.0230.1010%+⨯==该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D 正确；0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. ⨯频率组距组距三、解答题17．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表：高一 高二 高三 男生（人数）149 x y 女生（人数）143 130z已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16(1)求的值；x (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名?【答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案.（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知. 0.16,128800x x =∴=（2）高三年级人数为，800(149143)(128130)250-+-+=故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 2503210800⨯=18．甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为： 甲乙 1 10 3 33 3 6 7 7 9 92 23 6 68 8 8 8 9如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．【答案】选择甲，理由见解析【分析】分别求出，和，，然后比较大小即可求解. x 甲x 乙2S 甲2S 乙【详解】依题意，， 888893939697979910129493x ++++++++==甲， 8889929293969610310329493x ++++++++==乙 2222212222889488949394939493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣甲 222222222296949794979499941019416633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦2222212222889489949294929493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣乙， 2222222222939496949694103941039423633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦所以，.x x =甲乙22S S <甲乙所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.19．三棱锥中，，分别为，中点，，A BCD -O E BD BC 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求证：平面；AO ⊥BCD (2)求异面直线与所成角的大小．AB CD 【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； OC AO BD ⊥AO OC ⊥（2）取的中点M ，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，AC OM ME OE 、、AB CD 解三角形，即可求得答案.【详解】（1）连接，∵ O 为的中点， OC AB AD ==BD∴，,且, AO BD ⊥112OD BD ==1AO ===又，O 为的中点，2CA CB CD BD ====BD∴，且，CO BD ⊥CO ===在中，，AOC A 2224AO CO AC =+=∴，即，=90AOC ∠︒AO OC ⊥又平面，,,OC BD O OC BD =⊂ BCD ∴平面.AO ⊥BCD （2）取的中点M ，连接， AC OM ME OE 、、由E 为的中点，知，BC ,ME AB OE DC ∥∥∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，OE EM AB CD 在中，，， OMEV 12EM AB ==112OE DC ==由平面，平面,所以,AO ⊥BCD OC ⊂BCD AO OC ⊥∵是直角三角形斜边上的中线，∴, OM AOC 112OM AC ==在中，由余弦定理可得：OEM △222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠=⋅==由于异面直线所成角的范围为， π(0,2所以异面直线与所成角的大小为. AB CD 20．如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，1111ABCD A B C D -112AA =E 1CC 且().1=CE CC λ 0λ>（1）当时，求三棱锥的体积； 1=2λ1D EBC -（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值. BE 1D C 2arccos 3λ【答案】(1) (2) 16λ=【详解】试题分析：（1）正四棱柱中，平面，可得1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC；（2）以为原点，射线、、作轴、11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=D DA DC 1DD x y 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹z ()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 角余弦公式列方程求解即可.试题解析：（1）由，得， 又正四棱柱，则平面， 11=2CE CC 1CE =1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC 则 . 11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如D DA DC 1DD x y z 图），则，，，，()1,1,0B ()0,1,2E λ()10,0,2D ()0,1,0C 即，()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 又异面直线与所成角的大小为， BE 1D C2arccos 3则23化简整理得，又，即. 2165λ=0λ>λ=【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一Rt AOB △2OA OB ==C OB AOB A BO 周．设逆时针旋转至，旋转角为，．OA OD θ[)0,2θ∈π(1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；ABC A V S (2)当时，求点到平面的距离； π3θ=O ABD (3)若，求旋转角．AC BD ⊥θ【答案】(1)， . 4π3V =S =+(3)或. 2π3θ=4π3θ=【分析】(1) 旋转体的体积为圆锥与圆锥的体积之差; 表面积为圆锥与圆锥的侧面BO CO S BO CO 积之和;(2)三棱锥与三棱锥体积相等,使用等积转化法求点到平面的距离；B AOD -O ABD -O ABD (3) 取中点,连接,得,在求得,在中由余弦定理得OD E ,CE AE AC CE ⊥Rt ACE A AE AOE △cos AOE ∠,从而求得旋转角．θ【详解】（1）设底面半径为,圆锥底面面积为,底面周长, 母线R BO 2π4πS R '==4πL =.AB ==圆锥的体积，侧面积. BO 1118π4π2333V S BO '=⋅=⨯⨯=14π22L S AB =⨯=⨯=圆锥的体积 ，CO 1114π4π1333V S CO '=⋅=⨯⨯=AC ==. 24π22L S AC =⨯==旋转一周所得旋转体的体积. ABC A 124π3V V V =-=旋转一周所得旋转体表面积.ABC A 12S S S =+=+（2）,π,3OA OD AD θ=∴== 2AOD S R ∴=A, ∴11233B AOD AOD V S OB -=⋅==A 在中,连接,取的中点,连接, ABD △AD AD M BM,, 2BA BD AD ===BM ===所以11222ABD S AD BM =⋅⋅=⨯=A 设点到平面的距离为，O ABD h，13O ABD ABD B AOD V S h V --∴=⋅=A 13h ∴=h ∴=即点到平面O ABD （3）取中点,连接, OD E ,CE AE, 1//,2CE BD CE BD ∴==,,AC BD AC CE ⊥∴⊥在中,Rt ACE A AC CE ==AE ∴=在中,由余弦定理得, AOE △2,1,OA OE AE ==2224171cos 22212OA OE AE AOE OA OE +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯，， ()0,AOE ∈π∠ 2π3AOE ∴∠=,或. [)0,2θπ∈ 2π3θ∴=4π3θ=。
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，
由切线长定理可得 AM AN ， F1M F1G ， F2G F2N ，
所以， AF2 F1F2 AF1 AN F2N F1G F2G AM F1M
F2N F2G 2 F2G 2c 2a ，则 F2G c a ，所以点 G 的横坐标为 c c a a .
n
a1
1 2
2a1 d
d
0，
与已知 Sn 0 恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以 d 0 .
所以an 是严格增数列，故②正确； 对于③，设数列an 公比为 q ，则由已知可得 a1 0 ， q 1.
所以
S2023
a2023
a1
1 q2023 1 q
a1q2022
a12q2022
【详解】对于①，设 an 公差为d ，则 an1 an d ，
an1
2 2 2 则
an1 an
d
2an
个常数，所以 2an 为等比数列，故①正确；
是 对于②，设d 0，显然有a1 0.
