群论中的群的基本定理和群的生成元
第七章群论(精品文档)
第七章群论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。
不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。
如A属于G：B属于G：则有()（7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。
一个数学群必须首先定义一种乘法。
2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。
如A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。
3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。
4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4) 称为的逆元素。
逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。
1是单位元素，任一实数m的逆元素为。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。
此例中“乘”的意思是加。
1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4）G={E、I} ( C i )这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。
这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。
群论第2章
√
• 循环群：由一个元素X及其全部h个幂组成的集合， 其中Xh＝E， h阶循环群。 循环群的特点：都是阿贝尔群 G3是3阶循环群
问题：四阶群有几种？其乘法表如何？
①四阶循环群G4
(1)：
(1) G4
E
A
B
C
X=A,X2=B,X3=C,X4=E
其中：B-1=B， A-1=C ②存在G4(2)，
(2) G4
ABC=A(BC)=(AB)C
若 AB=BA，
AB≠BA
则群为阿贝尔群（对易群）
③单位元素E: 群中必有单位元素(恒等元素) 存在。 单位元素与其它元素相乘可以交换顺序，且等于 元素本身。 若A∈G ， ④逆元素： 群中每个元素必有自己的逆元素。 若A∈G，必有A-1∈G， 则 EA=AE=A
并有 AA-1=A-1A=E • 群G的单位元素是唯一的； • 若 A∈G，则G中A的逆元A-1是唯一； • E的逆元是其本身.
二阶群：
E A E A A E
E E A B A A B B
三阶群：
• 若AA＝E，
则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
G3 E A B
G3 E A B
E A B E A B A ? B
E E A B A A B E B B E A
x
• 当AA＝B，
满足重排原理，元素符合 群条件，其中 AA＝B, AB=AAA=E
C3v ③ 求σ的共轭元素， E …. C3 通过相似变换可得σ σ’和 σ’’彼此 C32 E E C3 C32 C3 C3 C32 E C32 C32 E C3
结论：
① 恒等元素在任何群中自成一类。 ② 在群的各类中不会有相同的元素出现。
P1-19 北师大的群论
群论及其在固体物理中的应用第一章群的基本概念§1.1 群定义：数学对象（群元）的集合{ A、B、C、… }，其中有一个与次序有关的运算（群乘）AB=C，若满足下列四个条件，该集合称为群（group，记作G）.（1）封闭性（2）结合律成立：A(BC)=(AB)C（3）单位元存在：EA=AE=A（4）逆元存在：A-1A=AA-1=E群元的数目称为群的阶，记作g.若群乘满足交换律，称作交换群或阿贝尔群。
群的分类群阶g：有限群无限群（离散的无限群、连续群）物理学中：固体群、李群若干具体的群举例群元特征：1. 普通的数2. 方矩阵3. 对称操作4. 置换群， 等等。
2. 方矩阵群（1）全部n ×n 矩阵（群乘为矩阵乘法）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--------nn njj n n in ijj i i n i j i j i i n jj a a a a a a a a a a a a a a a a A)1(1)1(1)1()1()1)(1(1)1(11)1(111 不构成群。
