高中数学选修2 1第一章测试题

第一章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．△ABC中，sinA＝sinB是∠A＝∠B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]△ABC中，sinA＝sinB?A＝B.2．如果命题“綈(p或q)”为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题[答案]C[解析]∵綈(p或q)假，∴p或q真，∴p与q至少一真．3．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是()A．若a?M，则b?MB．若b?M，则a∈MC．若a?M，则b∈MD．若b∈M，则a?M[答案]D[解析]即原命题的逆否命题，结论的否定b∈M作条件，条件的否定a?M作结论，故选D. 134．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是<x<，则实数a的取值范围是()2213A.<a<22．13B.≤a≤2231C．a>或a< 2231D．a≥或a≤22[答案]B[解析]|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋11?≤1a－23113??，，且等号不同时成立解得≤a＋1)?≥1a＋2选B.则有≤由题意知，故(a－1，a??222235．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(?B)的充要条件是()U A．m>－1，n<5B．m<－1，n<5C．m>－1，n>5D．m<－1，n>5[答案]A[解析]∵P∈A∩?B，U∴P∈A且P?B，?>0m3＋2×2－??∴，?>0－n2＋3??1－m>?A. ∴，故选?<5n) 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(A、B、C、D6．设与BC共面．若AC与BD共面，则ADA BC 是异面直线与ACBD是异面直线，则AD与B．若BCDC＝，则AD＝C．若AB＝AC，DB AD，则⊥BCAB．若＝AC，DB＝DCDC答案][*为{a}上”是“＋3y)an(N n}a．已知数列7{，“对任意的∈，点P，都在直线＝x2nnnn) (等差数列”的．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A][答案是等差数列；}2，则能推出{a＋x2上，即有a＝3n＋][解析点P(n，a)在直线y＝3nnnn A. 未必成立，所以是充分不必要条件，故选3n＋2但反过来，{a}是等差数列，a＝nn) ”的(”是“|a|＝5＝8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x4．8(2010·福建文，A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件．充要条件 C D．既不充分又不必要条件A答案][ ]本题主要考查充分必要条件问题．[解析22＝5|＝＋43当x＝4时，|a2＋9＝＝5时，解得x＝±4.x当|a|所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．22＋bx＋c<0}≠则集合{x|ax?”的逆命9．在命题“若抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下，题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案]D22＋bx＋c<0. x的开口向下，又x∈R，则必存在，使ax＝][解析若抛物线yaxbx＋＋c2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线{故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若x|axy＝2＋bx＋c的开口向下．ax”当a＝0时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选D.有四个关于三角函数的命题：)宁夏海南理(09·．10．1xx22 cos R，sin＝＋p：?x∈1222 siny)＝sinx－R?x、y∈，sin(x－yp：2xcos21－x，＝p：?x ∈[0，π]sin32π＝＋ycosy?xp：sinx＝42) (其中假命题的是p A．p，41，pB．p42．p，pC31，pD．p43A][答案πxx22时，＝xy＝＝1；pR解析]p是假命题，∵?x∈，sin是真命题，例如：当＋cos[ 212220. ＝－siny－y)＝sinxsin(x 是真命题，p3，x>0，∈[0，π]sin∵?x1－cos2x＝|sinx|＝sinx. ∴2π7ππp是假命题，例如：sin＝cosx＋y＝.4326π2π??＋θ”的(＝”是“tanθ＝2cos) θ11．“??23A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]Aπ2π??＋θ的解，θ＝2cos 解法一：解析]∵θ＝为方程tan[??23π2π??＋θ成立的充分条件；是tanθ＝2cos∴θ＝??23π8π??＋θ的解，2cosθ也是方程θ又∵＝tan ＝??23．π2π??＋θ的必要条件，故选＝2cosA. ∴θ＝不是tanθ??23π??＋θ，2cos 解法二：∵tanθ＝??21∴sinθ＝0或cosθ＝－，2π??＋θ的解集为2cos ∴方程tanθ＝??22???Z k∈2kπ±π，kθ＝π或θ＝θ，＝A???3??2π?? A.，故选显然??3??12．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是()A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．