则当 n 2a1 1时，有 n 1 2a1 ，
d
d
有
Sn
na1
nn 1ห้องสมุดไป่ตู้
2
d
n
a1
n 1d 2
0 3
0
即可得出答案.
【详解】将直线方程 2x my 3m 0 化为 2x m y 3 0 .
x 0
x 0
解
y
3
0
，可得
y
3
，
所以，当 m 变动时，所有直线都通过定点 0, 3 .
故答案为： 0, 3 .
2. 已知直线 l1 ： x 2y 3 0 ， l2 ： x ay 1 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为______.
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______． 【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2 ABC ∴圆锥的高，2AO ==底面半径.1212r =⨯=∴这个圆锥的表面积：.221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=故答案为．3π【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知数列是等差数列，，，则这个数列的公差_________. {}n a 920a =209a =d =【答案】1-【分析】根据等差数列通项公式直接计算.【详解】由等差数列得，91201820199a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得，1281a d =⎧⎨=-⎩故答案为：.1-3．设，则方程的解集为______.()2xf x =()ln 4f x '=【答案】##{|1}x x ={1}【分析】解方程即得解.2ln 2ln 4x =【详解】解：由题得. 2ln 2ln 4,2ln 22ln 2,22,1x x x x =∴=∴=∴=所以方程的解集为. {|1}x x =故答案为：{|1}x x =4．的展开式中的系数为_______．252()x x+4x 【答案】40【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数． 10352r r rC x -r 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 2510355()()22r r r r r rC x C xx--=所以 ，解得1034r -=2r =所以系数225240C ⨯=故答案为：40【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．5．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________人． 【答案】12【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解．【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为．120301280100120⨯=++故答案为：12．6．从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排742人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）. 1【答案】420【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天742均安排人，且人员不重复，1由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为.211754C C C 2154420=⨯⨯=故答案为：.4207．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则A B ()0.36P AB =()0.6P A =A A __________()P B =【答案】0.9【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值. ()P A ()P B 【详解】由对立事件的概率公式可得， ()()10.6P A P A =-=由独立事件的概率乘法公式可得，因此，. ()()()P AB P A P B =()()()0.9P AB P B P A ==故答案为：.0.98．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则______. {}n a n n S *N n ∈1n n S a +=-6a =【答案】 164-【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数112n n a a -={}n a 112a =-12列，利用等比数列的通项即可求解.【详解】因为对任意的，均有，则有， *N n ∈1n n S a +=-1n n S a =--当时，，所以；1n =1111a S a ==--112a =-当时，，也即， 2n ≥1111n n n n n a S S a a --=-=--++112n n a a -=因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，112a =-{}n a 112a =-12所以，则，1111((22n n n a a -=⋅=-6164a =-故答案为：. 164-9．由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共______个（结果用数字表示）． 【答案】60【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有种，23233236C A A =四位数有0时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以有种，故满足题意的共有60个；2211222324A A C C =故答案为：60.10．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，a ，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.b c 9a =a b c【答案】32【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【详解】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.11．已知矩形的周长为6，则将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为ABCD AB ______． 【答案】4π【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可. 【详解】设，则，()03BC x x =<<3AB x =-所以将周长为6的矩形绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为 ABCD AB .则，()()()()223π3π3,03V x x x x x x =-=-<<()()2π63V x x x '=-令，即，解得（舍）或.()0V x '=()2π630x x-=0x =2x =当时，； 02x <<()0V x '>当时，.23x <<()0V x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()V x ()0,2()2,3所以当，即，时，取得最大值为2x =2BC =1AB =()V x()()()23max 2π3224πV x V ==⨯-=所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为. AB 4π故答案为：.4π12．已知，则723456701234567(21)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++______________.1234567234567a a a a a a a ++++++=【答案】10206【分析】对已知关系式两边同时求导，可得，再根据的展开式的各项126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++614(21)x +系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可. 614(21)x -【详解】对已知关系式两边同时求导，可得，126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++因为的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等， 614(21)x +614(21)x -所以. ()612345672345671421110206a a a a a a a ++++++=⨯+=故答案为：10206.二、单选题13．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 【解析】频率分布直方图.14．函数可导，“函数在点处的导数值为0”是“函数在点()y f x =()y f x =()00,x y ()y f x =()00,x y 处取极值”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果. 【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.对于函数，，虽然，但是由于无论还是，恒有，()3f x x =()23f x x '=()00f '=0x >0x <()0f x ¢>即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.()3f x x =()3f x x =一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在该点处取极值的必要条件，而非充()y f x =()y f x =分条件. 故选：B.15．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ） 11(2)x y z ++A ．72项 B ．75项 C ．78项 D ．81项【答案】C【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即. 213C 78=故选：C16．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓c t ()c f t =度随时间变化的关系如下图所示．t给出下列四个结论：① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； 1t ② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；2t ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； 23[,]t t ④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 1223[,],[,]t t t t 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①③【答案】D【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．