detA=0的矩阵（降秩方阵或称奇异方阵） 不存在逆矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-nn nnnj ijj n A A A A A A A A A A A211121111det 1 其中ij A 是行列式中元素ij a 的代数余子式nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji ij a a a a a a a a a a a a a a a a A)1()1(1)1()1)(1()1)(1(1)1()1()1)(1()1)(1(1)1(1)1(1)1(111)1(+-+++-++-+----+-+-=（2）0det≠A 的全部n ×n 矩阵构成群；1det ±=A 的全部n ×n 矩阵构成群； 1det +=A 的全部n ×n 矩阵构成群； 1det-=A 的全部n ×n 矩阵不构成群。
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
数学中的群论
数学中的群论在数学中，群论是一门非常重要的学科，它在不同领域起着至关重要的作用。
那么，什么是群呢？简单来说，群由一些元素和一个特定的运算组成，这个运算满足特定的性质。
群的研究主要关注的是这些性质及其结构。
一、群的定义与基本性质群的定义是这样的：一个群G是一个由一些元素构成的集合，以及在这个集合上定义的一个运算，满足以下四条性质：1. 闭合性：对于任意的元素a、b∈G，运算a*b也属于G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素a∈G，有a*e=e*a=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a*a'=a'*a=e。
通过这四个基本性质可以理解群的定义。
这里需要注意的是，群的元素可以是任何东西，可以是数字、符号、矩阵等等。
在群中有一些特殊的元素，比如单位元素e和逆元素a'，它们具有很重要的意义。
其中，单位元素是群中唯一的元素，逆元素不一定存在，但是如果存在，一般是唯一的。
二、群的例子群的例子种类繁多，下面列举一些常见的例子。
1. 整数加法群：所有整数构成一个群，运算为加法。
2. 正整数乘法群：所有正整数构成一个群，运算为乘法。
3. 旋转群：所有在平面上旋转的变换构成一个群，运算为变换的复合。
4. 对称群：所有置换构成一个群，运算为置换的复合。
5. 矩阵群：所有n阶方阵构成一个群，运算为矩阵的乘法。
这些例子不仅可以帮助我们理解群的性质，而且在实际应用中也具有很重要的意义。
三、群的应用群论是一门非常有用的数学学科，有广泛的应用领域。
以下列举一些具体的应用。
1. 物理学：群论在物理学中有很多应用，比如对称群用来描述物理系统的对称性。
2. 化学：群论在化学中也有一些应用，比如用来描述分子的对称性，进而预测分子的性质。
3. 计算机科学：群论在计算机科学中也有应用，比如在密码学中，群可用于构造加密算法。
8 群论
1、(G,*)为群, H是G的非空子集, (H,*)构成(G,*)的子 群当且仅当：(1)子集H在二元运算*下是封闭的； (2)如果x∈H, 那么x-1∈H 2、(G,*)为群, H是G的非空子集, (H,*)构成(G,*)的子 群当且仅对∀x, y∈H, xy-1∈H. (必要性显然成立，证明
另外，群G中元素a的阶满足如下 性质：
ord(an)=ord(a)/(ord(a), n)
群的概念及其基本性质 子群 循环群 同态和同构 陪集和拉格朗日定理
(G,*)是一个群, H是G的非空子集, 如果(H,*)也是群 ，则(H,*)为(G,*)的子群，有时也简称H为G的子群 ，记做H为 H ≤ G {e}和G本身必然是G的子群,为了与其他子群进行区 分, 称{e}和G为平凡子群, 其它子群为非平凡子群 如果子群H≠G, 我们称H为真子群, 记为H<G 在普通加法下, Z<Q, Q<R, R<C 在普通加法下, 无理数集不能构成实数集的子群
方程 x3=1的三个根 对于复数乘法构成一个交换群，单位元为1
1的逆元为1，阶为1； ε1的逆元为ε2 ，阶为3； ε2的逆元为ε1 ，阶为3
例: G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。 证： a2 = e a2 = a-1a a = a-1，所以
阶大于2的元素必有a a-1.又由于ord(a)=ord(a-1)所
观察如下序列
e, a, a2,… , an,… 序列中的元素都属于G, 且G是有限群, 所以该无限长序列 中必然存在重复的元素, 设重复的元素为am和an, 其中m>n, 即am=an,所以e = am a-n = am-n,其中m-n>0, 说明a的阶必为有 限数.
