特征值(向量)的定义
一特征值与特征向量
设 A Pnn , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
f ( A) An (a a a )An1 (1)n A E 0.
11
22
nn
证: 设 B( )是 E A 的伴随矩阵，则
零矩阵
B( )( E A) E A E f ( )E 又B( )的元素是 E A 的各个代数余子式，它们
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
a 2n
fA( )
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
注：① 若矩阵A是线性变换 A 关于V的一组基的矩阵，
而0是 A 的一个特征值，则0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
A
在基
1
,
2
,
3
下的矩阵是
1 2 2
A
2 2
1 2
2 1
,
求 A 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
故 A 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
2 2
（1） kA (k P) 必有一个特征值为 k ;
（2） Am (m Z ) 必有一个特征值为 m ;
（3）A可逆时，A1必有一个特征值为 （4）A可逆时，A* 必有一个特征值为
1 ;
A
.
（5） f ( x) P[ x], 则 f ( A)必有一个特征值为 f ( ) .
4-1 特征值与特征向量
kI A k A
k k -
A ③ 若Ａ可逆，则 是 A*的一个特征值； l
A A A A
A A A I
A I＝ A
A A A
A
Ａ可逆 0. 假设 ＝0， I - A =0 - A =0， 与Ａ可逆矛盾. 0 A \ 是 A* 的一个特征值； l
一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义11a为n阶方阵如果存在数和n维非零向量使得则称为a的特征值称为a的对应于特征值的特征向量
一、特征值与特征向量的概念 定义1 Ａ为ｎ阶方阵，如果存在数λ和ｎ维非零 向量α，使得 A
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的对应于特征值 λ的特征向量． Ax y 线性变换 A
0， 是方程的非零解, I A 0.
特征值：方程 I A 0 的根. 特征向量： 齐次线性方程组 I A x 0 非零解向量.
定义2 称 I A 为Ａ的特征矩阵． a11 a12 a1n a21 a22 a2 n I A
1 例3 设矩阵 轾 - 1 0 犏 已知矩阵A有特征值1 1, 2 2, A= 犏 x 0 2 犏 犏 2 1 求x，及A的另一个特征值. 4 臌 3 3 x 2 解：1 2 3 1 x 1 1 - 1 0 123 A 2 x 0 = x + 2 23 x 2 4
1 2 n
n
I A 1 2 n
n 1
1 12 n
n
令 0, 0I A = A (-1)n A 1 12 n
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
特征值特征向量定义
= (λ − 1)(λ2 + λ − 2) = ( λ + 2)(λ − 1)2 = 0
二次多项式
得特征值： 得特征值： λ1 = −2, λ2 = λ3 = 1
定义4.2(P.177): λI − A 的展开式称为 的特征多项式， 的展开式称为A的特征多项式， 定义 记为
λ − a11
− a21 = f A (λ ) = λI − A M − a n1
− a12 L λ − a22 L M M − an 2
− a1n − a2 n M
n 次 多 项 式
L λ − ann
的特征值， 所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 . 的特征值
− 1 对于 β = . 1
3 − 2 − 1 − 5 − 1 Aβ = = ≠ λ . 1 0 1 − 1 1
不是A的特征向量 故β 不是 的特征向量
特征向量的两个性质 补充 补充) 特征向量的两个性质 (补充
X 是A 属于 λ0 的特征向量， k 为非零常数 的特征向量， 的特征向量。 ⇒ kX 也是A 属于 λ0 的特征向量。 Q AX = λ0 X , X ≠ O 证 ∴ A( kX ) = k ( AX ) = k (λ0 X ) = λ0 ( kX ) 的特征向量。 故 kX 也是A 属于 λ0 的特征向量。 性质2 性质 X ,Y 是A 属于同一特征值 λ0 的特征向量，且 X + Y ≠ O 的特征向量， 的特征向量。 ⇒ X + Y 也是A 属于 λ0 的特征向量。 证 Q AX = λ0 X , X ≠ O , AY = λ0Y ,Y ≠ O ∴ A( X + Y ) =AX+AY = λ0 X + λ0Y = λ0 ( X + Y )
特征值特征向量的判定
特征值特征向量的判定特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们在线性代数、计算机视觉、信号处理等领域都有广泛应用。
本文将从特征值和特征向量的定义、计算方法以及判定条件三个方面进行详细介绍。
一、特征值和特征向量的定义1.1 特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个n维非零向量x，使得下式成立：Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，x为对应于λ的特征向量。
1.2 特征向量的定义对于一个n阶方阵A和它的一个特征值λ，如果存在一个n维非零向量x，使得下式成立：Ax = λx则称x是矩阵A对应于特征值λ的一个特征向量。
二、特征值和特征向量的计算方法2.1 计算方法一：求解矩阵A减去λI后的行列式为0所得到的方程组假设矩阵A是一个3×3矩阵，则其对应的特征值λ满足以下方程：| A - λI | = 0其中I是单位矩阵，| · |表示行列式。
将上式展开可得：( a11 - λ ) ( a22 - λ ) ( a33 - λ ) - a12 a23 a31 - a13 a21 a32 = 0 解这个方程可以得到矩阵A的特征值。
2.2 计算方法二：使用特征多项式特征多项式是一个关于λ的n次多项式，定义为：| A - λI | = det( A - λI )其中det表示行列式。
将特征多项式展开后，可以得到：λ^n + c1λ^(n-1) + c2λ^(n-2) + … + cn-1λ + cn = 0其中c1、c2、…、cn-1、cn都是矩阵A的元素和单位矩阵I的函数。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值。
2.3 计算方法三：幂迭代法幂迭代法是一种迭代求解矩阵最大特征值和对应特征向量的算法。
其基本思想是将一个初始向量x通过不断迭代和归一化，使其逐渐趋近于最大特征值所对应的特征向量。
具体来说，假设矩阵A有一个最大特征值λ1和对应的特征向量x1，则有：A^kx → λ1^k x1 (k → ∞)其中“→”表示趋近于。