()()f t t f t t+-A A 【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正1t 确；对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药2t 2()f t '物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为2[t 3]t ，即③正确； 3232()()f t f t t t --对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和1[t 2]t 2[t 3]t 2121()()f t f t t t --，显然不相同，即④错误． 3232()()f t f t t t --故正确的只有①③； 故选：D ．三、解答题17．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．【答案】(1)3位；第75百分位数是30 (2) 911920【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率.【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位2675%19.5⨯=球员的年龄是30；（2）11名球员没有年龄不小于30的概率, 11191126C 9C 920P ==所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率. 99111920920P =-=18．在直三棱柱中，，，，D 是AB 的中点．111ABC A B C -3AC =4BC =15AAAB ==(1)求三棱锥的体积； 1D BCB -(2)求证：∥平面；1AC 1CDB (3)求三棱柱的外接球的表面积． 111ABC A B C -【答案】(1)5；(2)详见解析； (3). 50π【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； AC BC ⊥（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；1B C 1BC E 1//AC DE （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用111ABC A B C -1,,CC CA CB 长方体的性质即得.【详解】（1）因为，，， 3AC =4BC =15AA AB ==所以，即，又D 是AB 的中点，222AC BC AB +=AC BC ⊥所以；111111134522325D BCB B DBC ABC B V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=（2）设与相交于点，连接，1B C 1BC E ED在中，为的中点，为的中点， 1C AB △D AB E 1C B 所以，1//AC DE 因为平面，平面， 1AC ⊄1CDB DE ⊂1CDB 所以平面；1//AC 1CDB （3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，111ABC A B C -1,,CC CA CB 所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 111ABC A B C -1,,CC CA CB 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 111ABC A B C -R ()2222234550R =++=即，2450R =所以三棱柱的外接球的表面积为. 111ABC A B C -24π50πR =19．已知数列满足，.{}n a 11a =134(2)n n a a n -=+≥(1)求证：数列是等比数列； {}2n a +(2)求数列的通项公式；{}n a (3)写出的具体展开式，并求其值.5211i i a -=∑【答案】(1)证明见解析；(2)；32nn a =-(3).1138388-【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列； 123(2)n n a a -+=+{}2n a +（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；23nn a +={}n a （3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可5211i i a -=∑n a n 5211i i a -=∑得答案.【详解】（1），等式两边同时加上2， 134(2)n n a a n -=+≥得，又， 123(2)n n a a -+=+11a = 123a +=则为首项是3，公比的等比数列{}2n a +3q =（2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列， {}2n a +3q =，故.23n n a ∴+=32n n a =-（3）521135791i i a a a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-20．已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求： (1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率； (2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率； (3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率． 【答案】(1)0.21； (2)0.44； (3)0.94.【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；0.60.70.50.21⨯⨯=（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）设事件：甲投篮命中;A 事件：乙投篮命中;B 事件：丙投篮命中.C 甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率.()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.（2）设事件:恰有两人命中.D 所以()(P D P ABC ABC ABC =++(()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.40.70.50.60.30.50.60.70.50.44=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.（3）设事件:至少有一人命中.E 所以()1(10.40.30.510.060.94P E P ABC =-=-⨯⨯=-=所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.21．已知， 21()ln (1)()2f x x a x ax a =-++∈R (1)当时，求函数在点处的切线方程；0a =()y f x =(1,(1))f (2)当时，求函数的单调区间；(0,1]a ∈()y f x =(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．0a =()(2)f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦m 【答案】(1)10y +=(2)答案见解析(3) 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）求导，分类讨论求单调区间；（3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦()ln x g x x =的单调性，数形结合分析运算.()g x 【详解】（1）当时，则，可得， 0a =()ln f x x x =-()11f x x '=-故，()()11,10f f '=-=即切点坐标为，切线斜率，()1,1-0k =故函数在点处的切线方程为．()y f x =()()1,1f 10y +=（2）由题意可知：函数定义域为，且， ()0,∞+()()()()1111ax x f x a ax x x -+'-=-+=注意到，令，解得或， (0,1]a ∈()0f x '=11x a =≥1x =①当，即时，与在上的变化情况如下 11a >01a <<()f x ()f x '()0,∞+ x()0,1 1 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x '+ 0 -0+ ()f x 单调递增 极大值 ()1f 单调递减 极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； ()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，在定义域内恒成立， 1a =()2(1)0x f x x-'=≥所以函数的单调递增区间为；()y f x =()0,∞+综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为01a <<()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当时，函数的单调递增区间为．1a =()0,∞+（3）当时，则，0a =()ln f x x x =-因为方程在区间内有唯一实数解，()()2f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦即，整理得， ()ln 2x x m x -=-ln 1x m x-=原题意等价于在区间内有唯一实数解， ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦设，则， ()ln x g x x =()221ln 1ln x x x x g x x x ⋅--=='注意到，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦当时，；当时，；[]1,e x ∈()0g x '>(2e,e x ⎤∈⎦()0g x '<故在上单调递增，在上单调递减， ()g x []1,e (2e,e ⎤⎦且， ()()()221210,e ,e e e g g g ===则在上的图像如图所示， ()ln x g xx=21,e ⎡⎤⎣⎦若在区间内的唯一实数解，则或， ln 1x m x -=21,e ⎡⎤⎣⎦11e m -=2210,e m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭解得或， 11e m =+221,1e m ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭故实数的取值范围． m 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．。
上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共5套)
上海市高二第一学期期末考试数学试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1、计算=-+ii11 。
（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。
3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线y x m =+被圆221x y +=，则m =_______________。
5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。
6、椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为 。
7、以抛物线x y 162=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以()1,3-=p、()1,3=q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S 。