[理学]群论群论基础
![[理学]群论群论基础](https://img.taocdn.com/s3/m/917951d425c52cc58bd6bec7.png)
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
数学中的群论
数学中的群论群论是数学中一个重要的分支，在代数学领域中占有重要地位。
它研究的是一种代数结构称为群。
群论的概念和理论对于深入理解和解决许多数学问题都起着关键的作用。
本文将介绍群论的基本概念、性质以及在数学中的应用。
一、群的定义和基本性质群是一个集合G，配合一个二元运算"*"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G.2. 结合性：对于任意的a，b，c∈G，(a*b)*c = a*(b*c).3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e = e*a = a.4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b = b*a = e.群论的基本性质包括：1. 结合律：对于群G中的任意元素a，b，c，有(a*b)*c = a*(b*c).2. 单位元唯一：群G的单位元是唯一的，记作e.3. 逆元唯一：群G中的每个元素a都有唯一的逆元b，满足a*b = b*a = e.4. 取消律：对于群G中的任意元素a，b和c，如果a*b = a*c，那么b = c.二、群的例子1. 整数加法群：整数集合Z构成一个群，其中的二元运算为加法。
2. 整数乘法群：非零整数集合Z*构成一个群，其中的二元运算为乘法。
3. 实数集合R上的乘法群：实数集合R中除去0以外的元素构成一个群，其中的二元运算为乘法。
4. 矩阵群：所有n阶可逆矩阵构成一个群，其中的二元运算为矩阵乘法。
5. 置换群：n个元素的置换构成一个群，其中的二元运算为置换的复合运算。
三、群的作用和应用1. 群在密码学中的应用：群论在密码学中具有广泛的应用，如素数取模、离散对数、RSA加密等加密算法都与群有关。
2. 群在物理学中的应用：群论在量子力学、粒子物理学等多个物理学领域中起着重要的作用，如对称群、李群等。
3. 群在图论中的应用：图的自同构和等价性质的研究中，群论的方法被广泛应用，极大地推动了图论的发展。
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群论是数学中一门重要的分支，研究的是代数结构中的群。
群是以二元运算
（通常为乘法）定义的一种数学结构，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆
元的性质。
在群论中，有两个重要的概念，即群的基本定理和群的生成元。
首先，群的基本定理是群论中的核心定理之一。
它表明，对于任何有限群G，
存在一个唯一的素数p以及正整数n₁,n₂,...,nk，使得G同构于n₁个阶为p的
循环群、n₂个阶为p²的循环群、...、nk个阶为p^k的循环群的直积。
这个基
本定理可以看作是将一个复杂的有限群分解为几个简单的循环群的直积的过程。
通过群的基本定理，我们可以更好地理解有限群的结构和性质，为解决许多数
学问题提供了有力的工具。
其次，群的生成元是群论中的另一个重要概念。
对于给定的群G，如果存在元
素a₁,a₂,...,an，它们的乘积可以得到G中的所有元素，那么称a₁,a₂,...,an
是群G的生成元。
换句话说，生成元是通过群中的有限次操作可以生成整个群
的元素。
生成元可以帮助我们更好地理解群的性质，特别是它们的元素之间的
关系。
在许多实际问题中，通过寻找群的生成元，我们可以简化问题的复杂度，从而更容易解决。
在群的生成元的概念中，有一个重要的定理，即生成元的个数不唯一。
对于一
个群G，它的生成元的个数可以是有限的也可以是无限的。
但是，存在一种特
殊情况，即群G的所有生成元的个数都是有限的，这种情况下群G被称为有限
生成群。
有限生成群在实际问题中具有重要的应用，如密码学、编码理论等领域。
除了有限生成群，还有一类特殊的群，即无限生成群。
无限生成群由无限多个
生成元组成，通常被用来描述无穷集合中的对称性。
例如，无限群中的整数加
法群Z和无限循环群C都是无限生成群。
总之，群论中的群的基本定理和群的生成元是群结构研究中的重要内容。
群的
基本定理可以帮助我们理解有限群的结构和性质，而群的生成元则可以帮助我
们处理复杂的群问题。
通过深入学习和应用群的基本定理和群的生成元，我们
能够在数学和其他领域中更好地理解和解决问题。