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(l)=| lE-A|，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。
特征方程ƒ(l)=| lE-A|=0的根(如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P 也有关。
以A的特征值l0代入(lE-A)X=q，得方程组(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。
因为|l0E-A|=0，(l0E-A)X=q必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于l0的特征向量。
所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：[l0E-A]X=q即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|l 0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根l1, l2,…, l n，为A的n个特征根。
当特征根l i (I=1,2,…,n)求出后，(l i E-A)X=q是齐次方程，l i均会使|l i E-A|=0，(l i E-A)X=q必存在非零解，且有无穷个解向量，(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4对于特征值l1=l2=-2，解方程组(-2E-A)x=q得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。
一、特征值与特征向量的概念
判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
一特征值与特征向量概念
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
特征值特征向量的判定
特征值特征向量的判定概述特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，被广泛应用于线性代数、物理学、工程学等领域。
特征值特征向量的判定是指确定一个矩阵的特征值和特征向量的过程。
在本文中，我们将深入探讨特征值特征向量的判定方法及其应用。
特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么称k为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值特征向量的判定方法1. 特征值的计算特征值的计算是特征值特征向量判定的第一步。
对于一个n×n的矩阵A，特征值的计算可以通过求解矩阵A的特征方程det(A-kI)=0来实现，其中I是单位矩阵，k是一个待定的常数。
解特征方程可以得到n个特征值。
2. 特征向量的计算一旦特征值被计算出来，接下来就是计算对应于每个特征值的特征向量。
对于矩阵A和特征值k，特征向量可以通过求解方程组(A-kI)x=0来得到。
方程组的解就是特征向量。
3. 判定特征值特征向量的条件特征值特征向量的判定需要满足一定的条件。
对于一个给定的特征值k和特征向量x，Ax=kx。
根据这个等式，我们可以推导出判断特征向量的条件：如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx成立，那么矩阵A的特征值为k，特征向量为x。
特征值特征向量的应用特征值特征向量在许多领域中都有广泛的应用。
1. 线性代数在线性代数中，特征值特征向量的理论是非常重要的。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，简化了矩阵的计算。
特征值特征向量还可以用于解决线性方程组、矩阵的相似性等问题。
2. 物理学在量子力学中，特征值特征向量被广泛应用于描述量子系统的态。
特征向量表示了系统的基本状态，特征值则表示这些状态所具有的能量。
3. 工程学在工程学中，特征值特征向量被用于振动分析和控制系统分析。
通过计算系统的特征值和特征向量，可以评估系统的稳定性、阻尼性能等。
一特征值与特征向量概念
（3）又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计i 的排列顺序， 则 是唯一的．
例题：
1 (1) A 3
4 4
2 0 ,
化矩阵A为对角矩阵。
3 1 3
<, arccos , ,0 .
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求<, .
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求<, .
三、正交向量组及其求法
1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0
定理 若向量β与 1,2 , ,s 中每个向量都正交，则 β与 1,2 , ,s 的任一线性组合也正交.
5、正交基
若正交向量组1,2 , ,r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1,2 , ,r 为向量空间Ｖ上的一个正交基.
6、标准正交基
若标准正交组 1, 2 , , r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 , , r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
证明① 当1,2 , ,n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n n 1 2 n n1 1 n 12 n
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例3设A%n阶矩阵，证明4可逆。N的特征值更0.
这就是说，
若…,C是一，则片&+…+ kM是一， 其中片，…,
旬为任意不全为零的数.
例1设"阶矩阵幺的一个特征值为兀 S为对应的特征向量,p为〃阶可逆矩阵， 求P 的
一个特征值和一个对应的特征向量.
例2设"阶矩阵幺的一个特征值为2, 彳为对应的特征向 量J(x)为一个多项式， 求朋)的一个特征值和一
注⑴特征向量。0. （2）特征向量不唯一.
① 若4§=繽其中夕0, 则对于任意非零数k,4（楠=人（綺,其中上夕0.
这就是说，
若，是—,则妨也是—,其中上为任意非零数.
② 若幺& =績,i = 1,…,&其中…,C线性无关, 则对
于任意不全为零的数片，…成“
幺佐1&+...+ ksQ =人（知&+…+ ks&> 其申k点+.. ・+处女。0.
特征値（向量）的定义
陈建龙
东南大学数学学院
引例设p MP = A = diagUp…，&},其中F=（后…,那 则AP = PA,进而有=标i （i = 1,…，n）.
定义
例如N = 3 -1
3
-1 3
-1
可见,2和4是N的特征值，
J是幺的对应于2的特征向量,
X.
,、
\是幺的对Байду номын сангаас于4的特征向量.