9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[,]44p pa ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或34k ?；③如果实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，那么yx的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。
10、如图2，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为 。
上海名校高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．与的等差中项是____________________． 327【答案】15【分析】利用等差中项的定义即得解. 【详解】3与27的等差中项为：． 327152+=故答案为：15．2．已知等差数列满足，则公差__________; {}n a 371,5a a ==d =【答案】1【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得 73441d a a d ==⇒=-故答案为：13．在等比数列中，若，则__________; {}n a 131,9a a ==5a =【答案】81【分析】由等比中项即可求解.【详解】由等比中项可得， 3315522181a a a a a a =⇒==故答案为：814．计算:__________;114ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】13【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可.【详解】因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 1114414n n+⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭14n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭1414所以.1111414314ii +∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭-∑故答案为：.135．有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须排在一起的排法共有________种.（用具体数字回答） 【答案】720【分析】根据相邻问题捆绑法即可由分步乘法计数原理求解.【详解】第一步：利用捆绑法把3名老师看做一个整体与学生全排列，则有,55A 120=第二步：解绑，3位老师之间的顺序为，33A 6=由乘法计数原理可得，5353A A 1206720=⨯=故答案为：7206．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数l (1,2,1)d =-α(,4,2)n x =- //l α_______．x =【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值.x 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，//l αl α即，解得：.(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=10x =故答案为：107．若的二项展开式中的常数项为，则实数a =___________.62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭160-【答案】1-【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a 即可.662162rr r r r T a C x --+=⋅【详解】由题设，二项式展开式通项为， 6662166(2)(2rrr r r r r r aT C x a C x x---+==⋅∴当，常数项为，可得.3r =333362160160a C a ⋅==-1a =-故答案为：.1-8．已知若三向量共面，则实数______．(1,1,3),(1,4,2),(1,5,),a b c x =-=--= ,,a b cx =【答案】5【分析】利用空间向量共面定理即可求解.【详解】因为三向量共面，所以，,,a b ca b c λμ=+ 即(1,1,3)(1,4,2)(1,5,),x λμ-=--+所以，解得，145123x λμλμλμ-+=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩23135x λμ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩故答案为:5.9．用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等(31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈1n k =+式左边与时的等式左边的差等于___. n k =【答案】3k+2【详解】试题分析：当时，等式的左边为，当时，等式的n k =(1)(2)()k k k k ++++++ 1n k =+左边为，所以当时等式左边与时的等式左(2)(3)(1)(11)k k k k k k +++++++++++1n k =+n k =边的差等于. (1)(11)(1)32k k k k k k ++++++-+=+【解析】数学归纳法.10．对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，{}n a {}()11121,,,,N,1n n n a a a a a a n n +=-∈∈≥ {}n a 的最大值为，最小值为，则__________;10a a b a b -=【答案】502【分析】先根据求，，观察规律可得，进而可得答案. 1a 2a 34,a a ,a b 【详解】因为，所以，即， 11a ={}211a a a -∈211a a -=所以；22a =，所以或，即或； {}3212,a a a a -∈321a a -=322a a -=33a =34a =，所以或或或，{}43123,,a a a a a -∈431a a -=432a a -=433a a -=434a a -=即或或或或；44a =45a =46a =47a =48a =以此类推，可得的最小值为，的最大值， 10a 10b =10a 92512a ==所以. 51210502a b -=-=故答案为：50211．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为L n 、n__________;【答案】1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周n 长，从而可求出周长.【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个13图形的边长又是第2个图形边长的，……，13所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，13所以第个图形的边长为，n 1113n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭由图可知，各个图形的边数,构成首项为3，公比为4的等比数列，所以第个图形的边数为，n 134n n b -=⨯所以第个图形的周长为，n 1433n n n a b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭故答案为：1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭12．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ P A B B A 中最大的数，则不同的和共有__________个组合. A B 【答案】1221n n n --+【分析】先分析集合A ,分别有多少种选择方法，根据分步计数原理相乘，再对、求和即可求B l k 得结果.【详解】设A 中最大的数为，中最大的数为，依题意有.k B l 1k l n ≤<≤记，，.因为中最小的数大于A 中最{}1,2,,1M k =- {}1,2,,1S k k l =++- {}1,2,,N l l n =++ B 大的数，所以A 中其它元素只能取自集合，有种选择方{}1,2,,1M k =- 0111111C C C 2k k k k k -----+++=法；中其它元素只能取自集合，有种选择方法；B {}1,2,,N l l n =++ 01C C C 2n l n ln l n l n l -----+++= 内的数既不属于A 也不属于.根据分步计数原理，集合A ，的选择方法有{}1,2,,1S k k l =++- B B 种. 因为，所以满足题目条件的所有集合A ，的选择方法种数为122k n l --⋅1k l n ≤<≤B ()1122k n l k l n--≤<≤⋅∑()111122n nk n lk l k ---==+=⋅∑∑()11121212k n k n k ---=-=-∑()111221n k n kk ---==-∑()111122n n k k ---==-∑. 1112(1)212n n n ---=---11(1)221n n n --=--+1221n n n -=-+【点睛】本题求解的关键是：把集合分成三部分，利用分步计数原理求出集合A ,B 的选择方法，利用等比数列的求和公式求和，综合了集合子集，数列求和，计数原理三模块的知识.二、单选题13．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3）a b c d ,,,2222,,,a b c d ,,ab bc cd ，必成等比数列的个数为（ ） ,,a b b c c d ---A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子a b c d ,,,q 1q ≠进行判断.【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， a b c d ,,,q a b c d ,,,b c dq a b c===，故成等比数列，且公比为， 2222222b c d q a b c ===2222,,,a b c d 2q 因此成等比数列，且公比为， 22,,bc c cd d q q ab a bc b====,,ab bc cd 2q ，当时，成等比数列，且公比为，()()()()21,11,1a b a q b c b q aq q c d aq q -=--=-=--=-1q ≠q 但当时，不是等比数列， 1q =故选：C14．设等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 19290,0a a a a +>+<A ．且 B ．且 90S >100S >90S <100S >C ．且 D ．且90S >100S <90S <100S <【答案】C【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.9S 10S 【详解】因为，所以， 190a a +>()1999=02a a S +>因为，所以，290a a +<()()11029101010022a a a a S ++==<故选：C.15．设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的12345,,,,A A A A A 123450MA MA MA MA MA ++++=点的个数为（ ） M A ．