已知b?β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥aC．已知b?β，若b⊥α，则β⊥αD．已知b?α，c?α，若c∥α，则b∥c[答案]C[解析]A的逆命题是：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，真命题；B的逆命题是b?β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)x是减函数，m)＝－(7－3R的解集为；q：函数f(x)＋13．设有两个命题：p：|x||x－1|≥m若这两个命题中有且只有一个真命题，实数m的取值范围是________．[答案]1<m<2[解析]若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7－3m>1，所以m<2，若p真q假，则m∈?.若p假q真，则1<m<2.综上所述，1<m<2.14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝3＋logx的图象2与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．[答案]可以填以下几种情形之一：①x轴，－3－logx 2②y轴，3＋log)x－(2．) x(－③原点，－3－log23x－y＝x,2④直线________条件．p是q的或：a≠2b≠3，则15．已知p：a＋b≠5，q 充分不必要[答案]，＝32且b3”的逆否命题为“如果a＝≠命题：“如果a＋b≠5，则a2或b≠[解析] ”，显然是真命题．b＝5则a＋的充分条件．p即有：是q∴p?q 的必要条件．p 不是q同理：的充分条件，但不是必要条件．p是q∴x，＋y，都有，y∈Sx16．(2010·四川文，16)设S为实数集R的非空子集，若对任意x 为封闭集．下列命题：，则称Sy，xy∈S－b3.a，b 为整数}为封闭集；①集合S＝{a＋②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)[答案]①②[解析]本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着手，理解题目中给出的信息是什么．对于①②都正确，对于③，封闭集不一定是无限集，例如当S＝{0}时，S是有限集，对于④不正确，例如当S＝{0}，M是自然数集N时，M不是封闭集．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．[解析](1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．”的形式，q则p“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若)分12本题满分(．18．写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．[解析]“若p则q”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．x2－2x－2)≥0；命题xq：|1－|<1.若p是真命题，19．(本小题满分12分)已知命题p：lg(2q 是假命题，求实数x的取值范围．222－2x－3≥0－2≥1，即x，lg(x－2x－2)≥0得x －2x[解析]由即(x－3)(x＋1)≥0，∴x≥3或x≤－1.xx由|1－|<1，－1<1－<122∴0<x<4.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4，则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤－1或x≥4}，∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．222>0，若p是qx＋1－a的充分p：x－－8x20>0，q：x2－已知本小题满分20．(12分)不必要条件，求实数a的取值范围．[解析]p：A＝{x|x<－2或x>10}，q：b＝{x|x<1－a或x>1＋a，a>0}如图AB，则有/ p，说明qp依题意，?q，但?>0a??2≥1－a－3≤a0<且等号不同时成立，解得?10≤a＋1．∴实数a的取值范围是0<a≤322－4(a－1)xx＋3的图象全在xf(x)＝(a轴上方＋4a－5)21．(本小题满分12分)求使函数成立的充要条件．[解析]要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是：22??0－5＝－5>0a＋4aa＋4a????或22??1)a－Δ＝16(01＝×3<0，a－－4(a＋4a－5)??解得1<a<19或a＝1，故1≤a<19.所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.2＋bx＋c(a≠0)x)＝ax的两个零点在点(m,0)的两22．(本小题满分14分)证明二次函数f(侧的充要条件是af(m)<0.2bb222222x(＋)－＋ac＝a＝则af(x)＝ax＋abx＋aca(x4解析[]充分性：设Δ＝b－ac≤04a2b122－4ac)≥0－(b，＋)a422－4bac>0.af(m)<0矛盾，即)所以af(m≥0，这与2＋bx＋c(a≠0)有两个不等的零点，设为x，x，且x<x，从而f(f故二次函数(x)＝axx)2112＝a(x－x)(x－x)，212(m－x)(m－x)<0，所以x<m(afm)＝a<x. 2112必要性：设x，x是方程的两个零点，且x<x，由题意知x<m<x，22112因为f(x)＝a(x－x)(x－x)，且x<m<x. 21122(m－x)(m－a＝x)<0，即af(m)<0.)(∴afm21综上所述，二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.。