0 B ．1C ．5D ．10【答案】B【详解】【解析】向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量， 123450MA MA MA MA MA ++++=当A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点确定以后， 在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量， 故选B ．16．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等{}n a 3382022a =k 1a 338k a a ,比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ） d A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】利用等差数列的通项表示出的关系式，结合,成等比数列，分类讨论可得答1,a d 1a 338k a a ,案.【详解】根据题意可知，，化简可得， 33813372022a a d =+=16337a d +=因为各项均为正整数，则， {}n a N d ∈故是337的倍数，且，1a 16337a ≤⨯因为，成等比数列，所以，1a 338k a a ,222223381202232337k a a a ===⨯⨯则 ， 又因为， 222132337k a a ⨯⨯=1(1)=+-k a a k d分为以下情况讨论：① 若，则，可得，1337a =16d +=5d =，解得，合乎题意；3375(1)36337k a k =+-=⨯2360k =②若，则，可得，12337a =⨯26d +=4d =，解得，合乎题意；23374(1)18337k k a =⨯+-=⨯1349k =③ 若，则，可得，13337a =⨯36d +=3d =，解得，合乎题意；33373(1)12337k k a =⨯+-=⨯1012k =④若，则，可得， 14337a =⨯46d +=2d =，解得，不合乎题意； 43372(1)9337k a k =⨯+-=⨯16872k =⑤若，则，可得，15337a =⨯56d +=1d =此时不是整数，不合题意；222323375337k a ⨯⨯=⨯⑥若，则，可得，此时是常数列，且每一项均为，合乎题意； 16337a =⨯66d +=0d ={}n a 2022综上所述，公差的所有可能取值的个数为. d 4故选：C.三、解答题17．已知数列是公差大于零的等差数列，且，求数列的通项公式以{}n a d 34346,8a a a a +=-⋅={}n a 及前项和.n n S 【答案】，210n a n =-29n S n n =-【分析】通过联立方程组解得和的值，求出首项和公差，通过等差数列的通项公式和前3a 4a 1a d n 项和公式，求出数列的通项公式以及前项和{}n a n n S 【详解】依题意，，解得或，公差大于零，343468a a a a +=-⎧⎨⋅=⎩3424a a =-⎧⎨=-⎩3442a a =-⎧⎨=-⎩ d ∴43a a >（舍去），，，， 3424a a =-⎧⎨=-⎩∴3442a a =-⎧⎨=-⎩∴432d a a =-=1324228a a d ∴=-=--⨯=-， ∴1(1)8(1)2210n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， ∴21()(8210)922n n n a a n n S n n +-+-===-数列的通项公式； ∴{}n a 210n a n =-数列的前项和.∴{}n a n 29n S n n =-18．如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法1111ABCD A B C D -,E F 111,AA A B （建系如图）.求解下列问题:(1)求异面直线与所成角的大小; EF 1BC (2)求到平面的距离. E 1BC D 【答案】(1) 60︒【分析】（1）根据题意得到各点的坐标，从而得到与，再利用空间向量夹角的余弦表示即EF 1BC可得解；（2）先求得与平面的一个法向量，再利用点到平面距离的向量解法即可得解.DE1BC D 【详解】（1）根据题意，得，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()0,2,0C ()2,2,0B ()10,0,2D ()10,2,2C ，，()2,0,1E ()2,1,2F.则，， ()0,1,1EF = ()12,0,2BC =- 设异面直线与所成的角为，则，EF 1BC α090α︒<≤︒所以，则，1111cos cos ,2EF BC EF BC EF BC α⋅====60α=︒所以异面直线与所成的角为.EF 1BC 60︒（2）由（1）得，，，()2,0,1DE = ()2,2,0DB =()12,0,2BC =- 设是平面的一个法向量，则，即，(),,n x y z = 1BC D 100n DB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220220x y x z +=⎧⎨-+=⎩取，则，故，1x =1,1y z =-=()1,1,1n =-所以点E 到平面的距离为1BC D DE n n ⋅==19．已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和. {}n a 116n S n (1)若公比为2，求满足的最小正整数; 15128n S >n (2)若，设，求数列的前项和的最小值. 325416S S =-()log 1n a n b a a =>{}n b n n T 【答案】(1) 2(2) 210log a -【分析】（1）根据首项和公比，写出的公式，再解不等式即可； n S 15128n S >（2）根据，代入首项即可求得公比，进而求得的通项公式，根据等差数列的定义325416S S =-{}n b 可证明为等差数列，进而求得，化简后根据二次函数性质求最小值即可.{}n b n T【详解】（1）因为等比数列首项为，公比为， {}n a 11621q =≠所以，，()()14112111621121615128nnnn a qq S ->--===---*N n ∈即，，因为， 4212832n ->*N n ∈321121281162332281282=<<=所以只需即可，解得，， 42122n -≥2n ≥*N n ∈故满足的最小正整数； 15128n S >2n =（2）因为等比数列首项为，设公比为，代入中有： {}n a 1161q ≠325416S S =-，解得（舍）或， ()()2115141161616q q q ++=⨯+-1q =2q =所以，故， 1512216n n n a --=⨯=()5log log 25log 2n n a n a a b a n -=-==因为， ()()14log 25log 2log 2n n a a a b b n n +=---=-所以是等差数列，且， {}n b 14log 2a b =-所以()()()4log 25lo 2g 229log 2a a n a n n T n n --==+-， ()22log 2lo 9819222g 42a a n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，且有，1a >log 20a >*N n ∈所以当或时，取得最小值，最小值为. 4n =5n =n T 4510log 2a T T ==-20．已知数列满足.{}n a ()1*1111,N ,2,R 9n n n a a t a n n t --⎛⎫==⋅+∈≥∈ ⎪⎝⎭(1)若，求数列的通项公式; 1t ={}n a (2)若，求证:数列为等差数列，并求的通项公式; 19t ={}9nn a {}n a (3)对于（2）中的数列，设，则数列是否有最大项，如有，请求出是第几项，若{}n a 8nn n b a =⋅{}n b 没有，请说明理由. 【答案】(1) 118998n n a --⨯=(2)19n n n a -=(3)有, 第8项和第9项【分析】（1）将代入，再用累加法即可求得的通项公式；1t ={}n a （2）将代入，令，根据等差数列的定义即可证明，再根据的通项公式，即可求19t =9n n n c a ={}n c 得的通项公式；{}n a （3）先求出的通项公式，若有最大项，只需该项大于等于其前一项以及后一项，建立不{}n b {}n b 等式解出即可.【详解】（1）因为，所以， 1t =()1*11N ,29n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭当时，，，，， 2n ≥1119n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭21219n n n a a ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭L 12119a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上述式子累加，可得 1211111999n n n a a --⎛⎫⎛+⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝+⎭⎭， 119811111191899n n --⎛⎫- ⎪-=⨯=-⎝⎭因为，所以， 11a =118998n n a --⨯=当时，，符合通项公式， 1n =10118998a =-=⨯故； 118998n n a --⨯=（2）因为，所以， 19t =()1*11N ,2199n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭两边同时乘以，可得，9n ()1*1999N ,2n n n n a a n n --=+∈≥令，上式即为，9n n n c a =()*19N ,2n n c c n n -=+∈≥即，因为，()*19N ,2n n c c n n --=∈≥1199c a ==故，即为以9为首项，9为公差的等差数列，{}n c {}9n n a 所以，即，解得；9n c n =99n n a n =19n n na -=（3）由（2）知，所以， 19n n na -=189nn n n b -=假设数列最大项为，则有， {}n b m b 11m m m mb b b b +-≤⎧⎨≤⎩即，解得， ()()111211889918899m mm m m m m m m m m m +----⎧+≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩89m ≤≤所以数列有最大项，最大项为第8项和第9项.{}n b 【点睛】思路点睛：该题考查数列的综合应用，属于中难题，关于求数列最大项和最小项的思路有：（1）将数列视为函数，当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相对应的函()f x *N x ∈()f x 数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求得数列的最值项；()f x （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用，确定最大项，利用n a 11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩()2n ≥确定最小项. ()11,2n n nn a a n a a -+≤⎧≥⎨≤⎩21．设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”. {}n a n n S ()112N,12n na n n a +≤≤∈≥{}n a (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围; {}n a 39811,,,,2416x x (2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; {}n a n ()2134n S n n =+{}n a (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.{}n a q {}n a {}n S q 【答案】(1) 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)数列为“紧密”数列；理由见详解.{}n a (3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果； 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论； ()2*13(N )4n S n n n =+∈1122n a n =+1n n a a +（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧1q =1q ≠11n n a a q -=()111nn a q S q -=-{}na 密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果. 112q ≤<12q <≤1n n S S +【详解】（1）若数列为“紧密”数列，{}n a 则，且， 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得：， 819322≤≤x 即的取值范围为. x 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）数列为“紧密”数列；理由如下：{}n a 数列的前项和， {}n a ()2*13(N )4n S n n n =+∈当时，； 1n =()1111314a S ==⨯+=当时，， 2n ≥()()2211111313(1)4422n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+-+--=+⎣⎦又，即满足， 111122a +==11a =1122n a n =+因此， 1122n a n =+*(N )n ∈所以对任意，， *n ∈N ()111121*********n n n a n a n n n ++++===++++所以， 1111221n n a a n +<=+<+因此数列为“紧密”数列；{}n a （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，{}n a q n n T 当时，有，，1q =1n a a =1n S na =所以，，满足题意； 11122n na a +≤=≤1111122n n S n S n n ++≤==+≤当时，，，1q ≠11n n a a q -=()111n n a q S q -=-因为为“紧密”数列，{}n a所以， 1122n n a a q +≤=≤即或， 112q ≤<12q <≤当时， 112q ≤<， 1111111n nn n nn S q q S q q ++--=>=--， ()()121111112111n n n nn n n n n n q q S q q q S q q q+++---=<==+<---所以，满足为“紧密”数列； 1111221n n nn S q S q ++-≤=≤-{}n S 当时，，不满足为“紧密”数列； 12q <≤2211121S q q S q-==+>-{}n S 综上，实数的取值范围是. q 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2024年上海师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解
上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________6.已知双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.11.能使得命题“曲线2221(0)9x ya a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC体积的最大值为________.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A . B.C. D.14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若2AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.【答案】18y =-【分析】由22y x =得212x y =，根据准线方程定义即可求解．【详解】由22y x =得212x y =，所以准线方程为18y =-．故答案为：18y =-2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.【答案】6090θ︒≤≤︒【分析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，结合直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒即可得.【详解】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，且直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是6090θ︒≤≤︒.故答案为：6090θ︒≤≤︒.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.【答案】【分析】根据长方体的几何特征列方程组，用已知表示体对角线即可.【详解】设长，宽，高分别为,,x y z ，则()()252,436xy xz yz x y z ++=++=，===.故答案为:4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________【答案】【分析】根据等腰直角三角形的几何性质，结合由斜二测画法得到的直观图与原图的面积关系，可得答案.【详解】方法一：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，∴直角三角形的面积是112=，∴原平面图形的面积是1⨯=方法二：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，则O A ''=，根据斜二测画法，原图如下图：则OA =2OB =，则12ABO S AO BO =⋅⋅=V故答案为：6.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x=±【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b a c a b，双曲线的渐近线方程为y x =±故答案为y x=±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.【答案】217【分析】证明AB ⊥平面11ACC A ，再利用等体积法求解【详解】因为11,2,1AB BC AC AA ====，所以222,BC AB AC AB AC =+⊥，又三棱柱为直棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面A B C ，又平面11ACC A 平面,ABC AC =,AB AC AB ⊥⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11ACC A ，易得1A B ==12A C ==在△1A BC中由余弦定理：得1co s BA C ∠=，故1414sin BA C ∠=，于是111117sin 22A BC S A C AB BAC =⋅⋅∠= ，由棱柱性质得11//B C BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC ，点1B 到平面1A BC 的距离即点1C 到平面1A BC 的距离，设为d因为1111C A BC B A C C V V --=，所以111171131323232A C CC d AB ⋅⨯=⨯⨯=⨯,解得217d =故答案为：2178.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.【答案】106【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱1111ABCD A B C D -和正四棱锥1111O A B C D -的侧面积，即可求解.【详解】如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA=，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积分别为142324S =⨯⨯=，正四棱锥1111O A B C D -=所以正四棱锥1111O A B C D -的侧面积21422S =⨯⨯=，所以21246S S ==.故答案为：6.【点睛】本题主要考查棱柱和棱锥的几何结构特征，以及棱柱和棱锥的侧面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，利用侧面积公式准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.【答案】9【分析】分类讨论.第一类为当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，；第二类当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧.【详解】如图所示，有两种情况：①当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，若AB 为底面棱有两种（平面ABC 左右两侧各一组），同理BC AC 、为底面棱时有各两种，故共有6种；②当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧，若AB 为底面对角线则有一组，同理BC AC 、为底面对角线各有一组，故共有3种；综上所述，共有9种.故答案为：911.能使得命题“曲线2221(0)9x y a a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.【答案】3a >或3a <-的任意实数，例如4【分析】由题意可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，可得m n =，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【详解】曲线()222109x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形，可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，则AB AD =，即22m n =，即m n =，由曲线的方程可得2221(0)9x y a a-=≠，即2221(0)9m m a a-=≠有解，即有222999a m a =>-，可得290a ->，解得3a >或3a <-，故答案为：3a >或3a <-的任意实数，例如4．【点睛】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC 体积的最大值为________.【答案】92##4.5【分析】作出图形，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠.要解决三棱锥-P ABC 体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，接下来就根据条件把APC S 和BM 用同一个变量表示出来即可求解.【详解】由题意APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠，由题意得：13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，因为60APC ∠= ，45BPC ∠= ，所以120cos cos cos 322cos sin sin 322γαβθαβ-⋅-⋅==-⋅，()0,πθ∈，sin 3θ∴=，sin sin 333BM BD BD PB PB θβ=⋅==⋅⋅=⋅，133sin 22APC S PA PC PC α=⋅=⋅ ，()21111633222P ABC APC V S BM PB PC PB PB PB PB -∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅-=-+ 当3PB =时，P ABC V -的最大值为92.故答案为：92.【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.【详解】解：对于选项A ：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；对于选项B ：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；对于选项C ：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；对于选项D ：截面的形状不可能是等腰梯形；故选：D14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥ D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥【答案】B【分析】对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得αβ⊥；对于C ，l 与β平行或l β⊂；对于D ，l 与β相交、平行或l β⊂．【详解】设l 是直线，α，β是两个不同的平面，对于A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，若//l α，则α内存在直线//l l '，因为l β⊥，所以l β'⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ⊥，l α⊥，则l 与β平行或l β⊂，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误．故选：B ．15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C 【分析】由题设()()F x k f x ''=-，令y kx =与()y f x =切点横坐标为12,x x 且12x x <，由图存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，则()F x '有三个不同零点102x x x <<，结合图象判断()F x '的符号，进而确定()F x 单调性，即可确定答案.【详解】由题设，()()F x kx m f x =+-，则()()F x k f x ''=-，又直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点且横坐标为12,x x 且12x x <，所以()0F x '=的两个零点为12,x x ，由图知：存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，综上，()F x '有三个不同零点102x x x <<，由图：1(0,)x 上()0F x '<，10(,)x x 上()0F x '>，02(,)x x 上()0F x '<，2(,)x +∞上()0F x '>，所以()F x 在1(0,)x 上递减，10(,)x x 上递增，02(,)x x 上递减，2(,)x +∞上递增.故()F x 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】C 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．故选C.考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．【答案】（1）高为6，斜高为43213（2）表面积为3，体积为483【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出OH ，进而在Rt SOH △中，可求出SO ,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰SBC △中可求得侧棱长；（2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可.【小问1详解】如图：在正六棱锥S ABCDEF -中，SB SC =，H 为BC 中点，所以SH BC ⊥．因为O 是正六边形ABCDEF 的中心，所以SO 为正六棱锥的高．32OH BC ==，在Rt SOH △中，60SHO ∠=︒，所以tan 606SO OH =⋅︒=．在Rt SOH △中，SH ==在Rt SHB 中，SH =，2BH =，所以SB ==．故该正六棱锥的高为6，斜高为【小问2详解】SBC △的面积为11422BC SH ⨯=⨯⨯=OBC △的面积为11422BC OH ⨯=⨯⨯=，所以正六棱锥的表面积为66⨯+⨯=体积为13⨯=ABCDEF S SO 1663⨯⨯=18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.【答案】（1）12（2）10【分析】（1）根据题干条件作出辅助线，求出cos303DE AC AB a === ，即23b a =，进而求出离心率.（2）先推出BC ⊥平面ACD ，设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，推出BC ⊥平面ACE ，从而可得点D 的轨迹是矩形AEFC ，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】（1）如图：由题意得：30BAC ∠= ，2AB a =，2DE b =，且AC DE =，则在直角三角形ABC 中，cos303AC AB a == ，所以23b a =，于是此椭圆的离心率22112c b e a a ==-=.（2）因为AB 是圆柱下底面圆O 的直径，所以BC AC ⊥，又BC AD ⊥，AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，如图：因为⊥AE 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE BC ⊥，因为AE AC A = ，,AE AC ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，所以点D 在平面ACE 内，又点D 在圆柱的表面，于是点D 的轨迹是矩形AEFC .依题意得5AE =，2OA OC ==，π3AOC ∠=，所以2AC =，所以矩形AEFC 的面积为5210⨯=.故点D 的轨迹所围成图形的面积为10.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.【答案】（1）15π192（2）89【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.【详解】（1）如图所示：由题意母线长为正方形边长，即1PE =，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，不妨设圆锥底面半径为OE r =，所以π2π12r =⨯，解得14OE r ==，所以圆锥的高4PO h ===，所以圆锥的体积为2211111515πππ33344192V Sh r h ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题意不妨设AB h =，则4222h AD r h -===-，所以2h r =-，所以圆柱的体积可表示为()()()22ππ2,02V r r h rr r ==-<<，求导得()()()π43,02V r r r r '=-<<，所以当403r <<时，()0V r '>，()V r 单调递增，当423r <<时，()0V r '<，()V r 单调递减，所以当圆柱的体积最大时43r =，此时矩形ABCD 的面积为()4282339S rh r r ==-=⨯=.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.【答案】（1）9π（2）6个（3）43π【分析】（1）确定点P 以点A 为球心的，半径为（2）确定P 在平面11ADC B 上，根据1||P AB d PQ -=得到P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案．（3）确定P 点轨迹为圆的一部分可求解【小问1详解】若62AP =，则点P 以点A 为球心半径为62的球面上运动，又P 在正方体表面运动，6,AD AD =⊥平面11CDD C ，则P 在以D 为圆心，半径为()226266-=的圆上（正方形11CDD C 内部），如图所示： 1632D C ππ=⨯=，同理可得 111632B C B D ππ==⨯=，故点P 的轨迹长度为339ππ⨯=【小问2详解】若P 到平面ABCD 、11ADD A 距离相等，根据对称性知P 在平面11ADC B 上，AD ⊥平面11AA B B ，AD ⊂平面11ADC B ，故平面11ADC B ⊥平面11AA B B ，故P 到平面11ABB A 的距离即P 到1AB 的距离，设正方体的中心为Q ，即1||P AB d PQ -=，故P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，正方体棱长为6，1AB 中点为M ，以MQ 所在的直线为x 轴，以线段MQ 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，抛物线方程为26y x =，当32y =±932x =<，故抛物线与棱11B C 和AD 相交，故共有236⨯=个点满足条件．【小问3详解】易知正方体中AD ⊥平面11DCC D ，MC ⊥平面11DCC D ，,DP PC ⊂平面11DCC D ，所以,AD DP MC CP ⊥⊥，又APD MPC ∠=∠，所以~Rt ADP Rt MCP 2PD AD PC MC ∴==即2PD PC =如图，在平面11DCC D 中，以D 为原点，1,DC DD 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系：则()()()0,0,6,0,,D C P x y 由2PD PC =知()()()()222200260x y x y -+-=-+-化简整理得()22816,06x y x -+=≤≤所以点P 的轨迹为圆()22816,x y -+=在正方形11DCC D 内部的部分，即 EF ,其中24CM MF ==，，则3FMC π∠=，由弧长公式知4433ππ⨯=21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）,222p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦（3）28y x=【分析】（1）根据题意画图象，由斜率可得MF ，从而利用BF KF MF =-即可得证；（2）同理（1）求FA ，结合π4θ≥和cos y θ=单调性可得FA 的取值范围；（3）先求直线CD 的倾斜角，再结合（1）（2）求出CF ，DF ，并求出ACF △与BDF V 面积之和的表达式，通过不断换元，并利用导数判断函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p 的值，从而得出抛物线的方程．【小问1详解】证明：抛物线2Γ:2(0)y px p =>的准线方程1:2p l x =-，分别作11,BB l BM x ⊥⊥轴，1l 与x 轴交于点K ，AFH θ∠=，如图：由抛物线的定义可知，1,BF BB KF p ==，在Rt BFM 中，BFM AFH θ∠=∠=，cos MF BF θ=，由图可知，1cos BF BB KM KF MF p BF θ===-=-，即()1cos BF p θ+=，进而得1cos p BF θ=+.所以1cos p BF θ=+.【小问2详解】同理（1），1cos AF AA KF FH p AF θ==+=+，可得1cos p AF θ=-.因为函数cos y θ=在()0,π上单调递减，而π,π4θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是1cos 2θ-<≤，进而221cos 22θ≤-<，则11221cos θ<≤+-.所以(221cos p p p θ<≤+-，即(22p FA p <≤+.故π4θ≥时，FA 的取值范围,22p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【小问3详解】由（1）（2）可知，1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，因为AB CD ⊥，所以直线CD 的倾斜角为π2θ+，因此，π1sin 1cos 2p p CF θθ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，π1sin 1cos 2p p DF θθ==-⎛⎫++ ⎪⎝⎭.ACF ∴△的面积为：()()21221cos 1sin ACFp S AF CF θθ=⋅=-+ ()()2222sin 2cos 2sin cos 12cos 2sin cos 1p p sin θθθθθθθθ==+---+-+()2222(sin cos )2sin cos 1(1sin cos )p p θθθθθθ==-+-++-，即22(1sin cos )ACF p S θθ=+-△.同理可得BDF V 的面积为：22(1sin cos )BDFp S θθ=-+△.令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知0πθ<<，即πππ444θ-<-<，则()1,1t ∈-.则ACF △与BDF V 面积之和为：()2222222221(1)(1)(1)p t p p t t t ++=+--，再令[)211,2x t =+∈，则ACF △与BDF V 面积之和为：()222222221224(1)(2)4p t p x p t x x x+==--+-，令44y x x =+-，当[)1,2x ∈时2240x y x-'=>，所以函数44y x x =+-在[)1,2上单调递减，于是4041x x <+-≤，则1144x x ≥+-，所以222244p p x x≥+-.综上所述，当1x =时，ACF △与BDF V 面积之和取到最小值，即2232p =，由于0p >，得4p =，因此，抛物线的方程为28y x =．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，通过换元法得到面积最值的表达式，利用对勾函数的单调性求出最值的情况，从而得到方程，解出即可.。
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。
2024学年上海市12校数学高二上期末经典试题含解析
a4
a6
a8
a10
1 25 1 2
25
1，
∴ S10 (a1 a3 a5 a7 a9 ) (a2 a4 a6 a8 a10 ) 61.
故选：B. 8、A 【解题分析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【题目详解】由曲线方程为 x2 y2 x y 知曲线关于 x, y 轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，
15．若 an (1)n (2n 1) ，则数列an 的前 21 项和 S21 ___________.
16．如图三角形数阵：
1
23
பைடு நூலகம்
456
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021 位于第 i 行的第 j 列，则 i j ______
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个
3m
令 k 5 3 3n ，则 3mk 3n 5 3 0 它对应直线 3kx 3y 5 3 0 3m
3kx 3y 5 3 0
由
x
2
4
y2 3
1
整理得 (9 12k 2 )x2 40 3kx 64 0
由判别式 40
3k
2
4 64(9 12k 2 ) 0 解得
0 3 0
1
x0 2
3
5
，解得
x0 y0
5 8
，即
A
5,8
.
根据椭圆的定义可知， 2a AP BP AP BP AB 5 32 82 2 17 ，
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)
高二第一学期期末考试试卷数学试题注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．1．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．2．求行列式的值：111111124-=__________．3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．4．椭圆2214y x +=的焦距为__________．5．双曲线221916y x -=的渐近线方程是__________．6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．7．已知圆()224x a y -+=被直线1x y +=截得的弦长为a 的值为_________．8．将参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件32x y y x+≤⎧⎨≤⎩，则34z x y =+的最大值为__________．10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．11．过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则1x yx ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是（ ）（A ）3arctan 4- （B ）3arctan4π+ （C ）3arctan 4π⎛⎫+-⎪⎝⎭（D ）3arctan 24π+14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）（A ）1,2⎛ ⎝（B ）31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）(（D ）(15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）（A ）,33⎛-⎝⎭ （B ）0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ （C ）3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（D ）13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．是（ ）（A ）曲线C 关于原点对称（B ）曲线C 关于直线y x =-对称（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ⋅=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求POM △的面积．20．（本题12分）设椭圆221925x y +=的两焦点为1F 、2F ．（1）若点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积；（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．21．（本题14分）抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >； （3）若直线l 的斜率依次为1111,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,,,n N N N N ，求12231111n nN N N N N N -+++．参考答案一、填空题1．121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭2．6-3．()()2210x y --+=4．5．34y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈9．11 10．a 11．3π 12．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题 13．C14．B15．D16．C三、解答题 17．【解】()()55553215mD m m m ==--+-，()()651033215x mD m m m -==+--，()564322y D m m m-==-+--．当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以28y x =．（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =，所以AK =，所以三角形AHK是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为()()2320x y -+-=，即380x y +-=．圆心到直线MP的距离5d =，故弦长5MP =，点O 到直线MP的距离5h =，所以三角形POM的面积1162555S =⋅⋅=．20．【解】（1）设1P F m =，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF的面积121sin 2S mn F PF =∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB的距离d =．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：221925y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x ⇒=．则21AB x x ==-=所以三角形1F AB的面积12S AB d =⋅⋅=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩()2222204k k x k x ⇒+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0∆>，解得()()1,00,1k ∈-⋃．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，21222k x x k-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k kk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，所以0211322x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则142m m x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．高二年级第一学期数学期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。